第五章 数列5.1 数列的概念及函数特征一、选择题1数列1， ，的一个通项公式 an是( )85157249A(1)nn22n1B(1)nnn2n1C(1)nn2212n1D(1)nnn22n1解析：将数列中的各项变为，故其通项 an(1)1 332 453 574 69n.nn22n1答案：D2数列an中，a11，对于所有 n2，nN*都有 a1a2a3ann2，则 a3a5等于( )A B6116259CD25163115解析：解法一 由已知得 a1a222，a24.a1a2a332，a3 ，94a1a2a3a442，a4，169a1a2a3a4a552，a5.2516a3a5 .9425166116解法二 由 a1a2a3ann2，得 a1a2a3an1(n1)2，an()2(n2)，nn1a3a5( )2( )2.32546116答案：A3数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，的第 100 项是( )A14B12C13D15解析：易知数字为 n 时共有 n 个，到数字 n 时，总共的数字的个数为123n.易得 n13 时，最后一项为 91，n14 共有 14 个，故第 100 项为nn1214.答案：A4若数列an的通项公式 an，记 f(n)2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计1n12算 f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出 f(n)为( )ABn1nn3n1CDn2n1n3n2解析：f(1)2(1a1) ，321211f(2)2(1 )(1 ) ，1419432221f(3)2(1a1)(1a2)(1a3)2(1 )(1 )(1) ，1419116543231可猜测 f(n).n2n1答案：C5已知数列an的通项 an(nN*)，则数列an的前 30 项中，最大项和最小n 98n 99项分别是( )Aa10，a9Ba1，a9Ca1，a30Da9，a30解析：an1，记函数 f(x)1，n 99 99 98n 9999 98n 9999 98x 99函数 f(x)的大致图象如右图所示，当 n10 时，a10最大，当 n9 时，a9最小答案：A6(2009福建模拟)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表设aij(i，jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数，如 a428.若 aij2009，则 i 与 j 的和为( )A105B106C107D108解析：由数表知，第一行 1 个奇数，第 3 行 3 个奇数，第 5 行 5 个奇数，第 61 行 61 个奇数，前 61 行用去 13561961 个奇数62 312而 2009 是第 1005 个奇数，故应是第 63 行第 44 个数，即 ij6344107.答案：C二、填空题7已知数列an满足 a12，an1(nN*)，则 a3的值为1an1an_，a1a2a3a2007的值为_解析：根据已知数列an的递推公式得a23，a3 ，a4 ，a52，故可知数列an为以1a11a1131312112112131131134 为周期的周期数列，故 a1a2a20073.a1a2a3a4502a2008a1a2a3a4502a4答案： 3128数列an的前 n 项和 Snn24n2，则|a1|a2|a10|_.解析：据公式法得 n2 时，anSnSn1(n24n2)(n1)24(n1)22n5，当 n1 时，S1a11，故 anError!据通项公式得|a1|a2|a10|(a1a2)(a3a4a10)S102S266.答案：669已知数列an是递增数列，且 ann2n，则实数 的范围是_解法一：an1an(n1)2(n1)n2n2n1，数列an的单调递增的，an1an2n10 恒成立只要 2n1 的最小值大于 0 即可，30.3.解法二：ann2n 且an是单调递增的， 3.232答案：3三、解答题10已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 log2(1Sn)n1，求数列的通项公式解：Sn满足 log2(1Sn)n1，1Sn2n1，Sn2n11.a13，anSnSn1(2n11)(2n1)2n(n2)，an的通项公式为 anError!11在数列an中，a1 ，an1(n2，nN*)，数列an的前 n 项和为 Sn.121an1(1)求证：an3an；(2)求 a2008.(1)证明：an3111an2111an11111111an111an1an1111anan11an1anan111(1an)an.11an1an3an.(2)解：由(1)知数列an的周期 T3，a1 ，a21，a32.12又a2008a36691a1 .a2008 .121212(2009山东济宁模拟)设同时满足条件：bn1(nN*)；bnbn22bnM(nN*，M 是与 n 无关的常数)的无穷数列bn叫“特界”数列(1)若数列an为等差数列，Sn是其前 n 项和，a34，S318，求 Sn；(2)判断(1)中的数列Sn是否为“特界”数列，并说明理由解：(1)设等差数列an的公差为 d，即 a12d4,3a13d18，解得 a18，d2，Snna1dn29n.nn12(2)由Sn1SnSn22Sn2Sn1Sn1Sn2 10 解得 q2，d2.故所求的通公式为 an2n1，bn32n1.11(2009江苏卷)设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前 n 项和，满足 a a a2 22 3a ，S77.2 42 5(1)求数列an的通项公式及前 n 项和 Sn；(2)试求所有的正整数 m，使得为数列 Sn中的项amam1am2解：(1)由题意，设等差数列an的通项公式 ana1(n1)d，d0.a a a a 知 2a15d0.2 22 32 42 5又因为 S77，所以 a13d1.由可得 a15，d2.所以数列an的通项公式 an2n7，Snn26n.na1an2(2)因为am26为数列an中的项，故amam1am2am24am22am28am2为整数，又由(1)知 am2为奇数，所以 am22m31，即 m1,2.8am2经检验，符合题意的正整数只有 m2.12(2009广东湛师附中模拟)在数列an中，a11,3anan1anan10(n2)(1)证明数列的等差数列：1an(2)求数列an的通项；(3)若 an 对任意 n2 的整数恒成立，求实数 的取值范围1an1解：(1)证明：将 3anan1anan10(n2)，整理得3(n2)1an1an1所以数列是以 1 为首项，3 为公差的等差数列1an(2)由(1)可得13(n1)3n2，1an所以 an13n2(3)若 an 对 n2 的整数恒成立，1an1即3n1 对 n2 的整数恒成立3n2整理得 ，3n13n23n1令 cn，3n13n23n1cn1cn3n43n13n3n13n23n1.3n13n43nn1因为 n2，所以 cn1cn0，即数列cn为单调递增数列，所以 c2最小，c2.283所以 的取值范围为(，.2835.3 等比数列一、选择题1已知等比数列an满足 a1a23，a2a36，则 a7( )A64 B81C128D243解析：设首项为 a1，公比为 q，则Error!Error!，a7a1q664.答案：A2在等比数列an中，an10，n1,2，且 a5a2n522n(n3)，则当 n1 时，log2a1log2a3log2a2n1( )A(n1)2Bn2C(n1)2Dn(2n1)解析：a5a2n522na ，an0，an2n，2 nlog2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3an1)log2213(2n1)log22n2n2.故选 B答案：B4等比数列an中，Tn表示前 n 项的积，若 T51，则( )Aa21Ba31Ca51Da91解析：T5a1a2a3a4a5a 1，5 3a31.答案：B5在等比数列an中，a2a616，a4a88，则( )a20a10A1B3C1 或3D1 或 3解析：由 a2a616，得 a 16，2 4解得 a44，由 a4a88，可得 a4(1q4)8.q40，a44，q21，q101.a20a10答案：A6(2009浙江金华模拟)由 9 个正数组成的矩阵中，每行中的三个数成(a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33)等差数列，且 a11a12a13，a21a22a23，a31a32a33成等比数列给出下列判断：第 2 列中的 a12，a22，a32必成等比数列；第 1 列中的 a11，a21，a31不一定成等比数列；a12a32a21a23；若 9 个数之和等于 9，则 a221.其中正确的个数有( )A1 个B2 个C3 个D4 个解析：由等差数列和等比数列的性质可知，a11a132a12，a21a232a22，a31a332a32，3a12,3a22,3a32成等比，a12、a22、a32成等比，正确；a11，a21，a31不一定成等比，正确；由等比数列的性质和均值不等式可知，a12a3222a22a21a23，a 2 22正确；而 93(a12a22a32)3(2a22)a 2 229a22，即 a221，错误故正确，故选 C答案：C二、填空题7(2009浙江卷)设等比数列an的公比 q ，前 n 项和为 Sn，则_.12S4a4解析：a4a1( )3 a1，S4a1，1218a1112411215815.S4a4答案：158(2009江苏卷)设an是公比为 q 的等比数列，|q|1，令