出卷老师：骆世广1广东金融学院广东金融学院 20092009 年数学竞赛试题参考答案年数学竞赛试题参考答案题题 号号1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111121213131414总总 分分 得得 分分 一、微积分部分：（共一、微积分部分：（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 1010 分）分）1.设是多项式，且；，求.)(xf22)(lim23 xxxfx3)(lim 0 xxfx)(xf解 由知 22)(lim23 xxxfxbaxxxxf2322)(由知， 3)(lim 0 xxfx0)0()(lim 0 fxf x0b3a所以 xxxxf322)(232将长为 的细铁丝剪成三段，分别用来围成圆、正方形和正三角形，问怎样剪l 法，才能使它们所围成的面积之和最小？并求出最小值。 设剪成的三段分别为，则围成的面积之和为zyx,，且363 164222zyxSlzyx这是条件极值问题。作函数为Lagrange)(363 164222 lzyxzyxL由lzyxzLyLxLzyx01830802得条件驻点，其中000,zyxM,3340lx,33440ly334330lz由实际问题有解，而驻点唯一，故问题的解在驻点取得。密密 封封 线线 学号：学号： 姓名：姓名： 班级：班级：出卷老师：骆世广2所求的最小面积为)334(4)(2lMS3.设，且 ，当时，有,)()(的原函数是xfxF42) 1 (F0x，试求。)1 (arctan)()(xxxxFxf)(xf解答： 由，知 )()(xFxf)1 (arctan)()(xxxxFxF即 xdxxdFxFarctanarctan2)()(解出 CxxF22arctan)(21代入初始条件即得 （）)1 (22)(xxxf0x4.设其中均为实数，,sin.2sinsin)(21nxaxaxaxfnnaaa,.,21为正整数。已知对一切有试证 nx,sin)(xxf. 1.221nnaaa证 由于 因此,sin.2sinsin)(21nxaxaxaxfn,cos.2cos2cos)(21nxnaxaxaxfnnnaaaf.2)0(211sinlimsinlim)(lim0)0()(lim)0( 0000 xx xxxxf xfxff xxxxQ. 1.221nnaaa5.将函数展开成 x 的幂级数，并求级数的和.xxxf2121arctan)(012) 1(nnn解解: : 又 f(0)=, 所).21,21(,4) 1(2412)(202xxxxfnnnn 4以dttdttffxfnnxxnn4) 1(24)()0()(2000 =).21,21(,124) 1(24120xxnnnnn出卷老师：骆世广3因为级数收敛，函数 f(x)在处连续，所以012) 1(nnn21x.21,21(,124) 1(24)(120xxnxfnnnn令，得,21x012 012) 1( 421 124) 1(24)21(nnn nnnnf再由，得 0)21(f.4)21(412) 1(0fnnn二、线性代数部分：（共二、线性代数部分：（共 3 3 小题，每小题小题，每小题 1010 分）分）6.求n阶行列式Dn=，展开后的正项总数。111 111111 111 L L LLLL L L解：Dn=2n1，设Dn展开式中正、负项总数分别 ccccccn131121000 1200 12201222L LL L L LLLLL L为x1, x2，则x1+x2=n!，x1x2=2n1，于是正项总数为x1=。1 221(!)nn7.已知阶方阵的特征值为，求的特征值A235AAB及相似对角阵解：设，则， )0(A22A33A，令-1,1,2 得的特征值为：)5()5(2323AABB-6.-4.-12。 所以相似于 B 12468. 为何值时，线性方程组x1 + x2 + x3 = 3出卷老师：骆世广4x1 +x2 + x3 = 2x1 + x2 +x3 = 2有唯一解, 无解和有无穷多解? 当方程组有无穷多解时求其通解.解：113112112112112113 4211211201100110 0113300(1)(2)33 分 当时，r(A)=r(Ab)=3,方程组有唯一解；12 且方程无解；方程组有唯一2, ( )()r Ar Ab 时1, ( )()1r Ar Ab 时解有无穷多解，此时7 分1112 ()0000 0000Ab 方程组的等价方程组为1232xxx 其通解为12211 010 001cc 其中为任意常数。12,c c10 分三、概率论与数理统计部分（共三、概率论与数理统计部分（共 3 3 小题，每小题小题，每小题 1010 分）分） 9设有随机变量和，它们都仅取 ，两个值已知UV11, 2/11UP.1|13/11|1UVPUVP(1)求和的联合分布密度.UV(2)求的方程至少有一个实根的概率.x02VUxx出卷老师：骆世广5(3)求的方程至少有一个实根的概率.x0)(2VUxVUx解解 (1). 6/1)2/1)(3/1 (11|11, 1UPUVPVUP11|11, 1UPUVPVUP. 6/1)2/1)(3/1 (11 )3/1 (UP11|11, 1UPUVPVUP. 3/1)2/1)(3/2(11|11 UPUVP11|11, 1UPUVPVUP. 3/1)2/1 ()3/2(11|11 UPUVP的联合分布密度为VU,U-1 1V-1 1/6 2/61 2/6 1/6(2) 方程当且仅当在时至少有一实02VUxx042VU根,因而所求的概率为. 2/110402VPVUPP(3) 方程当且仅当在0)(2VUxVUx时至少有一实根,因而所求的概率为0)(4)(2VUVU. 6/51, 11, 11, 10VUPVUPVUPP10.据预测，假设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量 X 服从 2000,4000 （单位：吨）上的均匀分布。每销售一吨，可赚外汇 3 万 元；而销售不出，每吨需库存费 1 万元。问应组织多少货源，才能使收 益最大？解： 设应组织货源吨，显然 -t40002000t-1 分出卷老师：骆世广6则收益为-3 分 tXtXtXtXgY,4,3)(因为 X 的密度为-otherwisexxf, 040002000,20001)(-5 分 所以-7 分40002000)(20001)()()(dxxgdxxfxgYE 400020003)4(20001tt tdxdxtx-10 分40000007000100012tt当时，达到最大 -3500t)(YE-12 分 11.经过十一年的试验,达尔文于 1876 年得到 15 对玉米样品的数据如下 表,每对作物除授粉方式不同外,其它条件都是相同的.试用逐对比较法 检验不同授粉方式对玉米高度是否有显著的影响().05. 0授粉方式123456 异株授粉的作物高 度(xi)23.1 251220.3 752219.1 2521.5同株授粉的作物高 度(xi)27.3 7521202019.3 7518.6 25 789101112131415 22.1 2520.3 7518.2 521.6 2523.2 52122.1 25231218.6 2515.2 516.51816.2 51812.7 525.518解解 本题是历史上第一个对比试验的结果我们用逐对比较法来检验计算与的差：的差得到：ixiyiiiyxd-4.25, -9, -0.375, 2, -0.25, 2.875, 3.5, 5.125, 1.75, 3.625, 7, 3, 9.375, 7.5, -6 今要求在水平下检验假设05. 0出卷老师：骆世广70:, 0:10DDHH现在,1448. 2)14() 1(,05. 0,15025. 02tntn有所给的数据得069. 5,725. 1Dsd)14(1448. 23180. 1/|025. 0t nsdtD故接受,即认为两种授粉方式对玉米高度无显著影响 0H四、数学建模知识问答部分（共 3 小题，每小题 10 分） 12.通常大包装的商品与小包装的商品比较，前者的单位重量价格较便 宜，这主要是受商品的包装材料成本的影响。现设商品的包装材料成本 C 与其表面积 S 成正比，商品的包装呈圆柱形，底面直径 D 与高 h 的比 为 D:h=1：2，试分析商品包装表面积 S 与商品重量 W 的关系，进而说明 单位重量的包装材料成本与 W 的关系。解解：由题意知,h=2D,商品的体积 ,32 24DhDV因重量与体积成正比，设比例系数为k, 则从而3 2DkW, 312)kW(D而包装的表面积为, 2225 42DDhDS把代入得, 32322 25 252pWkWDS其中为常数，式反映了 S 与 W 的关系.322 25kp因 C 与 S 成正比,故设C=qS,其中q为比