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广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 19一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的1已知z是纯虚数,iz 12是实数(其中为虚数单位) ,则z A2i B CiD 2i2对命题:p A ,命题:q AA ,下列说法正确的是Apq为真 B pq为假 Cp为假 D p为真 3图 1 是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图, 若 80 分以上为优秀,根据图形信息可知:这次考试的优秀率为A25%B30%C35%D40%4若直线)0, 0(022babyax始终平分圆082422yxyx的周长,则ba21 的最小值为AB32 2C5D4 25某器物的三视图如图 2 所示,根据图中数据可知该器物的表面积为A4 B5 C8 D96在平面直角坐标系xOy中,双曲线中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为20xy,则它的离心率为A5B5 2C3D27若关于x的不等式2124xxaa有实数解,则实数a的取值范围为A(,1)(3,)UB(1,3) C(, 3)( 1,) UD( 3, 1)8若1212( ,),( ,)aa abb brr,定义一种向量积:1 122(,)abab a brr,已知1(2, ),(,0)23mnu rr,且点( , )P x y在函数sinyx的图象上运动,点Q在函数( )yf x的图象上运动,且点P和点Q满足:OQmOPnuuu ru ruuu rr (其中 O 为坐标原点) ,则函数( )yf x的最大值A及最小正周期T分别为A2, B2,4 C1,2D1,42二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 (一)必做题(913 题)9在二项式1(2)nxx 的展开式中,若第5项是常数项,则n _(用数字作答)10已知等差数列 na中,有1112201230 1030aaaaaaLL成 立类似地,在等比数列 nb中有_成立 11按如图 3 所示的程序框图运行程序后,输出的结果是63,则判断框中的整数H _12设20,1 ( )1(1, xx f xxex,则0( )ef x dx _13在ABC中,abc、分别为内角ABC、所对的边,且30A现给出三个条件:2a ; 45B ;3cb试从中选出两个可以确定ABC的条件,并以此为依据求ABC的面积(只需写出一个选定方案即可)你选择的条件是 (用序号填写);由此得到的ABC的面积为 (二)选做题(1415 题,考生只能从中选做一题)14 (几何证明选讲选做题)如图 4,PT为圆O的切线,T为切点,3ATM ,圆O的面积为2,则PA 15 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线3截直线1)4cos( 所得的弦长为 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤16 (本小题满分 12 分)已知平面上三点)0 , 2(A,)2 , 0(B,)sin,(cosC(1)若2()7OAOCuu u ruuu r (O 为坐标原点) ,求向量OB与OC夹角的大小;(2)若BCAC ,求2sin的值17 (本小题满分 12 分)第 16 届亚运会将于 2010 年 11 月在广州市举行,射击队运动员们正在积极备战. 若某运动员每次射击成绩为 10 环的概率为1 3. 求该运动员在 5 次射击中,(1)恰有 3 次射击成绩为 10 环的概率; (2)至少有 3 次射击成绩为 10 环的概率;(3)记“射击成绩为 10 环的次数”为,求E.(结果用分数表示)18 (本小题满分 14 分)如图 5,已知AB 平面ACD,DE 平面ACD,ACD为等边三角形,2ADDEAB,F为CD的中点(1)求证:/AF平面BCE;(2)求证:平面BCE 平面CDE;(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值19 (本小题满分 14 分)过点0(1,0)P作曲线3:(0,)C yxx的切线,切点为1Q,过1Q作x轴的垂线交x 轴于点1P,又过1P作曲线 C 的,切点为2Q,过2Q作x轴的垂线交x轴于点2P,依次下去得到一系列点123,Q Q Q,设点nQ的横坐标为na (1)求数列 na的通项公式;(2)求和1niii a ;(3)求证:1(2,)2nnannN 20 (本小题满分 14 分)已知圆M:222()()xmynr及定点(1,0)N,点P是圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足NPuuu r 2NQuuu r ,GQuuu r NPuuu r 0(1)若1,0,4mnr ,求点G的轨迹C的方程;(2)若动圆M和(1)中所求轨迹C相交于不同两点,A B,是否存在一组正实数, ,m n r,使得直线MN垂直平分线段AB,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由21 (本小题满分 14 分)己知函数1( )(1)ln(1)f xxx(1) 求函数( )f x的定义域;(2) 求函数( )f x的增区间;(3) 是否存在实数m,使不等式1 12(1)mxx在10x 时恒成立?若存在,求出实数 m的取值范围;若不存在,请说明理由参考答案 选择题:本大题考查基本知识和基本运算共 8 小题,每小题 5 分, 满分 40 分题号12345678答案DCBBDAAD1.选 D.提示:)0( bbiz设.2.选 C.提示:由已知 p 为真,q 为假.3.选 B.提示:3 . 010005. 010025. 0.4.选 B.提示:, 1,12ba所以),直线过圆心(.22323)21)(21ba ab bababa5.选 D.提示:圆锥上面有一球,半径为 1,9422111422S .6.选 A.提示:5, 5,5, 2222222eecacbaabQ .7.选 A.提示:034,421322aaaaxx.8.选 D.提示: ),sin21,32(xxOQ)621sin(21)(,sin21)32(xxfxxf二.填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分其中 1415 题是选做题,考生只能选做一题98; 1030302110201211bbbbbbLL; 115; 124 3; 13,31(或,3) ; 1423; 15249.8.提示:8, 08,) 1(2)1()2(8444444 5nnxCxxCTnn nn n.10.30302110201211bbbbbbLL.提示:算术平均数类比几何平均数.11.5.提示:5HS, 663,不满足条件时输出时AS.12.4 3.提示:34131|ln|311 11 031102eexxdxxdxx原式 .13.,31(或,3).提示:由正弦定理求出 b,再根据CabSsin21 .14.23.提示:23,22OAPOPAPOOT,连接.15.24.提示:转化为直角坐标系求解三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤 16 (本小题满分 12 分)解:(1))sin,cos2(OCOA,2()7OAOCuu u ruuu r ,7sin)cos2(22, 2 分21cos 4 分又)2 , 0(B,)sin,(cosC,设OB与OC的夹角为,则:23sin2sin2cos OCOBOCOB,OBuuu r 与OCuuu r 的夹角为6或65 7 分(2)(cos2,sin)ACuuu rQ,)2sin,(cosBC, 9 分由ACBCuuu ruuu r , 0AC BCuuu r uuu r , 可得21sincos , 11 分41)sin(cos2 ,43cossin2 ,432sin 12 分17 (本小题满分 12 分)解:设随机变量X为射击成绩为 10 环的次数,则 1(5, )3XB .2 分(1)在 5 次射击中,恰有 3 次射击成绩为 10 环的概率为:32 3 511(3)133P xC1440102792434 分 (2)在 5 次射击中,至少有 3 次射击成绩为 10 环的概率为:(3)(3)(4)(5)P XP XP XP X6 分32450 345 555111111111333333CCC4010117 24324324381 . 8 分(3)方法一:随机变量X的分布列为:X012345P32 24380 24380 24340 24310 2431 243故3232323232325()0123452432432432432432433E X 12 分方法二:因为1(5, )3XB ,所以5()3E X . 12 分18 (本小题满分 14 分)解法一:(1) 证:取CE的中点G,连结FGBG、F为CD的中点,/GFDE且1 2GFDE AB 平面ACD,DE 平面ACD, /ABDE,/GFAB 又1 2ABDE ,GFAB 四边形GFAB为平行四边形,则/AFBG AF 平面BCE,BG 平面BCE,/AF平面BCE 4 分(2) 证:ACD为等边三角形,F为CD的中点,AFCDDE 平面ACD,AF 平面ACD,DEAF 又CDDEDI,故AF 平面CDE /BGAF,BG 平面CDE BG 平面BCE, 平面BCE 平面CDE 8 分(3) 解:在平面CDE内,过F作FHCE于H,连BH平面BCE 平面CDE, FH 平面BCE FBH为BF和平面BCE所成的角 10 分设22ADDEABa,则2sin452FHCFa ,2222( 3 )2BFABAFaaa,在 R tFHB中,2sin4FHFBHBF 13 分直线BF和平面BCE所成角的正弦值为2 414 分解法二:设22ADDEABa,建立如图所示的坐标系Axyz,则( ,0,0)A a(0,0,
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