第第 4 4 讲讲 解直角三角形解直角三角形解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识 的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，因此，解直的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，因此，解直 角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象解决实际问题的能力。锐角三角函数和解直角角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象解决实际问题的能力。锐角三角函数和解直角 三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直 角三角形既是中考的必考内容，更是热点内容。题量一般角三角形既是中考的必考内容，更是热点内容。题量一般 4%-10%4%-10%之间，分值约在之间，分值约在 8%-12%8%-12%之之 间。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。间。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。【知识点清单知识点清单】1.1.锐三角函数的定义锐三角函数的定义在 RtABC 中：斜边的对边AAsin斜边的邻边AAcos的邻边的对边 AAAtan2.2.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值30=_； 45=_； 60=_；sinsinsin30=_； 45=_； 60=_；coscoscos30=_； 45=_； 60=_。tantantan3 3三角函数的增减性：三角函数的增减性：当角度在 090变化时，正弦、正切值随角度的增大（或减小）而增大 （或减小） ；余弦的值随角度的增大（或减小）而减小（或增大） 4.4.解直角三角形的应用问题解直角三角形的应用问题（1）应用相关的概念 仰角、俯角：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，在水平线下方的叫俯角. 坡度（坡比） 、坡角：坡面的垂直高度和水平宽度 的比叫坡度（或坡比） ，即，hllhitan坡面与水平线的夹角叫坡角. 方向角:指南或指北方向线与目标方向线所成的小于 90的角，叫做方向角。（2）解直角三角形的应用的方法步骤：用解直角三角形解决实际应用题的关键是要根据实际情况建立数学模型，正确的画出图形，找准三lhi 角形.根据题目的已知条件，画出平面几何图形，找清已知条件中各量之间的关系。是直角三角形的，根据边角关系进行计算，若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决。【数学思想方法天地数学思想方法天地】本章所研究的锐角三角函数，所涉及的角都是锐角，研究这样的角，可以与直角三角形直接联系起来。利用直角三角形的边角关系求图形中的某些边或角时，都是通过数值计算。这是数形结合的一种方式。所以在分析问题时，最好画出它的平面或截面示意图，按照图中边角关系去进行计算，便于解答、防止出错。 有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，如等腰三角形、梯形等问题。从而可以运用直角三角形的有关知识去解决这些图形中求边角的问题。【典例解析典例解析】考点考点 1:1:有关三角函数的重要概念有关三角函数的重要概念【例例 1】1】已知 为锐角，则 m=sin+cos 的值（ ）Am1 Bm=1 Cm1 Dm1【例例 2】2】（2011 山东济宁）如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点. 如果MCn，CMN.那么P点与B点的距离为 。 .变式训练：变式训练：1. （2011 宁波）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为 h，滑梯的坡角为 a，那么滑梯长 l 为（ ）ABCDMNCBADEA B C D hsinah sinah tanah cosa2. AE、CF 是锐角ABC 的两条高，如果 AE：CF=3：2，则 sinA：sinC 等于（ ） （A）3：2 （B）2：3 （C）9：4 （D）4：93已知正方形 ABCD 的边长为 2，如果将线段 BD 绕点 B 旋转，使点 D 落到 CB 的延长线上的处，那么等于（ ）A. B. C. D. 考点考点 2:2: 有关三角函数的计算有关三角函数的计算【例例 3】3】计算：|60tan1|130cos230cos0002变式训练：变式训练：1.为锐角，则的度数为 （ ）3)90tan(A.30 B. 45 C. 60 D. 75 2计算： 021sin 4527320066tan302oo考点考点 3:3:解直角三角形解直角三角形【例例 4】4】如图，在t中，900,300,为上一点。且：4：1 ，于，连结，则 tanCFB 的值等于 。【例例 5】5】如图 D 是ABC 的边 AC 上的一点,CD=2AD,AEBC 于 E,ABCD若 BD=8,sin CBD=,求 AE 的长. 3 4变式训练：变式训练：直角三角形纸片的两直角边长分别为 6，8，现将如图那样折叠，使点与点重ABCAB合，折痕为，则的值是（ ）DEtanCBEA BC D24 77 37 241 32如图，在 RtABC 中，CAB=90，AD 是CAB 的平分线，tanB=，21CDDB= 。考点考点 4 4：直角三角形的有关应用问题：直角三角形的有关应用问题【例例 6】6】 （0808 成都）成都）如图，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在 某公园人工湖旁的小山 AB 上，测量湖中两个小岛 C、D 间的距离.从山顶 A 处测得湖中小岛 C 的俯角为60，测得湖中小岛 D 的俯角为 45.已知小山 AB 的高为 180 米，求小岛 C、D 间的距离.（计算过程和 结果均不取近似值）【例例 7】7】 （0909 成都）成都）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的 实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度如图，他们先在点 C 测得教学楼 AB 的顶点 A 的仰角为 30，然后向教学楼前进 60 米到达点 D，又测得点 A 的仰角为 45。请你根据这些数据，求出这幢教学 楼的高度(计算过程和结果均不取近似值)68C EABDBECDAADBEi=1:3C【例例 8】8】如图，梯形 ABCD 是拦水坝的横断面图， （图中3:1i是指坡面的铅直高度 DE 与水平宽度 CE的比） ，B=60，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面 ABCD 的面积 （结果保留三位有效数字.参考数据：31. .732，21. .414）变式训练：变式训练：1汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面 450 米上空的P点，测得A村的俯角为，B村的俯角为，求A、B两个村庄间的距离 （结果精确到米，参考数据3060）21.41431.732，2.2. 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，斜坡BCAD米，坡角，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改40AB 60BADo造经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚不动，从坡顶沿45oAB前进到处，问至少是多少米（结果保留根号）？BCEBEQBCPA4506030CBADC东北BACBAD【以练励学以练励学】1如图,RtABC 中,C=90,AC=BC,AC=6,D 是 AC 上一点,tanDBA=,则 AD 的长为( ) 1 5A. B.2 C.1 D.2222如图,小红从 A 地向北偏东 30方向走 100m 到 B 地,再从 B 地向西走 200m 到C 地,这时小红离 A 地( )A.150m B.100 m C.100m D.50m333.（盐城市） 计算：021) 1x()21(13260tano4如图,已知在 RtABC 中,C=90,D 是 BC 边上一点,AC=2,CD=1, 记CAD=.(1)试求 sin,cos,tan 的值; (2)若B=,求 BD 的长.5.如图所示，在ABC 中，AB=15，BC=14，SABC 84，求 tanC 的值。6 （芜湖市） 在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为 30，再向条幅方向前进 10 米后， 又在点B处测得条幅顶端D的仰角为 45，已知测点A、B和C离地面高度都为 1.44 米，求条幅顶端D点距离地面的高度 （计算结果精确到 0.1 米，参考数据:21.414, 31.732 ）第三讲第三讲【以练励学以练励学】参考答案参考答案1若反比例函数经过点(2、-2)， （m、1） ，则 m= -4 .2若双曲线 y=与直线 y=kx-3 相交于 A（-2、m）则直线的解析式为：x232 xy3点 A（a、b） ，B（ a-1，c）均在函数 y=的图象上，若 a0，则 b 0）的图象交于点P，PAx 轴于点 A，PBy 轴于点 B，一次函数的图象分别交 x 轴、y 轴于点 C、点 D，且 SDBP=27， 1 2OC CA。（1）求点 D 的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的表达式； （3）根据图象写出当 x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？xyA OPBCD