1第一章随机事件的概率 第三节 条件概率与乘法公式 一、条件概率的概念 为了理解条件概率的含义，首 先考察一个具体例子。 例 1 设有某种产品 50 件，其 中有 40 件合格品，而 40 件合格品 中，有 30 件是一级品，10 件是二 级品。在 50 件产品中任意取 1 件 （设每件产品以同等可能被取到） 。 试求 （1）取得的是一级品的概率； （2）已知取得的是合格品，它 又是一级品的概率。 解：令“取得的产品是一级品”A, “取得的产品是合格品” 。B (1)由于 50 件产品中有 30 件一级 品，因此，按古典概率定义得;53 5030)(AP(2)因为 40 件合格品中，一级品恰2好有 30 件，故,43 4030)|(BAP可见 .)()|(APBAP 已知 B 发生，则样本空间的个 数即，表示 B 发生的40Bn (|)P A B条件下 A 也发生，即 A、B 同时发 生，其包含的基本事件个数是，故，这是30ABn303(|)404ABBnP A Bn一个以 B 为样本空间的概率计算， 但是我们一般是以样本空间 S（ ）考虑问题，如何进行转50Snn换呢？因为：30 ()350(|)40( )4 50ABBn P ABnP A BnP A n将上式的含义，作为条件概率 的定义，如下： 定义 7 设为试验 的两BA,E个事件，且,则称0)(BP, (1.6)()()|(BPABPBAP3为在事件发生的条件下，事件B 发生的条件概率，记为或A(A|)PB记， （） 。读作：在条件(A)BPFA下事件的概率。 BA 则或记是定义在( |)PB( )BP 上的一个概率测度函数（与( ,)S F有关） 。也是一个概率空B( ,)BS F P间。 条件概率也具有一般概率的性 质。当时有：0)(BP(1)对任意事件,A；1)()()|(0BPABPBAP(2)；1)()()|(BPSBPBSP(3)若互不相容， ,21iAAA则 ;)|()|(11BAPBAPniinii ，)|()|(11BAPBAPii ii(4)对任意事件,A,)|(1)|(BAPBAP4事实上)()( )()()|(BPABBP BPBAPBAP,)()(1)()()( BPABP BPABPBP)|(1BAP例 2 10 件产品中有 6 件正品， 4 件次品。从中任取 4 件，求至少 取到 1 件次品时，取到的次品不多 于 2 件的概率。 解：设 “取到的次品不多于A 2 件”,“至少取到 1 件次品”,B“恰好取到 件次品” ， ;iBi2 , 1 , 0i, 14131)(1)()(4 104 6 00CCBPBPBP,且,21BBAB21BB)()()(21BPBPABP,2117 219 2184 102 62 4 4 103 61 4CCC CCC于是，所求概率.)()()|(BPABPBAP393414132117 二、乘法公式由条件概率的定义得5若,由,得0)(BP)()()|(BPABPBAP,() (1.7)|()()(BAPBPABP0)(BP若,由,得0)(AP)()()|(APABPABP,() (1.8)|()()(ABPAPABP0)(AP 上述两式称为乘法公式。它在概率 的计算中有重要作用。 乘法公式可推广为： 当时,有0)(121 nAAAP)|()|()()(21312121AAAPAAPAPAAAPn , (1.9)|(121 nnAAAAP事实上)|()|()(213121AAAPAAPAP)|(121 nnAAAAP)()( )()( )()()(1212121321121 1 nn AAAPAAAP AAPAAAP APAAPAP， （证毕）)(21nAAAP 还成立如下形式的乘法公式：，)|()|()()(213121321AAAPAAPAPAAAP，)|()|()|(12121BAAPBAPBAAP。)|()|()|()|(213121321BAAAPBAAPBAPBAAAP6例 3 袋中有 5 个白球和 4 个 红球。从中作不放回抽取两次，每 次任取一个球。试求： (1)取到两个白球的概率； (2)取到两种颜色球的概率。 解：令“取到两个白球”,A “取到两种颜色球”,B“第 次取到白球” ，iAi(1)因为，21AAA )|()()()(12121AAPAPAAPAP,185 84 95(或直接求)185 8945)(AP(2)由于，且与2121AAAAB21AA 互不相容，21AA)()()(2121AAPAAPBP)|()()|()(121121AAPAPAAPAP.95 85 94 84 95(或直接做,)95)(2 91 41 5CCCBP例 4 已知，,6 . 0)(AP8 . 0)(BP7,求和35. 0)|(BAP)(ABP)|(BAP 解：由,得35. 0)|(BAP,65. 0)|(1)|(BAPBAP,52. 065. 08 . 0)|()()(BAPBPABP)(1)()()(BAPABPABPABP)()()(1ABPBPAP)|(1)()(1BAPBPAP)|()()(1BAPBPAP,12. 028. 04 . 035. 08 . 06 . 01(或)()()()(BAAPBAPABPABP)()(BAPAP)|()()(1BAPBPAP)12. 028. 04 . 035. 08 . 06 . 01)()( )()()|(BPABAP BPBAPBAP.4 . 02 . 0 52. 06 . 0)(1)()(BPABPAP补充： 例 设,aAP)()0( ,)(bbBP试证 .bbaBAP1)|(证明 由8,)()()()()(1ABPbaABPBPAPBAP 得 ,1)(baABP于是 . bba BPABPBAP1 )()()|(第四节 全概率公式与贝叶斯公式 一、 全概率公式 定理一 设事件组满足：nBBB,21 （1）；SBnii 1（2）互不相容；nBBB,21 （3），niBPi, 2 , 1, 0)( 则对任意事件，恒有A, (1.10)|()()(1iniiBAPBPAP 称为全概率公式。证：, niiniiABBAASA11)(.)|()()()(11iniiniiBAPBPABPAP 例 1 某厂用三台机床生产了同 样规格的一批产品,各台机床的产9量分别占 60%,30%,10%,次品率依次 为 4%,3%,7%.现从这批产品中随机 地取一件,试求取到次品的概率. 解 令“取得次品”,A“取到第台机床生产的产品”,iBi;则： , 3 , 2 , 1i10060)(1BP,10030)(2BP10010)(3BP又已知：,1004)|(1BAP,1003)|(2BAP1007)|(3BAP故由全概率公式得 )|()()(31i iiBAPBPAP .04. 01007 10010 1003 10030 1004 10060例 2 设某昆虫产 个卵的概率k为,(为常数),.每! k ek 0 , 2, 1 , 0k个卵能孵化成幼虫的概率为,且各个卵能否孵化成幼虫) 10( pp 是相互独立的,求该昆虫有后代的10概率. 解 设该昆虫有后代,A该昆虫产 个卵, kBk, , 2, 1 , 0k,!)(keBPkk , 2, 1 , 0k该昆虫没有后代A 每个卵都没孵化成幼虫,k kpBAP)1 ()|( , 2, 1 , 0k由全概率公式得)|()()(0k kkBAPBPAPkkk pke)1 (!00!)1 (kkkpe,ppeee)1(从而 .peAPAP1)(1)(（级数展开公式： ）0!kk x kxe(有人这样作,k kpBAP)|( , 2, 1k)|()()(1k kkBAPBPAPkkk pke 1!.) 1(pee11两种结果不一样，谁对谁错, 错在哪里？ 是要求该昆虫产的k kpBAP)|(个卵都孵化幼虫了, 其实该昆虫k产的 个卵中至少有一个孵化幼虫k 就能使该昆虫有后代, ，k kpBAP)|(正确的应该是,kkiikii kkpppCBAP)1 (1)1 ()|(1, , 2, 1k)|()()(1k kkBAPBPAP)1 (1 !1kkk pke)1() 1()1(peee.)pe1 二、 贝叶斯(Bayes)公式 上例 1 的另一方面的问题是:假 设“取得一件产品是次品”这一事件 已经发生了,问这件次品是第 台机Ai 床生产的概率多大？即求 ,)|(ABPi. 3 , 2 , 1i由上例知,故由条件概率定义、0)(AP12乘法公式及全概率公式得, 31)|()()|()( )()()|(jjjiii i BAPBPBAPBP APABPABP;3 , 2 , 1i由于上式右端各项概率都是已知的, 因此概率也就可求得.把上述计算)|(ABPi 条件概率的方法一般化便得到所谓的 贝叶斯公式. 定理二 设事件组满足：nBBB,21 （1）；SBnii 1（2）互不相容；nBBB,21 （3），niBPi, 2 , 1, 0)( 则对任意事件，有)0)(APA, njjjiii i BAPBPBAPBP APABPABP1)|()()|()( )()()|(, (1.11)ni, 2 , 1 式(1.11)称为贝叶斯公式. 例 3 根据以往的临床记录,某种 诊断癌症的试验具有如下的效果:以13表示“试验反应为阳性”, 表示AC“被诊断者患有癌症”,则, .现对一大95. 0)|(CAP95. 0)|(CAP 批人进行癌症普查,设被试验的人中 患有癌症的概率为 0.005,即,求试验反应为阳性者患005. 0)(CP 有癌症的概率.)|(ACP解 已知,95. 0)|(CAP95. 0)|(CAP,05. 0)|(1)|(CAPCAP,005. 0)(CP995. 0)(CP 由贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP.087. 005. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0例 4 在无线电通讯中,由于随机干 扰,当发出信号为“”时,收到信号为“” 、不清和“”的概率分别为 0.7,0.2,0.1; 当发出信号为“”时, 收到信号为“” 、不清和“”的概率 分别为 0.9,0.1 和 0.如果在发报过程14中“”和“”出现的概率分别是 0.6 和 0.4,当收到信号不清时,原发信号是 什么？试加以推测. 解 设原发信号为“”,1B原发信号为“”,2B