综合问题综合问题 例例 1 如图，直四棱柱如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的高为的高为 3，底面是边长为，底面是边长为 4 且且 DAB=60的菱形，的菱形， ACBD=O，A1C1B1D1=O1，E 是是 O1A 的中点的中点.求点求点 E 到平面到平面 O1BC 的距离的距离.17 解法一在O1AC 中，OE 是O1AC 的中位线，OEO1COEO1BC，BC面 O1OF，面 O1BC面 O1OF，交线 O1F.过 O 作 OHO1F 于 H，则 OH 是点 O 到面 O1BC 的距离， OH=点 E 到面 O1BC 的距离等于 3.23.2解法二：（1）OO1平面 AC，OO1OA，OO1OB，又 OAOB， 建立如图所示的空间直角坐标系（如图）底面 ABCD 是边长为 4，DAB=60的菱形，OA=2，OB=2，3则 A（2，0，0） ，B（0，2，0） ，C（2，0，0） ，O1（0，0，3）33设平面 O1BC 的法向量为=（x，y，z） ，1nu rEO1OD1C1B1DCBAA1则，1nu r1O Buuur1nu r1OCuuu u r，则 z=2，则 x=，y=3，2302 330yzxz3=（，3，2） ，1nu r3设点 E 到平面 O1BC 的距离为 d，E 是 O1A 的中点，=（，0，） ，则 d=1EOuuu u r33 2点 E 到面 O1BC 的距离等于. 2323)3(| )2 , 3 , 3()23, 0 , 3( |22211 nnEO3 2 例例 2. 如图，四边形如图，四边形为为ABCD 矩形，且矩形，且，4,2ADAB ，为为上上PAABCD 平面EBC 的动点的动点. . (1)(1) 当当为为的中点时，求的中点时，求EBC 证：证：；PEDE (2)(2) 设设，在线段，在线段上存在这样的上存在这样的1PA BC点点 E，使得二面角，使得二面角的大小为的大小为. . PEDA4试确定点试确定点 E 的位置的位置. .19. 方法一：(2) 证明：当为中点时，从而为等腰直角三角EBC1ECCDDCEV形，则，同理可得，于是，2 分45DECo45AEBo90AEDoDEAE又，且， PAABCD 平面DEABCD 平面PADE，又，. DEPAE 平面PEPAE 平面DEPE（也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）(2) 如图过作于，连，则AAQDEQ,AE AQ，PQDE第第 19 题题图图CDBAPEPCABDEQzyxPCABDE为二面角的平面角. 8 分PQAPEDA设，则.BEx2CEx,1.4Rt PAQPQAAQPQ在中2,1,Rt ABEAExRt AQEEQxQ在中在中于是 3,Rt AQDDQ在中3DEx，有Rt DCE在中22(3)(2)1xx解之得。23x 点在线段 BC 上距 B 点的处. E32方法二、向量方法.以为原点，所在直线为A,AB AD AP轴，建立空间直角坐标系，如图. 1 分, ,x y z（1）不妨设，则，APa(0,0, ),(1,1,0),(0,2,0)Pa ED从而，4 分(1,1,),(1, 1,0)PEa DEuuu ruuu r于是，(1,1,) (1, 1,0)1 10PE DEa uuu r uuu rgg所以所以 ,PEDEuuu ruuu rPEDE（2）设，则，BEx(0,0,1),(1, ,0),(0,2,0)PExD则. (1, , 1),(1,2,0)PExDExuuu ruuu r易知向量为平面的一个法向量.设平面的法向量为(0,0,1)AP uuu rAEDPDE，则应有( , , )na b cr即解之得，令则，0,0,n PEn DEr uuu rr uuu r0(2)0abxcab x 2cb1,b 2c 2ax从而， 依题意，即，解之(2,1,2)nxr2cos42n APn APr uuu rg r uuu r 222 2(2)5x 得（舍去） ，,所以点在线段 BC 上距 B 点的处. 123x 123x E32例例 3如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，中， 侧面侧面 PAD 为正三角形，底面为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面为正方形，侧面 PAD底底 面面 ABCD，M 为底面为底面 ABCD 内的一个动点，且满足内的一个动点，且满足 MP=MC， 则点则点 M 在正方形在正方形 ABCD 内内 的轨迹为的轨迹为 ( ）15. P 是二面角AB棱 AB 上的一点,分别,在内引射线 PM,PN,如果,则二面角AB的大小是 .45 ,60BPMBPNMPN 15. 9020 （07 浙江文）在如图所示的几何体中，平面，平面，EA ABCDB ABC ，且，是的中点ACBC2ACBCBDAEMAB（1）求证：；CMEM （2）求与平面所成的角的正切值DEEMC20方法一：（1）证明：因为，是的中点，ACBCMABEDCMAB所以CMAB 又因为平面，EA ABC 所以CMEM （2）解：连结，设，则，MDAEa2BDBCACa 在直角梯形中，EABD，是的中点，2 2ABaMAB所以，因此因为平面，3DEa3EMa6MDaDMEMCM EMD所以，因此平面，故是直线和平面所成的CMDMDM EMCDEMDEEMC 角在中，RtEMD6MDa3EMatan2MDDEMEM方法二：如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，CCACBxy过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系CABCz，设，则，CxyzEAa(2)Aa ，(0 2 0)Ba，(2 0)Eaa，(0 2 2 )Da a，(0)M aa，（1）证明：因为，()EMaaa uuu u r，(0)CMaauuu u r，所以，故0EM CM uuu u r uuu u rgEMCM（2）解：设向量与平面垂直，则，001yz，n =EMCEMuuu u r nCMuuu u r n即，因为，0EM uuu u rgn0CM uuu u rgn()EMaaa uuu u r，(0)CMaauuu u r，所以，即，因为，01y 02x 112 ，n =(22)DEaaauuu r，与平面所成的角是与夹角的余角，6cos3DEDE DEuuu ruuu rguuu rg，nn nDEEMCnDEuuu r所以tan217. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 BD、BB1的中点，（1）求证：EFAD1；（2）求二面角 ED1FA 的大小；（3）求三棱锥 D1AEF 的体积.17 解：（1）连结 B1D、A1DEDCMAByzxABCDA1B1C1D1是正方体，A1D 是 B1D 在平面 AA1D1D 的射影，并且 A1DAD1，A1DB1D（三垂线定理）.又在BB1D 内，E、F 分别为 BD、BB1的中点，EF/B1DEFAD1 （2）以 A 为原点，AB、AD、AA1分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，则易知 各点的坐标分别为：A（0，0，0）E（1，1，0）F（2，0，1）D1（0，1，2）)2 , 2 , 0(),1 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (1DAAFAEAE平面 BB1D1D，就是平面 BB1D1D 的法向量.AE设平面 AFD1的法向量 n=（x，y，z） ，则022)2 , 2 , 0(),(02) 1 , 0 , 2(),(1zyzyxADnzxzyxAFn令 x=1 得 z=2，y=2 即 n=（1，2，-2） ，22.cosnAE由图形可知，二面角 ED1FA 的平面角为锐角，二面角 ED1FA 的大小为 45（3）由（1）知，EFAD1，又显然 EFAE，EF平面 AED1EF 就是三棱锥 FAED1的高，又AE平面 BB1D1D，AED1E三棱锥 FAED1的底面 AED1是直角三角形易求得6.,2, 3.122EDAEBFBEEF三棱锥 D1AEF 的体积1.3111EFSVVAEFAEDFAEFD20. 一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中 M、N 分别是 AF、BC 的中点）.（I）求证：MN平面 CDEF；（II）求二面角 DMNB 的余弦值的绝对值.20解：由三视图可知，该多面体是底面 为直角三角形的直三棱住 ADE BCF， 且 AB=BC=BF=2，DE=CF=2. 2CBF= .2（1）取 BF 中点 G，连 MG、NG，由 M、N 分别为 AF、BC 的中点可得，NGCF，MGEF， 平面 MNG平面 CDEF，MN平面 CDEF. （2）建立空间直角坐标系，如图， 则 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ， D（0，0，2） ，F（2，2，0）M（1，1，0） ，C（2，0，2） ，N（2，0，1） ，),2, 1 , 1 (DM， ) 1 , 0 , 0(BN),1 , 1, 1 ( MN设平面 DMN 的法向量), 1 (zym 则，0, 0nMNmDM则； , 2, 3 , 01, 021 zy zyzy)2 , 3 , 1 (m设平面 MNB 的法向量为), 1 (11zyn , 00nBNnMN且则)0 , 1 , 1 (001111 nzzy即设二面角 DMNB 的平面角为，则.772284| |cos| nmnm二面角 DMNB 的余弦的绝对值为.772变式：变式：如图，PA平面 ABC，ACBC，D 为 PB 的中点,AEPB, PA=AC=1,BC=，求二面2角 APBC 的大小。 解：变式:解:向量与的夹角的大小就是二面角 APBC 的大小，如图建立空间直角坐DCEA标系 Cxyz，则 A（1，0，0） ，B（0，0） ，C（0，0，0） ， 2P（1，0，1） ，D 为 PB 的中点，D（） 21,22,21由射影定理，即 E 为的比为， 3122 ABAP EBPEPB31E（，)43,42,43，)43,42,41(EA)21,22,21(DC1,23DCEAcos=.21DCEADCEA,33 DCEADCEA故二面角 APBC 的余弦值为.33PABCE DPABCE Dxyz