2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试卷分析.试卷结构分析2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试卷严格按照 2014 年考试大纲规定的考试内容、试卷结构和题型结构命制，保持了应有的稳定性和连续性，较为准确的把握了试卷的整体难度，具有较为理想的区分度、信度和效度.具体到微积分、线性代数和概率论与数理统计各科目所考查的知识点详见下表.表 2014 年数学三试卷所考查的内容考点科目 选择题考查的知识点填空题考查的知识点解答题考查的知识点微积分（1）极限的保号性（2）渐近线（3）无穷小的比较（4）不等式（9）边际收益（10）平面图形的面积（11）定积分的计算（12）二次积分换序与计算（15）未定式的极限（16）二重积分（17）二元抽象复合函数的偏导数和一阶线性非齐次方程的初值问题（18）幂级数的收敛域与和函数（19）积分不等式线性代数（5）行列式的计算（6）向量的线性相关性（13）二次型（20）线性方程组和矩阵方程（21）矩阵的相似性概率论与数理统计（7）事件的关系和运算（8）统计量的概率分布（14）统计量的数学期望（22）随机变量的概率分布和数学期望（23）二维离散型随机变量的概率分布和事件的概率.试卷遵循了考试大纲的要求，重点考查了考生对基本概念、基本原理和基本方法的理解与掌握情况以及运用相关知识分析问题和解决问题的能力，这类试题在试卷中分值占有较大比例.没有出现偏题、怪题和超纲题.既考虑了试题覆盖面，又突出了重点章节，从试题结构上看较为合理.部分考生认为该试卷内容较难，从答题情况看，突显了目前部分考生轻基础，重技巧，轻思考、重名师、不务实的复习状况，应引以为戒，养成踏实的研究精神和求学态度.试题分析一、选择题: 18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）设则当充分大时有（ ）lim0nnaa ，n（A） （B） （C） (D).2naa .2naa 1.naan1.naan答：（A）.考点解析：本题考查极限的保号性，考查基本性质，是基本问题.解：因为，lim0nnaa 所以对，存在正整数，当时，有，即，0 NnNnaanaaa从而.naaa取，则知，所以选择（A）.2a2naa （2）下列曲线中有渐近线的是（A）. （B）.sinyxx2sinyxx（C）. （D）.1sinyxx21sinyxx答：（C）.考点解析：本题主要考查曲线的渐近线，是基本问题，比较简单，需要考生对相关知识点要识记准确.解：对于，可知，1sinyxx11limlim(1sin)1 xxy xxx又，所以有斜渐近线，因此应选（C）.1lim()limsin0 xxyxxyx（3）设，则当时，若是比高阶的无穷小，则下列23( )P xabxcxdx0x ( )tanP xx3x选项中错误的是（A）. （B）. （C）. （D）.0a 1b 0 c1 6d 答：（D）.考点解析：本题考查无穷小比较的概念和常用函数的麦克劳林公式，考查基本原理和方法.解：因为当时，显然，故应选（D）.0x 331tan()3xxxo x10,1,0,3abcd典型错误：直接根据概念利用罗必塔法则求极限导致计算繁琐而出错.（4）设函数具有 2 阶导数，则在上( )f x( )(0)(1)(1)g xfxfx0,1（A）当时，. （B）当时，.( )0fx ( )( )f xg x( )0fx ( )( )f xg x（C）当时，. （D）当时，.( )0fx( )( )f xg x( )0fx( )( )f xg x答：（D）.考点解析：此题考查不等式的证明.涉及到利用曲线的凹凸性或函数的最值证明不等式的方法.解法 1: 如果对区间上任意两点及常数，恒有12,x x01，1212(1)(1) ()()fxxf xf x则曲线是上凹的令，则，而120,1,xxx12(1) ()()f xf x(0)(1)(1)( )fxfxg x，12(1)( )fxxf x故当时，曲线是上凹的，即，( )0fx1212(1)(1) ()()fxxf xf x也就是，应选（D）.( )( )f xg x解法 2:令，则，( )( )( )( )(0)(1)(1)F xf xg xf xfxfx(0)(1)0FF且，故当时，曲线是上凹的，“( )“( )Fxfx( )0fx从而在端点处取最大值，而，故，F x（）0,1xx(0)(1)0FF( )( )( )0F xf xg x也就是，应该选（D）.( )( )f xg x典型错误：这类题型选项相似，迷惑性大，解答时容易思路混乱而导致错选.（5）行列式等于00 00 00 00ab ab cd cd（A）. （B）.2()adbc2()adbc（C）. （D）.2222a db c2222b ca d答：（B）.考点解析：本题考查行列式的性质与计算，是基本题型.解法 1：用行列式的性质与公式计算行列式：122 23 23000000 000000() .000000 000000ababab ccabcdcdccadbcrrcdababcdcdcd 解法 2：用行列式的性质与按一行(列)展开定理计算行列式：2 14 1000000( 1)( 1)0000000000ababababaccdbcddcdcd2()() .abababadbcadbcadbccdcdcd 解法 3：用行列式的性质与拉普拉斯定理计算行列式：2 3 2 32 120000 0000( 1)() .0000 0000abab ababababrradbccdcdcdcd cdcd 典型错误：本题大部分同学都能做上，有的考生在交换行列式的行或列时，忘记了改变符号，从而导致错误的选择.（6）设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量123, , k l13k23l线性无关的123, （A）必要而非充分条件. （B）充分而非必要条件.（C）充分必要条件. （D） 非充分非必要条件.答：（A）.考点解析：本题考查向量组线性相关性的概念和充分必要条件的理解.所涉及的知识点是：若只有1=2=m=0 时，11+22+mm=0，则向量组 1，2，m线性无关.解法 1：已知 1，2，3线性无关，设 1(1+k3)+2(2+l3)=0，即11+22+(k1+l2)3=01=2=k1+l2=0，从而 1+k3，2+ l3线性无关.反之若 1+k3，2+ l3线性无关，不一定有 1，2，3线性无关.例如，123100 0 ,1 ,0000 显然，1+k3，2+ l3线性无关，而 1，2，3线性相关.故 1+k3，2+ l3线性无关是 1，2，3线性无关的必要条件，而不是充分条件.因此选(A).解法 2：若向量线性无关，则123, （，），13k23l12312310 (,) 01(,)K kl 对任意的常数，矩阵的秩都等于 2，所以向量，一定线性无关, k lK13k23l而当时，对任意的常数，123100 0 ,1 ,0 000 , k l向量，线性无关，但线性相关，故选择（A） 13k23l123, 典型错误：部分考生对充分必要条件理解不清，从而选择错误.但大部分考生能做出正确的选择.（7）设事件 A，B 相互独立，则( )0.5, ()0.3P BP AB()P BA（A）0.1. （B）0.2. （C）0.3 . （D）0.4.答：（B）.考点解析：此题考查事件的关系和运算，考查的是基本计算公式.解：，()( )()( )( ) ( )( )0.5 ( )0.5 ( )0.3P ABP AP ABP AP A P BP AP AP A所以，而，故选择（B） ( )0.6P A ()P BA( )()0.50.5 ( )0.2P BP ABP A（8）设为来自正态总体的简单随机样本，则统计量服从的分布为123,XXX2(0,)N1232XXSX（A） （B） （C） （D）(1,1).F(2,1).F(1).t(2).t答：（C）.考点解析：本题考查统计量的概率分布，主要考查的是基本理论，要求考生具有判断能力.解：因为12122 33.22XXXXSXX显然12(0,1)2XXN，2 23 2(1)X，从而，且相互独立，12(0,1)2XXN2 23 2(1)X故因此应该选择（C） 12121222 333 22 (1).22XX XXXXStXXX 典型错误：由于没有掌握常用分布的定义及其基本形式而判断错误.二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分. （9）设某商品的需求函数为（为商品的价格） ，则该商品的边际收益为 402Qpp答：应填20.Q考点解析：本题考查边际收益的概念，是基本概念问题.解：因为，故边际收益40( )2QR QpQQ( )20.R QQ典型错误：本题错误率较高，主要是因为边际收益的概念记得不准确，直接将收益函数对价格求导而结果错误.（10）设 D 是由曲线与直线及围成的有界区域，则 D 的面积为 10xy 0yx2y 答：应填3ln2.2考点解析：本题考查定积分的几何应用，考查的是基本方法.解：由题意，D 的面积2222 11113()dlnln2.22ySyyyy （11）设，则 201ed4axxx =a答：应填1.2考点解析：本题考查定积分的计算，主要考查基本积分法.解：2222 0000111eddeeed222aaaxxxaxxxxxx22 22 001ee11ee(21)|(21)244444xa axaaaxa，解得1.2a 典型错误：计算错误.（12）二次积分 22110ededx yyyxx答：应填.1(e 1)2考点解析：本题考查二次积分换序和计算，考查的是基本方法.解：22222211111110000000eeededdddeddde (1)dxxxxxyyyyyyxxyyxxyyyxxx22221111d00001eededed(e 1).2xxyyyyyyyy（13）设二次型的负惯性指数是 1，则的取值范围是