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中学数学杂志2 0 0 9年第 5期 2 0 0 9年清华大学 自主招生数学试题简觎 山东淄博第一 中学 2 5 5 1 0 0 孙书娥 李 敬 高校 自主招 生考 试数 学试 题 材 料鲜 活 , 内容 丰 富, 灵活, 反映了高校对学生数学素养、 数学能力的 关注, 试题以解答题型为主, 也有类似高考题样式, 总体难度略高, 考出了学生在平时的知识积累, 和解 决问题的能力下面针对2 0 0 9 年清华大学 自主招生 数学试题给以简单解答 , 个人简解 , 作为交流 , 欢迎 广大师生批评指正 例 l 的整数部分为 A, 小数部分 B; 一 1 ( 1 ) 求A 、 B ; ( 2 ) 求A + + A ; ( 3 ) 求当凡 _ + 时 , S =B+B +B +日 的极限 解 = = = 吾 ,5 1 珥 4 z + = 2 +字 一 号 ,而 0 1 , 则 +y 2 “ 1 1 2 卜 ( nZ ) 否 贝 4令 = c o s ,Y = s i n ,贝 0 = 1 + c o s 2 l e o s 2a ;_, Y ; _, 于是 z n +y :( ) z +( ) z n =二 + c c 0 s 2 + c ; c o s 2 + + c ; : 一 C O S 一 2 a+c 22 n c o s 2 2 a+ c + c ( 一 c o s 2 c ) + c ; ( 一 e o s 2 a ) + +c ; : ( 一 c o s 2 c ) I 1 +c 22 n ( 一 c o s 2 a ) = : 1 ( 2 c 1 + 2 c ;c o s 2 + 2 c o s 4 2 + + 2 2 n c 0 s 2 ) =2 1 - 2 n ( 当且仅当 C O S 2 O l =0 , 即 =Y- 时取等号) 综上 , 若 +Y=1 , 对于任意正整数 n , 均有 +y 2 2 一 : ( 2 )因为 口 , b , c , , y , 均大于 0 , 满足基本不等 式 口+b+c3 0 6 c , 所以 号+ + 3 = 3 ( 当 且 仅 当 旦: Y z 、 x y z 号= C 时 取 等 , 即 口 = , 6 : y ,c = z 时 取 等 ) 分析 此题 旨在考查 同学们三角 以及均值不 等式的应用 例 3 请写出所有三个数都是质数 , 且公差为 8 的等差数列 , 并证明之 解 不妨设三个数分别为 口, 0+8 , 口+1 6 , 由8=3 X 2+2 , 1 6=35+1 , 若 口=3 n+1 ( nN ) , 贝 0 口+8=3 n+1+3 X 2+2=3( n+3 )爿 E 质数 , 若 口=3 n+2 ( 凡N ) , 贝 0 0+1 6=3 n+2+ 3 X 5+1=3 X( +6 )非质数 , 所 以n只能是3 n 形式, 而口也是质数 , 故口=3 , 此时三数为 : 3 ,1 1 ,1 9 例4过椭圆左顶点 做直线 , 交椭 圆于P, 交 Y 轴于 , 再 过原点做其平行线 , 交椭 圆于 q, 求证 : A R、 4 g o o、 P成等比数列 证明 如图 1 , 设椭圆方程为 + =1 ( 口 f ; 1 b0 ) , 则 A ( 一a , 0 ) , 设 P ( 。 , Y 0 ) , Q ( 1 , Y 。 ) , ( 1 )当 P斜率不存在时, 显 然 , P、 Q、 R三点均不存 在 , 不合 题意; ( 2 ) 当A P斜率存在时, 不妨 设 为 k , +yo :1 + 6一 + : l j + :一 一: n+ a l J A = ; 尸Q 、 图 1 于 是 : 6 +a 2 y =a 2 b b 2 x +a 2 y ;=a 2 b Y l: 代入 得: 6 +n - ) =。 6 , a2 b 。 ( o+ ) b ( +0 ) 。+a 2 , , o2一 2 2 2 a b a 2 b 6 2 + 0 + 0 + 式代人 化简得: = 1 口 ( + 口 ) 2 = a ( x o+a ) 因为 0( 一a , a , 所以 +a0, 又因为: I A P l = 1+k I o 一( 一a ) I , I O Q I= 1+ I x l I , l A R I = 、 _ 由 式知 : 2 l O Q I =I A P 1 1 A R I , 所以A P、 D Q、 A R成等 比数列 分析 本题借助弦长公式 I A 曰I =, 1 +k l 一 I 中斜率相等的情况下 , 弦长和自变量之间的 关系 例 5 s i n t +c o s t=1 , S=c o s t +i s i n t , 求_厂 ( )= 1+ S + S + S 。+ + S 解 由s i n t +c o s t=1 两边平方得 1 +2 s i n t c o s t 1 , 所 以 0 n c os t 。0cos t s l nt, L :l L :l 当 S = c o s t+i s i n t I c o s t S = c o s t+i s i n t 6 2 =1 t )=n+1 , + 当 n=4 k , kN 时 , 厂 ( ) =1 , 当 n=4 五+1 , kN 时 , t ) =1+i , 当 n=4 k+2 , kN时 , 厂 ( t )=i , 当 17 , =4 +3 , kN 时 , )=0 例6 一个四面体A B C D中, A B =C D, A C = B D, A D =B C, 求证 : ( 1 )四个面都是锐角三角形; ( 2 )同一个面上三个二面角分别为 , , , 证 明 C O S O +e o +c o s T 1 证明 如图 2 此题关键在 于如何构造 四面体 A B C D, 使其 对棱相等, 以 a , b , C为边长建立 长方体 , 取各面对角线构成 四面 体 A 】 B C 】 D,其 中 A l B = C l D, Al Cl: BD, Al D = BCl ; 图 2 ( 1 ) 任取四面体A 。 B C D中 一个面, 如 : 在 A B D中, 因为A B :A A + A B = c。 + a ,A1 D。 = AA + AD。 = c + b ,BD。 = AB + AD = a2+ b 所以Al +A l D 。B D 。 , A l D 。+B D。A l B 。 , BD +A1 B Al D , 即 A 。 B D各角均为锐角 , 所以 4 。 B D是锐角 三 角形 同理 , 其他各面亦为锐角三角形 ( 2 ) 作 B l 上A I c l , Dl , 上Al c l , 且分另 0 交A l C 1 于 、 N; 因为 B B I上面 A B 1 C l D , D D 上面 A l 1 C l Dl , 所 以 B M 上A C i , D N 上A J C J , 于是取 =, 即二面角 B一|4 l C 1 一 J D的平面角, 记 B MB 1=0 , 则 Z _ D N Dl= _ B MB :0 , 因为二面角 B 。 一A C 一D。 是平角为 订, 所以O t : 订 一2 在 R t X B MB】 中, B B l=c , B1 M = , 所 以 t a n O C 一= ab lI a C +D a b C O S O =C O S ( 订一2 0 )=一c o s 2 0=一 口2 c2 +b c 一 0 b f z 2 c 2 +6 c +n b 类似地, 1 t a n 2 0 1 + t a n 2 0 记 为 二 面 角 B 。 D C ,则 c o = a 2 c 2+ 0 b 一 b c =i f )=1+i +i +i + n 2 c +6 c +a 2 b 。 , , 、 L 南 一 : 中学数学杂志2 0 0 9年第 5期 琵 馁 彩 g : 五 蕴 记 为 二 面 角 DC lAl ,则 e o s ) l= b c + 口 6 一 2 2 C 2 n2 c2+ 6 c + 0 6 , l 2 T 2 故c o s + c o + c o s y=竿 + “C 1_ 0 1 U , 口2 c2+ 0 6 一 b c 6 c + n b 一 a2 c + L 分析 此题将等腰四面体 , 拓展为长方体, 借 助平面角作差 , 得出所求二 面角 ; 利用三角函数化 简避免了向量方法中讨论二面角是否为钝角的情 况 ; 关于等腰四面体的几个等价命题 : ( 1 )各顶点处 的各面角之和为 1 8 0 。 ; ( 2 )各 面 周长均相等 ; ( 3 )各面面积相等; ( 4 )外接球与内切 球同心; 均是一个 四面体成 为等腰 四面体的等价条 件 简单结论 ( 1 ) 等腰四面体各面均为锐角三角 形 ; ( 2 )等腰 四面体的四条高线长相等 ; ( 3 ) 等腰 四 面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等 常用方法 由长方体各面对角线构造等腰 四 面体 , 类似于 由正方体构造正四面体 例 7 求证 : 一个数列 , 口 2 , 0 3 , 口 + 中各数 相等的充分必要条件是 P : 其中任意 2 几个元素 中 7 , 个元素之和等于另外 , 个元素之和 证明 一个数列 口 l , 0 2 , 口 3 , + l , P: 其中任意 2 n个元素 中 n个元素之和等于另 外 n个元素之和; g : 各数均相等 “g ” : 若满足 q , 则数列 a l , a 2 , 口 3 , 0 2 中 各数均相等 , 所以任意从中取 2 n个元素 , 不论如何 安排 , 其中 ir l, 个元素之和一定等于另外 n个元素之 和 “p g ” : 若满足P , 则假设此2 凡+1 个元素之中, 至少有一个与其他元素不同, 我们将此 2 n+1 个元素重新按从小到大顺序排 列 , 记为 b l b 2 6 3 b b l , 即 6 2 一b l0 , 所以 B 2一B tb 2 州 一b 10 与 P矛盾 综上 , 数 列 a 。 , 8 , c t , , 口 : 川 中各数相等的充 分必要条件是满足条件 P, 即其 中任意 2 n个元素中 iq , 个元素之和 =另外 n个元素之和 例8 求证: 当P , q 都为奇数时, ) , = 一 2 p x+ 2 q与 轴交点
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