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第一节 随机事件的概率备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率意义以及频率与概率的区别2.了解两个互斥事件的概率加法公式.1.随机事件的概率是高考的必考内容,主要考查互斥事件的概率公式以及对立事件的求法为主,其中对立事件的概率是“正难则反”思想的具体应用,在高考中常考查2.多以选择和填空的形式考查,有时也渗透在解答题中,属容易题,如 2012 江苏 T6 等.归纳知识整合1事件的分类2频率和概率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次实验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A出现的次数 nA为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)为事件 A 出现的频nAn率(2)对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A),称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率探究 1.概率和频率有什么区别和联系?提示:频率随着试验次数的变化而变化,概率却是一个常数,它是频率的科学抽象当试验次数越来越大时,频率也越来越向概率接近,只要次数足够多,所得频率就近似地看作随机事件的概率3.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)BA(或AB)相等关系若 BA 且 AB,那么称事件 A 与事件 B 相等AB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生,称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)AB(或 AB)互斥事件若 AB 为不可能事件,那么事件 A 与事件 B 互斥AB对立事件若 AB 为不可能事件,AB 为必然事件,那么称事件 A与事件 B 互为对立事件AB且ABU探究 2.互斥事件和对立事件有什么区别和联系?提示:互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生;而对立事件则是必有一个发生,但不能同时发生所以两个事件互斥但未必对立;反之两个事件对立则它们一定互斥4概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:0,1(2)必然事件的概率 P(E)1.(3)不可能事件的概率 P(F)0.(4)概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(AB)P(A)P(B)若事件 A 与 B 互为对立事件,则 AB 为必然事件P(AB)1,P(A)1P(B)自测牛刀小试1甲:A1、A2是互斥事件;乙:A1、A2是对立事件那么( )A甲是乙的充分但不必要条件B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件解析:选 B 对立事件一定互斥,互斥事件不一定对立2从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A至少有 1 个白球,都是白球B至少有 1 个白球,至少有 1 个红球C恰有 1 个白球,恰有 2 个白球D至少有 1 个白球,都是红球解析:选 C A、B 中的事件可同时发生,不是互斥事件,D 为对立事件3从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.2,该同学的身高在160,175的概率为 0.5,那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为( )A0.2 B0.3C0.7 D0.8解析:选 B 由对立事件的概率可求该同学的身高超过 175 cm 的概率为 10.20.50.3.4某城市 2012 年的空气质量状况如下表所示:污染指数 T3060100110130140概率 P1101613730215130其中污染指数 T50 时,空气质量为优;50a 的概率是( )A. B.4535C. D.2515解析:选 D 从1,2,3,4,5中选取一个数 a 有 5 种取法,从1,2,3中选取一个数 b 有 3种取法所以选取两个数 a,b 共有 5315 个基本事件满足 ba 的基本事件共有 3个因此 ba 的概率 P .315154从 16 个同类产品(其中有 14 个正品,2 个次品)中任意抽取 3 个,下列事件中概率为 1 的是( )A三个都是正品B三个都是次品C三个中至少有一个是正品D三个中至少有一个是次品解析:选 C 16 个同类产品中,只有 2 件次品,抽取三件产品,A 是随机事件,B 是不可能事件,C 是必然事件,D 是随机事件,又必然事件的概率为 1.5某种饮料每箱装 6 听,其中有 4 听合格,2 听不合格,现质检人员从中随机抽取 2听进行检测,则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A. B.11535C. D.8151415解析:选 B 记 4 听合格的饮料分别为 A1、A2、A3、A4,2 听不合格的饮料分别为B1、B2,则从中随机抽取 2 听有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共 15 种不同取法,而至少有一听不合格饮料有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共 9 种,故所求概率为 P .915356甲、乙二人玩数字游戏,先由甲任想一数字,记为 a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的数字记为 b,且 a,b1,2,3,若|ab|1,则称甲、乙“心有灵犀” ,现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )A. B.1359C. D.2379解析:选 D 甲想一数字有 3 种结果,乙猜一数字有 3 种结果,基本事件总数为339.设“甲、乙心有灵犀”为事件 A,则 A 的对立事件 B 为“|ab|1” ,又|ab|2包含 2 个基本事件,所以 P(B) ,所以 P(A)1 .292979二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分)7人在打靶中连续射击 2 次,事件“至少有 1 次中靶”的对立事件是_解析:“至少有 1 次中靶”包括两种情况:有 1 次中靶;有 2 次中靶其对立事件为“2 次都不中靶” 答案:2 次都不中靶8甲、乙两颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为 0.8 和 0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为_解析:P10.20.250.95.答案:0.959盒子里共有大小相同的 3 只白球,1 只黑球若从中随机摸出两只球,则它们颜色不同的概率是_解析:设 3 只白球为 A,B,C,1 只黑球为 d,则从中随机摸出两只球的情形有:AB,AC,Ad,BC,Bd,Cd 共 6 种,其中两只球颜色不同的有 3 种,故所求概率为 .12答案:12三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分)10由经验得知,在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下:排队人数012345 人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多 2 人排队的概率;(2)至少 2 人排队的概率解:记“没有人排队”为事件 A, “1 人排队”为事件 B, “2 人排队”为事件C,A,B,C 彼此互斥(1)记“至少 2 人排队”为事件 E,则 P(E)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)记“至少 2 人排队”为事件 D.“少于 2 人排队”为事件 AB,那么事件 D 与事件AB 是对立事件,则 P(D)1P(AB)1P(A)P(B)1(0.10.16)0.74.11已知向量 a(x,y),b(1,2),从 6 张大小相同、分别标有号码 1,2,3,4,5,6 的卡片中,有放回地抽取两张,x,y 分别表示第一次,第二次抽取的卡片上的号码(1)求满足 ab1 的概率;(2)求满足 ab0 的概率解:(1)设(x,y)表示一个基本事件,则两次抽取卡片的所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(6,5),(6,6),共 36 个用 A 表示事件“ab1” ,即 x2y1,则 A 包含的基本事件有(1,1),(3,2),(5,3),共 3 个,P(A).336112(2)ab0,即 x2y0,在(1)中的 36 个基本事件中,满足 x2y0 的事件有(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(5,2),(6,2)共 6 个,所以所求概率 P .6361612某次会议有 6 名代表参加,A,B 两名代表来自甲单位,C,D 两名代表来自乙单位,E,F 两名代表来自丙单位,现随机选出两名代表发言,问:(1)代表 A 被选中的概率是多少?(2)选出的两名代表“恰有 1 名来自乙单位或 2 名都来自丙单位”的概率是多少?解:(1)从这 6 名代表中随机选出 2 名,共有 15 种不同的选法,分别为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)其中代表 A 被选中的选法有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F)共 5 种,则代表 A 被选中的概率为 .51513(2)法一:随机选出的 2 名代表“恰有 1 名来自乙单位或 2 名都来自丙单位”的结果有9 种,分别是(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)则“恰有 1 名来自乙单位或 2 名都来自丙单位”这一事件的概率为 .91535法二:随机选出的 2 名代表“恰有 1 名来自乙单位”的结果有 8 种,概率为;815随机选出的 2 名代表“都来自丙单位”的结果有 1 种,概率为.115则“恰有 1 名来自乙单位或 2 名都来自丙单位”这一事件的概率为 .815115351有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具,每个玩具的各面上分别写有数字1,2,3,4.把两个玩具各抛掷一次,斜向上的面所有数字之和能被 5 整除的概率为( )A. B.11614C. D.3812解析:选 B “斜向上的所有数字之和能被 5 整除”等价于:两个底面数字之和能被5 整除,而两底数所有的情况有 4416(种),而两底数和为 5 包括(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)共 4 种情况,所以 P .416142抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数点,事件 B 为出现 2 点,已知 P(A) ,P(B) ,则出现奇数点或 2 点的概率为_1216解析:因为事件 A 与事件 B 是互斥事件,所以 P(AB)P(A)P(B) .121623答案:233一只袋子中装有 7 个红玻璃球,3 个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红球的概率为,取得两个绿球的概率为,则取得两个同颜色的球715115的概率为_;至少取得一个红球的概率为_
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