数学之友 2 0 1 2年第 2 4期 解 索 一类等比数列问题的探究 由一道课本 习题所想到的 岳昌庆 刘玉铭 ( 北京师范大学出版集团， 1 0 0 8 7 5 ) ( j E 京师范大学数学科学学院， 1 0 0 8 7 5 ) L 1 中7 3 题 2 3 B第 2题 ： 例 1在 数 列 口 中 ， n = ， 口 + 8 川= ( n=1 ， 2 ， ) ， 求此数列前 7 , 项和 S 的公式 分析与略解： 由已知可分别求出： 口 ： =() = ( ) 。 ，a = ( ) ， 可 猜测 数列 口 是以 为 首项， 为 公比的 等 ， 1 、 比 数 列 ， 即o = ) 然后用数学归纳法加以证明 ( ) 所 以 s ： -= 二 ： _ 。 一 ( 了1 ) 】 一5。 由于学生在高一阶段没学过数学归纳法 ， 即使 到了高二、 高三， 文科学生也不要求掌握数学归纳 法， 所以 2 中的正式参考答案中， 没有( ) 式这一 步 虽符合初中， 甚至从小学就已开始的“ 找规律” ， 但缺乏严谨的科学性 例 1 中， 口 + a 川 = 旦 2 5f t 5I 数列 口 +口 + 。 是 以 砉 为 首 项 ， 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 则 数 列 l a n 是 以 为 首 项 ， 为 公 比 的 等 比 数 列 通 过 例1 ， 自 然让人产生联想 ： 例 2 若 数 列 a +a + 是 等 比数 列 ( 已知 a ) ， 那么数列 a 一定是等比数列吗? 回答是： 不一定 请看 以下解析 ： 由已知可设 n +a n + l =幻 ， ， q ， a 。 为已知定 常数 ， 仍用上述“ 猜想 +数学归纳法证 明” 的模式 ， 可以求得数列 a 的通项公式 由于 a + 1 = k q “ 一 一 n ， 所以 ( z 2 = 一a 1 ， 。 = k ( q 一 1 ) ： 寻 ， 幻 一 k q -k q+l = 也 q+ l ， 。 =幻。 一。 = k q 3 - k q+l +。 =j q+ l +口。 ， 可猜得 a ： 一(一1 ) “ 口 用数学归纳法证 明所求通项公式是正确的( 此 处略) ， 所 以数列 a 不 一定是等 比数列 若数列 n 是等比数列 ， 则 a = a n - l n n + = 翌 +(一1 ) “ n ， =尼 +( _1 ) 所 以 * 一 ( 一 | ) n a 1 = 望 + ( 一 1 ) 。 【 望 二 二 + ( 1 ) 口 】 化简， 得(一1 ) q 一a ( q +1 ) ： 0 所 以 =a 1 ( q +1 ) 即若数列 a +a + 。 是 以 a ( q+1 ) 为首项 ， q 为公 比的等比数列( 已知 a ) ， 那么数列 a 一定是 等 比数列 对 于 例 l ， n = ， q = 1 ， 则 = n ( q + 1 ) = 1 ( 1 + 1 ) = 丢故 例 l 恰 满 足 此 条 件 ， 所 以 。 是 等 比数列 很 自然地， 我们有以下命题： 例 3 若数列 a + (E + a + 是以a ( q + q +1 ) 为首项 ， q为公 比的等 比数列 ( 已知 n 。 ， a ：= a g ) ， 那么数列 a 一定是等比数列 并依次推广至 m个的和的情况 ： 侈 4 4若数歹 4 n +a + I +a + 2 + +a 一 】 是以 0 1 ( q 一 + + q +q+1 ) 为 项 ， ( 下转 第 8 9页) 数学之友 2 0 1 2 年第 2 4期 =5 4 0。 又 由于 + + y=1 8 0 。 ， 所 以 1 +L2-4 - 3+4+L5+L6= 5 4 0 。 一 1 8 0。=36 0。 ( 6 ) 如图 1 O ， 将三角形 纸片 A B C折叠 3次后 ， 使 3 个顶点并不重合 于纸片内 同一点 P 那么在上题 中关 ， 于 “ l+L2+L3+ 4 ： 一 +L5+6 ”的结论 是 否 仍然成立?请说明理由 G H C 图 1 O 通过第4 题的结果， = ( 1 -4- 6 ) 我们知道在本题中 1 + 6= 2 LA， 2+ 3= 2 B， 4+ 5= 2 LC ， 所以 1 + 2+ 3+ 4+ 5 ( 7 ) 如 图 是 长方形 纸带 ， LD E F= 2 3 。 ， 将纸带 l = l 沿 E F折 叠 成 图 ， 再 沿 C FE c2 中的 的度数 此 题 为 次 折 纸 问 一 眚 A 二 二 c 己 尝 试 着 折 叠 几 次，再解 ( 上接第 8 6页) q为公 比的等 比数列 ( 已知 口 l ， 。 2：a 1 q ， 口 3=a 1 g ， ， =C t I q 一 ) ， 那么数列 。 一定是等比数列 证明类似例 2 ， 有兴趣的读者可 自己完成 由例 4可直接 得 到今 年 ( 2 0 1 2年 ) 湖南 省 高考 理 科第 1 9题 ： 已知数列 。 的各项均为正数 ， 记 A( 7 1, )= n l + 0 2 + + ， 日( n )= 0 2+ n 3 + +C I, 十 1 ， C( 乃 )= 口 3+ 口 3+ + + 2 ， n=1 ， 2 ， ( 1 ) 若 =1 ， o ： 5 ， 且对任意 r t N ， 三个数 A ( n ) ， B( 1 1 , ) ， C ( n ) 组成等差数列 ， 求数列 o 的通 项公式 ( 2 ) 证明 ： 数列 n 是公 比为 q的等 比数列 的 充分必要条件是 ： 对任意 r l, N ， 三个数 A( 1 2 , ) ， B ( 7 1, ) ， C ( r t ) 组成公比为 9的等 比数列 通过已知图是长方形纸带， _ D E F= 2 3 。 ， 我 们利用平行线的性质( 两直线平行 ， 内错角相等) 可 以得到 LE F B=2 3 。 ， 利用平行线 的性质 ： 两直线平 行 ， 同旁 内角互补 ， 我们可 以得到： LE F C=1 8 0 。一 Z D E F=1 5 7 。 接 下来 ， LE F C沿 着 E F折 叠成 图 ， 再沿 B F折叠成图 ， 相 当于 _ E F C连续减去了 2个 D E F， 才得出 C F E， 所 以 C 阳 = E F C一 2 D E F=1 5 7 。 一 2 2 3 。 =1 1 1 。 得到解决 教学 中， 经常会发现学生思考这类问题时， 思路 不清晰 ， 对于简单的折叠问题 ， 大部分学生能从平行 线的性质， 折叠的知识出发 ， 去解决此类 问题 ， 但是 遇到类似第( 4 ) ， ( 5 ) ， ( 6 ) ， ( 7 ) 题 的时候 ， 就会 出现 一系列的问题 ， 不知道该如何去解决 ， 有些只能思考 到一半 ， 结果 由于知识不连贯 ， 卡住 了， 同样不能解 决问题 所 以建议学生在遇到此类问题时 ， 多动脑思 考 ， 把所学知识与现实生活相结合 ， 多动手去尝试 经过 自己认真 思考 ， 日后遇 到这类 问题 会 得心应 手 的 参考文献 ： 1 支美 凤 对 初 中数 学 有效 教学 的思考 J 数学之友 ， 2 0 1 2， ( 1 6 ) ： 2 4 2 5 2 林少杰 中学生数学学习中抽象概括 的思 维障碍研究 数学教育学报 ， 2 0 1 2 ， 2 1 ( 4 ) ： 8 7 9 1 本文 旨在一道课本 习题 与一道高考题之间架起 桥梁 ， 一窥命题思路， 说明高考命题不神秘 ： 确系源 于课本 、 高于课本 参考文献 ： 1 编写组 普通高中课程标准实验教科 书 数学 B版必 修 5 北京 ： 人 民教育 出版社 ， 2 0 0 7 ， 4 ( 2 ) ： P 5 2习题 2 3 A第 6题 ， 习题 2 3 B第 2题 2 编写组 普通高中课程标 准实验教科 书 数学 B版必修 5教师教学用 书 北京 ： 人民教育 出 版社 ， 2 0 0 7 ， 5 ( 2 ) ： 6 3 3 单蹲 数学是思维的科学 J 数学通报 ， 2 001， 6 4 涂荣豹 数学解题 的有意 义学 习 J 数 学教育学报 ， 2 0 0 1 ， 1 0 ( 4 ) ： 1 5 8 9