20132013 年中考数学专题年中考数学专题-与圆有关的计算与圆有关的计算【基础知识回顾】 一、 正多边形和圆：1、各边相等， 也相等的多边形是正多边形2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的 外接圆的半径叫 正多边形的 一般用字母 R 表示，每边所对的圆心角叫 用 表示，中心到正多 边形一边的距离叫做正多边形的 用 r 表示 3、每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的 三角形，被它的半径和边心距分 成一个全等的 三角形 【名师提醒：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，名师提醒：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行， 根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方 边形为主边形为主】 二、 弧长与扇形面积计算：Qo 的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 n2，扇形的面积为 s 扇，则有如下公式：L= S 扇= = 【名师提醒：名师提醒：1 1、以上几个公式都可进行变形，、以上几个公式都可进行变形， 2 2、原公式中涉及的角都不带学位、原公式中涉及的角都不带学位 3 3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择 4 4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：则图形则图形 面积的和与差面积的和与差 割补法割补法 等积变形法等积变形法 平移法平移法 旋转法等旋转法等】 三、圆柱和圆锥：1、如图：设圆柱的高为 l,底面半径为 R 则有：S 圆柱侧= S 圆柱全= V 圆柱= 2、如图：设圆锥的母线长为 l，底面半径为 R高位 h，则有：S 圆柱侧= 、S 圆柱全= V 圆柱= 【名师提醒：名师提醒：1 1、圆柱的高有、圆柱的高有 条，圆锥的高有条，圆锥的高有 条条 2 2、圆锥的高、圆锥的高 h h，母线长，母线长 l l，底高半径，底高半径 R R 满足关系满足关系 3 3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径 l l 是圆锥的是圆锥的 扇形的弧长是圆锥扇形的弧长是圆锥 的的 4 4、圆锥的母线为、圆锥的母线为 l l，底面半径为，底面半径为 R R，侧面展开图扇形的圆心角度数为，侧面展开图扇形的圆心角度数为 n n 若若 l=2rl=2r，则，则 n=n= c=3r,c=3r,则则 n=n= c=4rc=4r 则则 n=n= 】【典型例题解析典型例题解析】考点一：正多边形和圆 例例 1 1 （2012咸宁）如图，O 的外切正六边形 ABCDEF 的边长为 2，则图中阴影部分的面积为（ ）A 32 B233 C2 32 D22 33考点：正多边形和圆 分析：由于六边形 ABCDEF 是正六边形，所以AOB=60，故OAB 是等边三角形， OA=OB=AB=2，设点 G 为 AB 与O 的切点，连接 OG，则 OGAB，OG=OAsin60，再根据 S阴影=SOAB-S扇形 OMN，进而可得出结论 解答：解：六边形 ABCDEF 是正六边形， AOB=60， OAB 是等边三角形，OA=OB=AB=2， 设点 G 为 AB 与O 的切点，连接 OG，则 OGAB，OG=OAsin60=23 2=3，S阴影=SOAB-S扇形 OMN=1 223-260( 3)33602故选 A点评：本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出OAB 是等边三角形是解答 此题的关键 对应训练对应训练 1 （2012安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植 草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为 a， 则阴影部分的面积为（ ） A2a2B3a2C4a2D5a2考点：正多边形和圆；等腰直角三角形；正方形的性质分析：根据正八边形的性质得出CAB=CBA=45，进而得出 AC=BC= 2 2a，再利用正八边形周围四个三角形的特殊性得出阴影部分面积即可 解答：解：某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与 其内部小正方形的边长都为 a， AB=a，且CAB=CBA=45，sin45=BC AB=BC a=2 2，AC=BC=2 2a，SABC=1 22 2a2 2a=24a，正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：24a4=a2正八边形中间是边长为 a 的正方形， 阴影部分的面积为：a2+a2=2a2， 故选：A点评：此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出 SABC 的值是解题关键考点二：圆周长与弧长 例例 2 2 （2012北海）如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，ABC 的顶点都在格点上， 将ABC 绕点 C 顺时针旋转 60，则顶点 A 所经过的路径长为（ ）A10 B 10 3C10 3 D考点：弧长的计算；勾股定理 专题：网格型 分析：由题意可知点 A 所经过的路径为以 C 为圆心，CA 长为半径，圆心角为 60的弧长， 故在直角三角形 ACD 中，由 AD 及 DC 的长，利用勾股定理求出 AC 的长，然后利用弧长公式 即可求出 解答：解：如图所示：在 RtACD 中，AD=3，DC=1，根据勾股定理得：AC=22ADCD=10，又将ABC 绕点 C 顺时针旋转 60，则顶点 A 所经过的路径长为 l=601010 1803g故选 C 点评：此题考查了弧长公式，以及勾股定理，解本题的关键是根据题意得到点 A 所经过的 路径为以 C 为圆心，CA 长为半径，圆心角为 60的弧长 对应训练对应训练3.（2012广安）如图，RtABC 的边 BC 位于直线 l 上，AC=3，ACB=90，A=30若 RtABC 由现在的位置向右滑动地旋转，当点 A 第 3 次落在直线 l 上时，点 A 所经过的路线的长为 （结果用含有 的式子表示）考点：弧长的计算；旋转的性质分析：根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 BC=1，AB=2BC=2，ABC=60；点 A 先 是以 B 点为旋转中心，顺时针旋转 120到 A1，再以点 C1为旋转中心，顺时针旋转 90 到 A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点 A 第 3 次落在直线 l 上时，点 A 所经 过的路线的长解答：解：RtABC 中，AC=3，ACB=90，A=30，BC=1，AB=2BC=2，ABC=60；RtABC 在直线 l 上无滑动的翻转，且点 A 第 3 次落在直线 l 上时，有 3 个1AA的长，2 个12A A的长，点 A 经过的路线长=1202 1803+903 1802=（4+3）故答案为：（4+3）点评：本题考查了弧长公式：l= 180n r（其中 n 为圆心角的度数，R 为半径） ；也考查了旋转的性质以及含 30 度的直角三角形三边的关系考点三：扇形面积与阴影部分面积考点三：扇形面积与阴影部分面积 例例 3 3 （2012毕节地区）如图，在正方形 ABCD 中，以 A 为顶点作等边AEF，交 BC 边于E，交 DC 边于 F；又以 A 为圆心，AE 的长为半径作 EF若AEF 的边长为 2，则阴影部分的面积约是（ ）（参考数据： 21.414， 31.732， 取 3.14）A0.64B1.64C1.68D0.36考点：扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形； 正方形的性质 专题：探究型 分析：先根据直角边和斜边相等，证出ABEADF，得到ECF 为等腰直角三角形，求 出 SECF、S扇形 AEF、SAEF的面积，SECF-S弓形 EGF即可得到阴影部分面积 解答：解：AE=AF，AB=AD， ABEADF（Hl） ， BE=DF， EC=CF， 又C=90， ECF 是等腰直角三角形，EC=EFcos45=22 2=2，SECF=1 222=1，又S扇形 AEF=60 36022=2 3，SAEF=1 222sin60=1 2223 2=3，又S弓形 EGF=S扇形 AEF-SAEF=2 3-3，S阴影=SECF-S弓形 EGF=1-（2 3-3）0.64故选 A 点评：本题考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰 直角三角形、正方形的性质，将阴影部分面积转化为 SECF-S弓形 EGF是解题的关键 对应训练对应训练3.（2012内江）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，CDB=30，CD=23，则阴影部分图形的面积为（ ）A4B2CD 2 3考点：扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形 专题：数形结合 分析：连接 OD，则根据垂径定理可得出 CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形 OBD 的面积，代入扇形的面积公式求解即可 解答：解：连接 ODCDAB，CE=DE=1 2CD=3（垂径定理） ，故 SOCE=SCDE， 即可得阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积， 又CDB=30， COB=60（圆周角定理） ， OC=2，故 S扇形 OBD=2602 360=2 3，即阴影部分的面积为2 3故选 D 点评：此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得 出阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积，另外要熟记扇形的面积公式考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图 例例 4 4 （2012永州）如图，已知圆 O 的半径为 4，A=45，若一个圆锥的侧面展开图与 扇形 OBC 能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为 考点：圆锥的计算；圆周角定理 分析：首先求得扇形的圆心角 BOC 的度数，然后求得扇形的弧长，利用弧长等于圆的底面 周长求得圆锥的底面圆的半径即可 解答：解：A=45，BOC=90扇形 BOC 的弧长为904 180=2，设圆锥的底面半径为 r，则 2r=2 解得 r=1， 故答案为 1 点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确的进行圆锥的有关元素和扇形的有关元 素之间的转化对应训练对应训练7 （2012襄阳）如图，从一个直径为 4 3dm 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为 60的扇形 ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 dm考点：圆锥的计算分析：圆的半径为 2 3，那么过圆心向 AC 引垂线，利用相应的三角函数可得 AC 的一半的长度，进而求得 A