第一章第一章 数学思维的基本方法数学思维的基本方法什么是思维？如何给思维下定义，心理学家尚无一致意见.“心理学上,思维是指运用 智能寻求问题的答案或寻求达到实际目的的手段.可能最令人满意的暂用定义就是任何内隐 的象征反应.”说得明白点,在解决问题过程中,人脑里限于意象符号以及用符号表示的命题 的没有外观的内部操作活动就是思维.数学中认识概念、学习公理、定理、公式、法则的过 程，以及探求解决问题的方案的活动一刻也离不开思维，若忽视或阉割数学的教和学过程 中的思维活动，就无法教好和学好数学.在数学教学中必须研究数学思维活动的规律,这已 成为不可阻挡的趋势. 数学学习,通常要用到“信息的储存” 、 “信息的检索”以及“固定的思维模式”的思维 方法.下面谈谈这三种思维方法. 一、信息储存的思维方法一、信息储存的思维方法 学习数学的基本知识(概念、公理、定理、公式、法则等等)，从掌握到运用，要把信 息存入到自己的信息库大脑中,而不是把储存过程简单地压缩为单纯的记忆和背诵,不 能设想,学生能把完全不理解的定理、公式牢固地记住,信息储存的开始,可在教师的启发指 引下,通过独立思考,弄清知识的来龙去脉,理解知识的意义,把握新知识与已有知识之间的 区别和联系,这是储存信息过程的第一步,在理解的基础上,进行思维加工,形成信息块或压 缩成形象符号系列,使之便于记忆储存,这是第二步.第三步,当单元学习结束以至一门课程 结束时,注意信息的纵向、横向联系,特别是概念与概念、概念与定理之间的逻辑关系,把信 息放入到一个合理的知识框架知识的逻辑结构中,切记,为了与遗忘作斗争,应在适当的 时候进行复习、写笔记、写知识结构框图,从厚到薄,再根据框图,从基本概念出发,推导定 理与公式直至自己在学习中的独立创见，从薄到厚.这样,从厚到薄,从薄到厚的反复,是信 息储存思维过程 中的重要方法.以上所述,是信息储存思维方法的概括描述,对于不同的信 息,还应针对其特点,灵活运用.下面以对数函数这一节为例,说明信息储存的思维过程. 必修必修 1 1 2.2.22.2.2 对数函数及其性质,列表如下:一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 y=logax一 一 a1一 一 0a1一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一单单调调性性：单单调调性性：过过特特殊殊点点：值值域域：0a1定定义义域域：a1性性 质质图图象象（0，+） R过过点点（1，0），即即x=1时时y=0在在（0，+）上上是是增增函函数数在在（0，+）上上是是减减函函数数一 一 0一 一 x一 一 1一 一 一 一 y一 一 0一 一 x=1一 一 一 一 y=0一 一 x一 一 1一 一 一 一 y一 一 0一 一 0一 一 x一 一 1一 一 一 一 y一 一 0一 一 x=1一 一 一 一 y=0一 一 x一 一 1一 一 一 一 y一 一 0将对数函数的基本知识概括成如上表的框图.若结合对数的换底公式及函数与函数图像关于1loglogxx a a yf x yf x 轴对称,将上表的对数性质概括为只需掌握的性质即可.同时又掌握了如何xlog1x aya从图像观察函数的定义域、值域及单调性.这样只要熟记的图像就可以,以log1x aya上就是从厚到薄的过程.若结合反函数性质,联系到与互为反函数,log01x ayaa且01xyaaa且这样与指数函数的性质联系起来,便于我们灵活运用.以上就是从薄到厚的过程. 这就是信息储存的思维方法. 二、信息检索的思维方法二、信息检索的思维方法 在解决数学问题时,总是从自己的信息库中检索所需要的信息,那未检索的思维过程是 怎样的呢?这一过程比较复杂,这里,只能作概括的描述,一般是根据问题的要求,内容(条件 与结论或已知与未知)所涉及的信息范围以及过去解决问题的经验教训,进行联想检索,这里 以发散思维为主,从有关信息中检索出问题所必需的知识,在涉及的知识点不多,问题要求明 确的情况下,检索过程比较简单,在涉及的知识点多,问题要求又比较曲折隐晦时,检索过程 就相当困难,只有在信息存储时,对信息理解深刻,对知识的逻辑结构清楚,且存放的地位得 当,才能加快检索过程,迅速想到所需的知识,可见检索的基础是储存,储存的功夫下的深,检 索才能迅速.检索的方法是善于审题,从问题的要求、内容进行发散式、多角度、全方位地 联想. 下面通过实例看看信息检索的思维过程.例例 1 1、若函数在上单调递增,求的范围. ax axf2log3 , 1a解：，在上单调递减0aQaxt23 , 103202aa且Q32a又因为函数在上单调递增 ax axf2log3 , 1所以由复合函数单调性在上单调递减ttfalog)(3 , 1即10a综上320 a例例 2 2、已知函数,试确定的范围. bfcfafcbaxxf又且,0,lgca解：由函数图象可知不可能同时大于或小于，即cba,ca1，即，即)()(cfafQcalglg0lglgca10 ac三、固定的思维模式的思维方法三、固定的思维模式的思维方法 在数学中,从小学的四则运算法则到微积分的求导的基本法则,都有一套固定的思维模式,这种解决某种问题的固定的思维模式在数学学科中是常见的.例如:代数式的四则运算, 解方程与解方程组的消元、降次法，因式分解中的提公因式法、公式法和分组分解法,数列 求和中的叠加法、拆项法,证不等式的比较法、均值不等式法，三角中的置换法、辅助角法， 立体几何中的降维法，解析几何中的解析证法,求轨迹方程的基本法则等等. (一)这类固定的思维模式,一般通过模仿不难掌握,通过一定量的练习就可转化为熟练 的技能,要努力做到正确、迅速、合理且在合理上下功夫.例例 1 1、在数列求和中,老师在介绍了求和后,要求做练习:若为nn11 321 211L公差为的等差数列, nad求证:.nbnaan aaaaaa1132211111L解：dnaan) 1(1Qdaaaakkkk1)11(111即证nnnnnaan daadn daaaaaaaa1111322111) 1(1)11(111L例例 2 2、老师在介绍的值域后,要求做:函数的值域. xxxfcos2cos xxxgcos2sin 解：，)(xfy 令xxyysincos2则yxyx2cossin，yxy2)sin(12 212)sin( yyx ，1)sin(xQ1 122 yy解得，值域33 33y 33,33例 1 是拆项求和,但要用到等差数列的性质.例 2 是正、余弦三角函数的有界性,但要用 到辅助角,可见即使对于这类有固定思维模式的问题,仍然存在一个灵活运用的问题,万万不 可墨守成规,一成不变. (二)这类固定的思维模式的建立仍存在一定的思维过程,其中孕伏着数学思维的基本观 点和解决问题的策略思想.因此,学习这类思维模式不能单纯的机械模仿,应灵活地运用数学 的基本知识,理解这些基本方法产生的思维过程,这样既有利于基本知识的熟练掌握,又可提高思维能力.例例 3 3、求和.2222123 1 33 55 72121n nnL解：)121 121(81 41 ) 12)(12(1141) 12)(12(1) 12)(12( 41 ) 12)(12(2 kkkkkkkk kkkQ24) 12(44)1211 (81 4)121 121 51 31 311 (81 42nnn nnn nnnnnL原式例例 4 4、设为三角形的三边, 为三角形的面积, ,a b cS求证: .2224 3abcS证：)cos3(cos2)(2)sin21(34cos234222222222AAbccbAbccbAbccbScbaQ0)6sin(1 (4)6sin(44)sin23cos21(44222AbcAbcbcAAbcbcbccbQ2224 3abcS对于这类有固定思维模式的数学思维方式,教材中论述较多,模仿能力是学习中的基本能力, 对于思维模式,不应一概反对,要模式,正是为了不要模式,要善于学习,坚持独立思考,勇于 探索,要有自己的特点,只要持之以恒,相信你们一定能取得不断进步.第二章第二章中学数学常用解题方法中学数学常用解题方法研究数学思维活动的规律，培养数学思维的能力，最终是为了解决数学问题.如何培养 数学思维的能力，解题过程尤为关键，本章介绍十种常用解题方法，通过解决各种数学问 题，进一步发展思维能力，打开人脑的智慧大门. 一、一、构造函数构造函数1、 若分别是方程的解，试比较的cba,3log, 3log, 3log543xxxxxxcba,大小.解：构造函数，xy 3函数与分别,log3xy ,log4xy xy5logxy 3交与，由图示即abcxxx. abc缺图缺图2、 方程在内有解，求的范围.0232axx2 , 1a解：，31)31(33222xxxaQ.31, 8,2 , 1 ax3.关于 x 的不等式 232x3x+a2a30，当 0x1 时恒成立，则求实数 a 的取值范 围? 解析头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 设 t=3x，则 t1,3 ，原不等式可化为 a2a32t2+t,t1,3头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 等价于 a2a3 大于 f(t)=2t2+t 在1,3上的最大值头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 答案头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 (,1)(2,+)4.设集合 A=x4x2x+2+a=0,xR头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 （1）若 A