高中课程标准实验教材 数 学(必修) 教材分析与教学建议北京市高中数学课改培训指导组北京市高中数学课改培训指导组 20092009年年2 2月月数学(必修5)的内容第一章 解三角形第二章 数列第三章 不等式教材的特色 人文性问题性 应用性思想性联系性第一章 解三角形n正弦定理和余弦定理3课时n应用举例4课时n实习作业1课时（一）知识结构三角形中的边角关系正弦定理余弦定理解 三 角 形解三角形的应用一、对课标和教材的分析（二）地位与作用1整体定位：(承上启下)延伸、应用、工具、交汇2中心内容:探究、发现、应用3主要问题长度、角度、面积整体定位：本章定位主要包括以下四个方面:(1)延伸：初中解直角三角形内容的延伸。(2)应用：高中三角函数一般知识和平面向量知 识在解三角形中的具体应用 。(3)工具：是解决可转化为三角形计算问题的 其他数学问题(特别是生产、生活实际中的实 际测量问题)的重要工具。(4)交汇：中学许多重要数学知识的交汇点。本章主要处理的是三角形中长度、角度、 面积的度量问题，在三角形中有六个元素，三 条边、三个角，解三角形通常是给出三个独立 条件，求出其它的元素，如果是特殊三角形， 如直角三角形，则给出两个条件就可以了，解 三角形需要利用边角关系，正弦定理和余弦定 理是刻画三角形边角关系的重要定理。同时， 为学生理解数学中的量化思想、进一步学习数 学奠定基础。对本章内容的把握：中心内容和主要问题1课标描述（1）通过对任意三角形 边长和角度关系的探索，掌 握正弦定理与余弦定理，并 能解决一些简单的三角形的 度量问题；（三）目的与要求（三）目的与要求（2 2）能够运用正弦定理、余弦）能够运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法，解决一些定理等知识和方法，解决一些测量测量 与几何与几何计算有关的计算有关的实际实际问题问题2教学指导意见描述（1）通过对任意三角形边长 和角度的关系的探索，掌握正弦定 理与余弦定理，并能解决一些简单 的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余 弦定理等知识和方法，解决一些测 量与几何计算有关的实际问题（三）目的与要求（三）目的与要求（四）教学重点与难点 教学重点1探究与发现2设计与运用 教学难点1已知“边边角”求解三角形；2解三角形在实际问题中的应用 二、课标教材的特点（一）对课标与大纲教材 （新旧教材）的比较1从教学内容编排的位置来看 ；2从安排位置与描述方式来看 ；3从例题与习题的配备来看；4从课时安排来看；5从课标卷的命题情况看课标与大纲关于 本章内容的教学安排和教学要 求的比较与思考。首先是关于本章教学内容的 教学安排和教学要求的比较。 （1）理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。 （2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用单位圆中的三角函 数线表示正弦、余弦和正切。了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌 握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式。 （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、 余弦、正切公式；通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑 推理能力。 （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证 明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。 （5）会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此 基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意 义；并通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“ 五点法“画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A、 的物理意义。 （6）会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsin x、arccos x、arctan x 表示。 （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形， 能利用计算器解决解斜三角形的计算问题。 （8）通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解 决实际问题的能力。 （9）实习作业以测量为内容，培养学生应用数学知识解决实 际问题的能力和实际操作的能力。 第一，从教学内容安排的位置 来看课标教材安排在第五模块且 独立成一章解三角形；大纲教材则安排为第五章 平面向量的一个单元，定位为 平面向量的应用，即5.9与5.10两 小节。第二，从课标与大纲 描述方式来看： 课程标准对这部分知识内容的 教学要求相对比较独立 （1）通过对任意三角形边长和角度的 关系的探索，掌握正弦定理与余弦定理，并 能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够运用正弦定理、余弦定理等 知识和方法，解决一些测量与几何计算有关 的实际问题。 而教学大纲则是将这部分知识的教学 要求与三角函数和三角恒等变换安排在一起阐 述的：大纲第三，从例题与习题的配备来看有关正弦、余弦定理的理解与巩固的例题 与习题的数量基本持平，但对应用问题的要求 则有明显差异只有2个应用例题；2个练习题；4个习题 ，且解答过程基本上侧重于三角变换。 例1 自动卸货汽车的车厢液压机构为背 景的解斜三角形问题例2 机械传动的曲轴连杆机构为背景的 解斜三角形问题课标教材有10个应用例题；9个练习题；10个 习题。分别涉及到天文测量、航海测量、 地理测量等方面实践活动， 航海中海上 两个岛屿间的距离的测量；海上航行的船 只的船速与航向的测量；平面上不可到达 的两点间距离的测量；底部不可到达的建 筑物的高度的测量；水平飞行的飞机下方 山顶的海拔高度的测量；在天文研究中星 际距离的测量；角度与面积的测量等生活 实际中的实际应用问题。第四，从授课学时安排来看： 2007广东卷:(16)已知ABC顶点的直角坐标分别为A（3 ，4），B（0，0），C（c,0）,（1）若c=5，求sinA的值；（2）若A是钝角，求c的取值范围2007海南宁夏卷:(17)测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔 底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得BCD=, BDC=,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为,求塔高 AB.2007山东卷:(20)甲船以每小时30海里的速度向正北方向 航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,已船 位于甲船的北偏西105方向的处,此时两船相距20海里,当 甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西120方 向的处,此时两船相距10海里,问乙船每小时航行多少海里 ?第五，从课标卷的第五，从课标卷的命题情况看命题情况看（二）与大纲教材比较， 课标教材的几个突出转变 1内容定位的转变 标准强化了本部分 知识的独立性与重要性； 大纲则是将本部分 从属于三角函数和平面向量 （二）与大纲教材比较，课 标教材的几个突出转变 2教学思想的转变 两者都强调对正、余弦定理的结论学习 和掌握。大纲强调给予和接受，突出教 师的教和注重结果；课标则强调探究与 发现，突出学生的学和关注探究过程。 大纲教材中，解斜三角形作为平面向量 知识的应用，重在其工具性和应用性； 新课标将解三角形作为几何度量问题来 处理，突出几何作用，培养学生的量化思想 ，并引导教师关注运用正、余弦定理等知识 和方法解决一些与测量有关的实际问题。（二）与大纲教材比较， 课标教材的几个突出转变 3教学重点的转变 大纲：与三角函数和三角恒等变 换安排在一起，关注三角形边角关系的恒 等变换，侧重点在恒等变形上； 标准：作为几何度量问题来处理 ，突出几何的作用与应用，通过应用正弦 定理与余弦定理解决实际测量问题，借此 培养学生的应用意识和应用能力。（二）与大纲教材比较，课 标教材的几个突出转变 3教学重点的转变 大纲教材对解斜三角形的要求是：掌握正弦 定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形，能 利用计算器解决斜三角形的计算问题。通过解三 角形教学，提高运用所学知识解决实际问题的能 力。通过以测量为内容的实习作业，培养学生应 用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能 力。 课标教材在计算方面降低了要求，取消了“ 能用计算器解决解斜三角形的计算问题 ”，削弱 了用计算器解决斜三角形的有关计算问题，而在 探索推理方面作了相应提高，重视正、余弦定理 发现过程的探究，“通过对任意三角形边长和角 度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理。”（二）与大纲教材比较，课 标教材的几个突出转变 为什么要将解三角形与三角变 换分离，放在必修模块5中？（1）放在平面向量内容之后，体现 向量的应用价值；（2）不放在三角变换后面的深刻含 义 淡化利用正、余弦定理进行复杂的三 角变换， 突出正、余弦定理在解三角形和实际 测量问题中的应用功能。（三）新教材的主要特点1关注数学情景2强调数学思想3丰富数学文化4重视数学应用5 经历探究发现1关注数学 情景2强调数学思想特殊与一般转化思想方程思想分类整合的思想3 3丰富数学文化丰富数学文化4 4重视数学应用重视数学应用5经历探究发 现以 以“ “特殊到一般特殊到一般” ”的数学发现模的数学发现模 式来组织内容式来组织内容 （1 1）教材以）教材以 “ “直角直角 任意任意 ” ” 为主为主 线展开；线展开； （2 2）充分发挥学生的已有经验在探）充分发挥学生的已有经验在探 索正弦定理和余弦定理中的作用索正弦定理和余弦定理中的作用三、教学建议（一）重视对学生问题意识、 探究意识和推理能力的培养（1）知识结论的探究；（2）定理证明方法的探究；（3）从定性关系到定量关系的探究 问题情境直角三角形锐角三角形钝角三角形应 用例2 已知abA例1 已知ABa问 题已知abA，能否确定 三 角形？探究与发现解三角形的进一步讨论大边对大角能否将边角关系量化？（1）知识结论的探究 以 “直角 任意” 为主线展开探究（2）定理证明的探究 正弦定理方法一：直角，锐锐角，钝钝角 三种情况 方法二:向量法 方法三：外接圆法（分类 ） 正弦定理的常见变形形式正弦定理的常见变形形式方法四方法四: :面积法面积法知识拓展：正弦定理是由伊朗天文学家阿 布尔威发（940998）首先发现与 证明的公元十三世纪，阿塞拜疆 人那西列金图西系统地整理了前 人有关的三角形知识，他根据实际 测量中解斜三角形的需要，证明了 正弦定理与正切定理正切定理：方法二：向量法若余弦定理 方法一： 向量法方法二：方法二： 作高作高 利用勾股定理利用勾股定理余弦定理 方法四： 利用正弦定理方法三：解析法方法三：解析法余 弦定 理 余弦定理的变变形形式：初中平面几何所研究的是平面图形中数学元 素之间所蕴含的定性关系，如平行、垂直、相似、 全等等，解三角形则是确定平面三角形中的边 与角之间蕴含的定量关系。本章对两个定理的探究与推导都十分强调这 一量化思想方法。从任意三角形中大边对大角、小边对小角 的定性关系，到三角形边角关系的的准确量化；判定三角形全等的定性条件 “边角边”、“ 边边边”，到定量而可计算的公式 ，即具备上述条 件的三角形是唯一的，也即在上述条件下的解三角 形只有一解（3）从定性关系到定量关系的探究（二）重视对学生应用 意识与应用能力的培养1从三个层次把握问题；2利用图形语言的直观功能；3重视实际应用问题的解题规范（二）重视对学生应用意 识与应用能力的培养1从三个层次把握问题应用向量知识证明正弦、余弦 定理；应用三角函数的性质与