1第六章第六章 多元函数积分学多元函数积分学一重积分一重积分例例 1：将用两种积分次序表为二次积分。DdyxfI),(（1）：由曲线所围；D1,21, 0, 8222yyxyyx（2） axyxaxaxD2220:2例例 2：交换二次积分的顺序。x dyyxfdxsin020),(例例 3：计算二次积分xxdyyxdx2sin212422sinxdyyxdx例例 4：计算二次积分y xRydxedye02022 22220 2yR xRRydxedye例例 5：计算二重积分，其中是由直线以及曲线DydxdyID2, 0, 2yyx所围成的平面区域。 （答案：）22yyx24例例 6：计算二重积分，其中是由直线和DdxdyxyI2D2, 1, 1yxx轴所围成的平面区域。 （答案：）x35 2例例 7：设在上连续，且)(tf), 0 1)(tf 222422 21tyxdxdyyxf求 （答案：）)(tf24)(tetf例例 8：设闭区域： 为上的连续函数，且D. 0,22xyyx),(yxfD221),(yxyxf Ddudvvuf,8 2求 （答案：）),(yxf221),(yxyxf 32 234 例例 9：计算二重积分，其中由圆DdxdyyxI22D所围成的平面区域。 （答案：）轴及直线xxyxyx,2222910例例 10：设是平面上以为顶点的三角形区域，是在第Dxoy) 1, 1(),1 , 1(),1 , 1 (1DD一象限部分，则等于Ddxdyyxxy)sincos()(A1sincos2Dydxdyx)(B12Dxydxdy)(C1)sincos(4Ddxdyyxxy0)(D例例 11：计算DdxdyyxxxyyI22211ln1）（其中。 （答案：）0122yyxyxD，），（)41 (22ln2例例 12：计算二重积分，其中由DdxdyyxyfxI)(1 22D所围成的平面区域，是上的连续函数。 （答案：）1, 1,3xyxyfD52例例 13：证明10010)()1 ()(dxxfxdyyfdxx例例 14：设在上连续，证明)(xf,ba babadxxfabdxxf)()()(22例例 14：设为上的单调增加的连续函数，证明)(xf 1 , 0102103)()(dxxxfdxxxf 102103)()(dxxfdxxf例例 15：求，其中由圆和DdxdyyyxI)(22D422 yx围成的平面区域。 （答案：答案：） （2004 年数学三）1) 1(22yx)23(9163例例 16：设二元函数 211 ,1, ),(222yxyxyxx yxf计算二重积分，其中 Ddxdyyxf),(2),(yxyxD例例 17：计算三重积分，其中是由 dvxxyIsin所围成。2, 0, 0,zxzyxy例例 18：计算三重积分，其中是由曲线绕轴旋 dxdydzyxI)(22 022xzyz转一周而成的曲面与平面所围的立体。 （答案：）8, 2zz336例例 19：计算三重积分，其中是由及 dvzI2)0( 1222zzyx所围成的区域。 （答案：）221yxz6例例 20：计算三重积分，其中是以平面及锥面 dxdydzzyxI2221z为边界的区域。 （答案：）22yxz) 122(6例例 21：计算三重积分，其中 zdvI（答案：）403,22zzyxzzyx，），（128例例 22：设有一半径为的球体，是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密R0P度与该点到距离的平方成正比（比例系数） ，求球体的重心位置。 （答案：0P0k）)0 , 04(R例例 23：设函数连续且恒大于)(xf，)(22)(222)()()(tDt dyxfdvzyxftF tttDdxxfdyxftG )()()(2)(22其中，),()(2222tzyxzyxt),()(222tyxyxtD（1）讨论在区间内的单调性；)(tF), 0( 4（2）证明当时，0t)(2)(tGtF二曲线积分二曲线积分例例 1：计算，由圆周，直线及轴在第一象限中所dse Lyx22:L222ayxxy x围图形的边界。 （答案：）aaee4) 1(2例例 2：计算，其中为曲线（答案：）dsyx C22Cyyx2228例例 3：计算，其中为由点沿曲线dyxeydxexy AOByy)(cos)12(AOB) 1 , 1(A到点，再沿直线到点的路径。 （答案：）2xy )0 , 0(0y)0 , 2(B11sine例例 4：计算下列曲线积分dyxydxyxy AMBsin)( cos)(其中为连接点与点的线段之下方的任意路线，且该路线与线段AMB)2 ,(A)4 ,3(BAB所围图形面积为.（答案：）AB226例例 5：计算，其中是以点为中心，为半径的圆周（） ，方Lyxydxxdy224L)0 , 1 (R1R向为逆时针方向。 （答案：）时为；当时为当101RR 例例 6：计算曲线积分 ，其中为正方形边界 的正向。 （答案：Lyxxdyydx22L1 yx）2例例 7：计算，其中积分路径为过三点的)2, 1()0, 0()2()(dyyxedxxeyy)2 , 1 (),1 , 0(),0 , 0(圆。 （答案：）272e例例 8：设函数在平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分),(yxQxOy与路径无关，并且对任意 恒有 LdyyxQxydx),(2t5)1 ,()0, 0(),(2t dyyxQxydx), 1()0, 0(),(2t dyyxQxydx求（答案：）),(yxQ122yx例例 9： 计算曲线积分 ，其中是沿由 LyxdyyxdxyxI22)()(Lxycos的曲线段。 （答案：）),(),(BA到23例例 10：设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲)(yL线积分 的值恒为同一常数。Lyxxydydxy4222)(（1）证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有0xC；022)(42 Cyxxydydxy（2）求函数的表达式。 （答案：）)(y2y（2005 年数学一）年数学一）例例 11：计算曲线积分，其中是曲线dzyxdyzxdxyzIL)()()(L，从轴正向往轴负向看的方向是顺时针的。 （答案：） 2122zyxyxzzL2三曲面积分三曲面积分例例 1：计算，其中为平面被柱面所截下的 dSzyx)(5 zy2522 yx部分。例例 2：设为椭球面的上半部分，点为在点处S122222 zyx,),(SzyxPSP的切平面，为点到平面的距离，求（答案：）),(zyx)0 , 0 , 0(O dSzyxz ),(23例例 3：设有一高度为（ 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程)(tht6（设长度单位为厘米，时间单位为小时） ，已知体积减少的速率与侧)()(2)(22thyxthz面积成正比（比例系数） ，问高度为（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？（答案：9 . 0130 小时）100例例 4：计算曲面积分，其中是由曲面及两平面Szyxdxdyzxdydz2222 S222Ryx所围的立体表面的外侧。 （答案：）)0(,RRzRzR2 21例例 5：计算曲面积分dxdyzxdzdxyzdydzxy)()()(222其中是曲面的上侧。 （答案：）)21 (222zyxz，49例例 6：计算曲面积分 ，其中为下半球面 21 2222)()(zyxdxdyazaxdydz的 上侧，为大于零的常数。 （答案：）222yxaza3 21a例例 7：设向量，曲面为上半球面被锥,22zyxyA S)0( 1) 1(222zzyx面所截得部分（满足） ，且指向上。求 A 通过的流量。22yxz22yxzS例例 8：设对于半空间内任意的光滑有向闭曲面，都有0xS0)()(2 Sxzdxdyedzdxxxyfdydzxxf其中函数在内具有连续的一阶导数，且.求.（答案：)(xf), 0( 1)(lim 0 xf x)(xf）) 1()(xx exexf