最值问题最值问题考纲解读：考纲解读：最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各个知识点中，各个知识水平层面上。以最值为载体，可以考查中学数学的很多知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想方法，还可以考查学生的思维、实践和创新等能力。因此，它在高考中占有重要的地位。热点展望：热点展望：函数的最大、最小值问题（即最值问题）是函数性质中一个极其重要的内容。它不仅与其他的数学知识有着广泛的联系，而且求最值的问题也颇具灵活性和技巧性。因而它也是高考考查的热点之一。条件最值是根据题目中所给出的条件来确定所求目标函数最值的一种题型。它广泛联系着代数、三角、几何等多方面的知识，又与生产实际中的问题紧密地联系在一起，是培养分析能力和综合能力的一个好课题。求条件最值一般是根据题目中所给的条件，灵活采用消元法、换元法、平均值不等式及数形结合等方法来解决。使用时要注意他们有效可靠的一面和失效不可靠的一面，既要注意共性，又要抓住个性，正确处理，相辅相成，灵活运用。点的运动时解析几何的根本，探索在运动变化情况下点的运动时解析几何研究的核心内容之一。解析几何中的定点、定值与最值问题就是对点的运动特征的研究，但由于这类问题对能力要求较高，所以高考中此类问题考查较少。比较而言，最值问题因涉及函数思想、不等式内容，有一定的综合性，所以在高考试题中体现得更多，值得重视。不等式恒成立的问题常常转化为求函数的最值，例如：对恒成立的最小值； 0xfRx xf0对恒成立的最小值。 0xfRx xf0实际应用问题中，最优化问题所占的比例较大，通过建模可转化为最值问题，这类问题已成为近几年高考的热点，可以肯定，其热度还会继续保持。我们会在第三专题中专门进行研究。记忆方略记忆方略 配方法要点提炼要点提炼1、求几类重要函数最值的方法。（1）二次函数：配方法和函数图象相结合；（2）:从均值不等式法和单调性中加以选择; Raaxaxxf, 0（3）多元函数：数形结合或转化为一元函数。2、实际应用问题中的最值问题一般有下列模型：函数的最值线性规划建立目标函数能直接判断热点考向聚焦热点考向聚焦热点考向热点考向 1 利用均值不等式求最值函数法一次函数 tfy 二次函数 tsgy,直接法间接法基本不等式均值不等式法单调性导数法几何法函数的图象平面几何知识解析几何线性规划斜率两点间距离几何不等式例 1、 （1）已知是正常数，且，求证：，并指ba, 0,yxba yxba by ax 222出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数的最小值，指出取最小值时 21, 02192xxxxf的最小值。x【思路拓展】 “基本不等式的运用”是考纲要求的一个重点内容，达到了“C”级，也是近几年来高考中必考的一个知识点，必须注意“一正，二定，三相等”这一特定的条件的满足。【变式训练】1、已知，求函数的最大值；45x54124xxy2、已知，求的最小值；191, 0, 0yxyx且yx3、已知为常实数，求函数的最小值。ba,22bxaxy4、求函数的最大值。xxy241热点考向热点考向 2 利用导数求最值例 2、已知函数 xxxfyln（1）求函数的图像在处得切线方程； xfy ex1（2）求的最大值； xfy （3）设实数，求函数在上的最小值。0a xafxFaa 2 ,【思路拓展】对于最后一问切不可把当做对称轴去讨论区间的两个端点与其ex1aa 2 ,距离，而是要通过比较与的大小最终确定的二级分类标准，也可以分四种 aF 2 aFa情况去讨论，但不简捷。【变式训练】1、已知函数在处取得极值 2. bxaxxf21x（1）求函数的解析式； xf（2）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； xf12 ,mmm（3）若为图像上任意一点，直线 与图像切于点 P，求直线 的斜00, yxP bxaxxf2ll率的取值范围。2、已知函数。 Raxaxgxxf,ln,（1）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切 xfy xgy a线的方程；（2）设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式； xgxfxh xh a（3）对（2）中的，证明：当时，。 a, 0a a1热点考向热点考向 3 二次函数的最值问题例 3、已知的最大值是 2，求实数的值。 204sin2cos21xaxaxxfa【思路拓展】求闭区间上二次函数的最大（小）值，其一般步骤是：(1)当抛物线的顶点横坐标在闭区间内时，则顶点处有最小（大）值，且闭区间距顶点横坐标教员的端点ab 2（即远端点）处有最大（小）值。 （2）当顶点横坐标不在闭区间上时，则近端点有最小（大）值，在远端点处有最大（小）值。【变式训练】1、求函数的最大值与最小值。xxxxy42cos4cos4cossin472、设，函数，若对任意的，都有0a 2 ( ), ( )lnaf xxg xxxx12,1, x xe成立，求实数的取值范围。12()()f xg xa3、已知函数。 Raaxxxf,（1）讨论在上的奇偶性；（2）当时，求函数在区间上的最大 xfR0a xf 21, 1值。热点考向热点考向 4 数形结合求最值例 4、不等式对所有的都成立，求实数的最大值。pxx422xp【思路拓展】本题是将不等式问题转化为函数问题，利用数形结合思想与函数方程思想来解决。【变式训练】1、如图，B 地在 A 地的正东方向 4km 处，C 地在 B 地的北偏东方向 2km 处，河流的30沿岸 PQ（曲线）上的任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km。现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头，向 B，C 两地转运货物。经测算，从 M 到 B、M 到 C 修建公路的费用分别是万元/km、2万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是 万元。aa热点考向热点考向 5 最值的综合问题例 5、已知为的三个内角，且向量的CBA,ABCjBAiBAa2sin25 2cos模（其中） 。423a 1 , 0,0 , 1ji（1）问是否为定值？BA tantan（2）当最大时，存在动点 M，使成等差数列，试求的最大值。CMBABMA、ABMC【变式训练】1、已知函数（为实常数）是偶函数，且。 mtxxxf33tm, 2xxfxg（1）求实数的值，并比较与的大小；m tf tf 2（2）设函数在区间上的最大值为，求； xfy 2 , 2tFtF（3）当时，求证：。ttF30 Nxxgxgnnn22综合练习综合练习1、函数，若对任意，都有成立，则 52sin2xxfRx 21)(xfxfxf的最小值为 21xx 2、点 P 是双曲线右支上的一点，点 M,N 分别是圆和圆1422 yx1522yx上的点，则的最大值为 1522yxPNPM 3、设双曲线的两条渐近线与右准线的三角形区域（包含边界）为 D，122 yx为 D 内一个动点，则目标函数的最小值为 yxP,yxz24、已知，则 642, 62xxxgxxf xgxfxxxfxgxfxxxgxh,的最大值为 xh5、若实数满足：，则的最大值为 nmyx,1, 32222nmyxnymx6、设奇函数在上是增函数，且。若函数对所有 xf1 , 1 11f 122attxf的都成立，则当时， 的取值范围是 1 , 1x1 , 1xt7、在等差数列中，且，则中的最大的是 na01a13853aa nS8、过原点的直线与椭圆交于 A，B 两点，为椭圆的焦点，则四边形14822 yx 21,FF面积的最大值是 21BFAF9、在等差数列中，是前项和，它满足，则数列中的最 nanSn1371, 0, 0SSda nS大项是 10、已知向量，且 A 为锐角。1,1, 3,cos,sinnmnAAm（1）求角 A 的大小；（2）求函数的值域。 RxxAxxfsincos42cos11、已知函数且。 ,cossincos22xxbxaxf 23 21 3, 20ff（1）求的最大值与最小值；（2）且，求 xf,zkk ff的值。tan12、已知函数恰有一个极大值点和一个极小值点，其 Rkcccxkxxf, 1012且中一个是。 （1）求的另一个极值点。 （2）求函数的极大值 M，极小值cx xf xfm，并求时的取值范围。1 mMk13、已知，Ra axxxf（1）求函数的单调区间。 （2）设为在区间上的最小值。写出 xf xg xf 2 , 01的表达式。求的取值范围，使得。 ag2a 26ag