1一.曰 .， .东华大学学位论文原创性声 明本人郑重声明: 我格守学术道德，崇尚严谨学风 。所呈交 的学位论文 ，是本人在导师的指导下 ，独立进行研究工作所取得的成果 。除文中已明确注 明和引用的内容外 ，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过 的作 品及成果 的内容 。论文 为本人亲 自撰 写 ，我对所写的 内容负责，并完全意识到本声明的法律结果 由本人承担 。学 位 论 文 储签 名 : 杨 妈 日 期: 、裕年尽月 ; 日乡/2目竺七巴思目巴留吕留昌留留二吕日东华大学学位论文版权使用授权书学位论文作者完全 了解学校有关保 留、使用学位论文 的规定，同意学校保 留并向国家有 关部 门或机 构送 交论文 的复 印件和 电子版 ，允许论文被查阅或借 阅 。本人授权 东华大学可 以将本学位论文 的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索 ，可 以采用 影 印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 。保密 ，在5年解密后适用本版权书 。本学位论文属于不保密扩学 位 论 文 作 者 签 名 :钩 。 乌 日 期:;口 裤/ 的 矛日指导教师签名 :日期 拜对年吮衬、月 护 日3吕留翻，目口思目曰曰巴七巴留圈吕肿瘤侵润 的数学模 型摘 要我们考虑 一个肿瘤侵润模型 ，该模型研究细胞外基质在肿瘤细胞侵润过程 中的作用 。该数学模型是一个偏微分方程系统 。这个系统控制肿瘤细胞的密度 、肿瘤细胞分泌的蛋 白酶 的浓度 、以及胶原质的浓度 。在这个系统里面 ，用于描述肿瘤细胞密度变化 的方程是一个半线性 的扩散一 趋化性 抛物方程 。假设趋化性系数相对于扩散系数而言是 比较小的，我们证 明该模型的一个近似 问题 的解 的全局存在性与唯一性 。而对于一般 的趋化性 系数 ，解 的全局存在性和唯一性还需进一步研 究 。另外 ，我们还将对模 型进行行波解分析 。行波解的不稳定性预 示着肿瘤细胞 的侵润 。最后 ，我们还将在我们的定性分析与Pe rum pan ani 和B yrne 的数值模拟的基础上对原来 的模型提 出一个修正方案 ，然后证 明这个新模型解的全局存在性 。关键 词 : 肿瘤细胞侵润 ， 细胞外基质， 蛋 白酶， 趋化性 ， 抛物方程4二吕. . 二自二. 二. ，. 二二，Am 就 h em at ieal m od el of tu m o r inVa另 io nA B ST R A C T研几 eo n sid er a m a th em at ieal m o d el w h ich 15 u sed to inv estig ate th e ro le o f ex tra-eel lul ar m atri x (EC M ) eoneentrati on i n tum or eel l i nv a si on.T he m odel 1 5 a system ofP ar t ial d iff e ren tlal eq u a tion s g ov ern in g tu m or eell d en sit乳 th e tu m or cell一 d erive d P ro-tease eon eentration an d th e eo llag en ge l eo n eent ratio n . In th is sy stem ，th e eq u a tiondeseribing the evolution of the tum or eell density 15 a seln i linear d访俪葱 on一 h叩tot理 疏 sP a ra b o li e eq u atio n .U n d er th e assu m P tio n th at th e h ap to tac tie eo eff ieien t 15 5饥a lleo m p a red wi th th e d i而 sion eo ef f i eient of th e tu m o r eell， we p rov e th at th e g lo b al 树 争ten ee a n d u n i妙 en ess o f a n a P p r而m ate p ro b lem . FO r 罗 n era l h a p to tac tie eo eff ielent ，th e g lo b al 丽 sten ee for th e m o d el 15 still o P en .V 几 also eo n d u et a trav ellin gwa v ean alysis of the m odel. T he instability of the steady states m ay im Ply the tum or inva -sion . F inallv ， we ProPose an alternative m odel based on our qualitative an alysis an dP erum Panan i an d B yrne 5 nu刃 neri eal simu lation of the original m odel， an d we Prov ethe gl o bal 骊 stenee for this new m odel，Y A N G Ya n(A ppli ed m athem ati es)SuPervised 勿 T A O Yo ushanK 即wor d s : Tu m or in va sion ，E C M， p ro tease， h ap totax ls， p arab olie eq u ations .目录第 1 章肿瘤侵润数学模型 1.1模型. . . . ” ” ”1. 2局部解的存在性和唯一性1 . 3x/拼 。很小时，一个近似问题整体解的存在性9 O tID心且1 1 9 自 第 2 章行波解 2.1行波解 2.2稳定性分析第 3 章修正模型修正模型2 22 2第 4 章结论 参考文献 ， 攻读硕士期 间发表 的论文 二致谢 第 1 章肿瘤侵润数学模型L l模 型有很多文献介绍了关于肿瘤生长与治疗方面的数学模型(比如，请参看文献 ! 15，17-221以及其他的一些相关的参考资料)，这些数学模型一般都研究(未血管化的) 多细胞 的扁球体的肿瘤 。多细胞 的扁球体的肿瘤能很好的模拟活体内部的早期 的无血管肿瘤 的生长状态 。既然无血管肿瘤只通过扩散来获得营养 ，它的生长是有 限的。肿瘤细胞要有进 一步的发展 ，须 生成 自己的血管 。很显然 ，这种血管最终会 发展成一个血管 网络 ，而这种血管 网络体系将 是细胞侵润 的关键 ，因为细胞发生侵润 到其他周 围组织 的现 象 ，恰好发生在它开始产 生 自己的血管体系之 时。肿瘤细胞侵润 的过程是一个非常活跃的过程，在这个动态过程中还参有蛋白质合成与分解【 10。不仅如此，它还与细胞外基质(EC M )的降解有关系。就细胞外基质来看，肿瘤细胞能够制造出可水解的蛋白酶，比如金属性蛋白酶(M M Ps)，它可以降解细胞外基质，这种降解会给肿瘤细胞 的转移 留出空 间。细胞外基质 的降解 同时也会吸 引肿瘤细胞 ，这种吸引是由于趋化性 (化学物质的空间变化) 决定的。肿瘤细胞侵润需要蛋白质的合成与分解(参看【 101)。近年来，无论是医学界还是数学界对于肿瘤细胞侵润的兴趣都越来越大，相应的数学模型也己经被建立(比如，参看 【 1一 7， 9， 1卜14， 161)。大部分的模 型都是数 值研 究 。在这篇文章里 ，我们将重 点放在 Pe rum Pa nani 和 B y扭e 建立 的模型上( 16】 )，因为他们的模型比较简单，而且描述了肿瘤细胞侵润的主要特征。Pe rum pan aul 和 B yrne 的模 型研究 了在肿瘤细胞发生侵润 时，肿瘤细胞外基质浓度 的变化 规律 。 同时 ，他们 通过对胶 原质 侵润 的试 验 结果也验证 了模 型 的正确1.1 模型性 。关键 的物理变量如下 :n二肿瘤细胞 的密度 ，p二肿瘤细胞分泌 的蛋 白酶 的浓度 ，c二胶原质浓度 。这个试验 是在一个独立 的空间O R ”内完成 的，而该模型又应用 了质量守恒原理来导出每一个关键变量所满足的微分方程。因此模型按照文献【 10表示成以下形式:二7 (拼 。 甲n) 一甲 (x。甲e)_+ 人 。 。 (1 一。一久 le)，(1 . 1. 1)趋化性(修正的) Log i st ic生长7 (脚 甲川 +、 -丫 -“扩散(1 . 1. 2)一一即一次(1 . 1. 3)一一灸一0t降解在(1.1.1) 中， 拼 。and x 分别表示为随机运动和趋化性常量，久 。表示为肿瘤细胞的繁殖率 ，久 1 表示 由胶原质 占有空间而发生的竞争 。肿瘤细胞 的运动依赖于胶原质的空间梯度变化 。在 (1. 1. 2) 中， 脚 表示为蛋白酶的扩散系数常量。我们假设蛋白酶的产出与肿瘤细胞 的密度和胶 原质 的浓度成正 比。而 久 2 是蛋 白酶 的产 出率 ，久 3 则表示蛋 白酶的衰减率 。在 (1.1. 3) 中， 既然胶原质是硬的，我们可 以忽视胶原质的随机运动 ，重点研究蛋 白酶 的降解 。久 4 代表 的是蛋 白酶 的降解速率 。按照实验 ! 16 ， 肿瘤细胞的侵润发生在一个独立的系统内部，因而我们可以假定: 肿瘤细胞和蛋白酶不逃逸出 几。因此，按照实验 ! 16， 我们可以引入一个零流边界条件 :a n 际丽 一叉 几即口Fa c_一 _ 石 丁 二 0在 f x IU 三 t 黔二 + 夕 翔l != U其 中黔 认 二 -Sll P (二 ， 亡 )，(， ， 幻 n ，、 二汽 一、时 ) ，Sll P (劣 ， 下 ) O ， w (x， t)一w (， ， t) x 一训“ w (x， t)一w (x， 二 )我们引进函数。 (x， t)的空间磷片 +刀 (。 二 ) t一: 口其 范数 为 I“I 此少 :， ， ( 。 T)+ 1 1“ 。 I 哈 尸 ( 。 二 )为简 洁起 见 ，我们 记U = (。， p，c)(1 . 2. 8)定 理 L 2.1对 某 个 小 的0 0式中 M待定。给定 u 尤材， 我们定义 万 三F U 如下万二( 而， 歹 ， 司式 中 万 满足方程一脚 ，二 脉 办 m c 一Aa vin 场(1 . 2. 9)即一at而. 茄 rT= ” ，侧x， 0) 二P0(x)for x 几: = 句(x)。 一 片“ ， ( 二 ，了 ) “i 。 二 ，(1 . 2. 10)(1 . 2. 11)要一 、 而 一 、 二 。 . 二 二一 场 。 “ 一 六 c m一 凡 。 +从 众 二 i n孤 镖、 一 。 ， 二 ( x ， 0 )一 m 0( x )f o r二 。 。 .(1 . 2.12)(1 . 2.13)我们 可 以看 到 歹满足一个线性 的抛物方程 ，有 以下形式而 云一脚 歹二 n l UL(1 . 2.14)其 中 h 1 1 绘 : 2( 。 二 )三B (M )式中 B l(M ) 是一个依赖 M的常量。按照抛物方程的 Schauder 理论，(文献 s 1) 一定存在一个唯一解 歹 ，并且 l，I 此产 :， 1+ 2( 。 二 ) 三 I t歹 i 一 。 雌+。 ( 。 )+ 场 (M )(l 2 15)三 B0 + 场 (M )，1.2 局部解 的存在性和唯一性式 中