【几何十讲几何十讲】多边形与圆多边形与圆-A-A基本内容与方法 托勒密定理，西姆松定理，圆幂定理，密克定理，斯特瓦尔特定理，牛顿定理，巴斯加定理，布 利安桑定理例 、过等腰三角形的底边所在直线上的任意一点作直线 ，分别交直线1ABCBCDl于，过的中点作平行于的直线，分别交直线于； ,AB AC,E FEFMBC,AB AC11,B C证明：的外接圆共点；且此四个圆心共圆1111,AEFABCB EMC FM证明：如图，设的外接圆圆心分别为，半径为，又设中，11,AEFABC1,O O1,R ROe的中点为，则是直线与平分线的交点作，在直线上，EFGGOMA1AOEN1ACN11C B则构成平行四边形，所以1EC FN11EBENC F，111111112(sinsin)4sin4cos2AAEAFABACRBCRBR因此11 4cos2AEAFRAOA据四边形内接于，由托勒密定理，AEGFOe2 sin2AGEGFR2 sinEFRA，即()AGEFAEGFAFGEAEAFGE，故，因此，点在上，且()2cos2AEAFGEAEAFAGAEF1122AGRAOG1OeMC1B1FEDCBAOEN OFGOO1C1B1MFCBADE是的直径，也是的公共弦AG1Oe1,OOee据，可知分别共圆，故是112AGEMGB MGFMGC M 11,EB MG C FMGG的外接圆共点1111,AEFABCB EMC FM再设的外接圆圆心分别是，因这两圆也分别是直角和11,B EMC FM,EFOOEGM的外接圆，所以分别是的中点；由于也是的弦，GFM,EFOO,EG FG,EG FGOe所以，则共圆；因是的公共弦和的直径，090EFOO GOO G EFOO GOAG1,OOee1Oe，所以共圆，因此五点共圆0 190OOG1EOOGO1EFOO GO O例、中，高，为垂心，是的中点，2ABCADBCHMBC 证明：MHHDMC 证：记，是的中点，2BCADaPADPHt 由斯特瓦特定理，2MH 22BHEHaaBHEHBEBE22aBHEHaAHDH，所以22()()aat attMHtPH 例、中，分别是其三条边的中点，3ABC,D E F,BC CA AB边的中垂线分别交中线于， （互异） ，若,AC ABAD,M N,M N D直线 ，；EMFNKIBNCMPI证明：APKP 证：如图，易知共圆，为此圆直径，且点是AEKFAKK 的外心 ABC设，用表示三角形面积，则因是中,BADCADDBC点，即ABDACD ，所以 ，11sinsin22AB ADAC ADsinsinABAC由于点是的外心， KABC002(180)3602BKCAAABCDEFMN PKPMHEDBAC又在中，PMN0180MMPNMNP01802MNPANB ，所以，01802M00221802180MPBMPNA ，因此共圆；001803602BPCMPBABKC , ,B C P K在中，即，APBsinsinsinsinABAPAPAP APBABPABNsinsinABAPBAP在中，即APCsinsinsinsinACAPAPAP APCACPACMsinsinACAPCAP由得，sinsinAPBAPC又据共圆，且，, ,B C P KBPKBCK 0180APBAPCBPCBKC 所以， ，11 22APBAPCBPCBKCBKDCKD 因此，090APKAPBBPKCKDBCKCKDDCK 即有APKP例、如图，圆（圆心为）与直线 相离，作，为垂足.设点是 上任意一点4OOllOP PQl（不与点重合） ，过点作圆的两条切线和，和为切点，与相交于点. PQOQAQBABABOPK过点作，和为垂足. PQBPM QAPN MN求证：直线平分线段.MNKP 证明：作,为垂足, 记为直线与线段PIABIJMN 的交点. 易知PK, 故o90QPOQBOQAO均在以线段为直径的圆周上., , ,O B Q P AOQ由于, 所以由定理ABPIQBPMQAPN,Simson知: 的外接圆上一点在其三边的垂足三点共线，即四点共线.QABP,N M I, ,I J M N因为, 所以 QO|PI, 所以, 又因为四点共圆，ABPIABQO,IPOPOQ, , ,P A I M也四点共圆，所以, ,P A O QPOQPAMPIMPIJl K N M A B P o Q 所以在直角三角形中, , 故为的中点，PIKJPIPIJJPK因此直线平分线段.MNKP例、如图，且，是上的任意一点，直线5111,A B CABCe1AA1BB1CCPABCe；111,PABCD PBACE PCABFIII证明：三点共线,D E F证：点分别在直线上，,D E F,BC CA AB由于，APE11APBBAA BPD ，APF1APC1CPACPD ；而BPF1BAC1CPBCPE AE CD BFPAEPCDPBF EC DB FAPECPDBPFAPAEPCDPBF PDBPFAPEC1PA PE PC PD PB PF PB PD PA PFPC PE故由梅尼劳斯逆定理，三点共线,D E F例、在凸五边形中，已知，且5ABCDE,ABDE BCEA ABEA,B C D E四点共圆证明：四点共圆的充分必要条件是, ,A B C DACAD证明：必要性：若共圆，则由, ,A B C D，得，所以,ABDE BCEABACEDA ACBDAE ，故得；ABCDEA ACAD充分性：记所共的圆为，若，则圆心在的中垂线上，设点BCDEOeACADOCDAH关于的对称点为，则在上，且因，即，所以不共点，且BAHFFOeABEADEDF,E F，又由，AFDABC,ABDE BCEA知，因此，AEDCBAFHBACDEEFDC1B1CBAA1P，故由，得共圆，即点在上，也即点在AEDDFAAEDDFA AEFDADEFeA上，从而共圆Oe, ,A B C D例、凸六边形内接于，若6123456PP PP PPOe（的半径） ，分别为三123456PPPPPPROe123,M MM边的中点；234561,P P P P P P求证：为正三角形123M M M证：连，并设为这两线段之中点，由于2536,P P PP,A B为等腰梯形，则1256PP PP， （因且3253261,2AMP P AMP P0 62530P P P） ，1625/ /PPP P又因中位线，所以，同理得，又注意1261 2M BP P31AMBM12AMBM，3136235212PBMPP PPPPM AP 0 233290M BPM AP 所以，因此，故得，3112M AMM BM 31M AM12M BM3112M MM M同理得，因此为正三角形1223M MM M123M M M例、等腰三角形中，以底边的中点为圆心，作分别切两腰于，7ABCBCOOe,AB AC,E F是下半圆弧上的任意一点，过作的切线，与的延长线分别交于，过DOeDOe,AB AC,M N作平行于的直线，交的延长线于；MACFEP证明：三点共线, ,P B NBAM1M2M3P4P5P1 P2P6P3ABCDEFMNPOTKTONMFEDCBAP1证：如图，用同一法，设直线，由于点是的内心，1NBFEPIOAMN若记，则，2A1 2AMN1 2ANM22AOM作，交于，则共圆，得MKAMBCKAOMK，而，故有，两对直角三角2AKMAOMNOF KBMOBEOCF 形对应相似，即 ，；AMKNFOBMKCFO且；由此得，又由，得，NBKNCOAMNF MBFCBC1PF11NPNF FCPB因此有，由此得，11NPAM MBPB1ABNB MBPB故，而由条件，且点在上，故共点，1MPNAMPNAPEF1,P P所以三点共线, ,P B N例、为外接圆的直径，为延长线上的一点，直线与8ADABCOePBCPO边分别相交于；,AB AC,M N求证：为的切线当且仅当PDOe为平AMDN 行四边形证：如图，取的中点，则BCEOEBPENMPADOBCNMPADO BC假若为的切线，则四点共圆，PDOeOEDP ，而，BDEBDAEDOBCAEPOANO DBCOAN 由此，；又由，则；AONBEDCEDDOPAOM AOMCED于是，因此，即为平行四边形OMEDEDON AOCEBEAOOMONAMDN反之，若为平行四边形，则，AMDNOMONBCDBADDAMADN 因此，而分别是其对应边的中点，所以；BCDADN,E O,BC ADBDEANO于是，得共圆，所以DEPDOP DEOP090ODPOEP 因此为的切线PDOe例、个等圆依次外切（即与相切，92013 (1,2,2013)kOk eLkOe1kOe，约定）,且都内切于. 自上的任意一点，分别作这1,2,2013k L2013 11OOeeOeOeP个圆的切线.2013kOe, 1,2,2013kPAk L证明：这条切线之长可以分成和相等的两组. 2013证：将改为任一不小于的奇数，我们来证明，此时有.20133n 110nk k kPM引理 . 设奇数，是正边形外结圆上的任一点，则13n Pn12nA AAL 110nk k kPA证：时结论显然；考虑的情况，据对称性，不妨设，在劣弧上，记3n 5n P 1nA A正边形的边长为，作对角线（，约定） ，并设它们的n12nA AALa2 kkA A1,2,knLn iiAA长度皆为.(如图所示)b在圆内接四边形中，由托勒密定理，12nPA A A，即12nb PAa PAa PA 21na PAPAb PA在圆内接四边形中，由托勒密定理，11nnPA AA，即 11nna PAb PAa PA 11nna PAPAb PA在圆内接四边形（）中，由托勒密定理，12kkkPA AA12knA2A3An-1A1AnP，将此式两边乘以，再对从 到求和，得21kkka PAa PAb PA 1kk12n，即 2221 1111nnkk kkk kkaPAPAbPA 2111 121 32211nnkk knnk kkaPAPAPAPAPAbPA 将相加，得 ，即 1111211nnkk k