湖北工程学院湖北工程学院本本 科科 毕毕 业业 论论 文文某些非线性常微分方程的常数变易法年 级: 大四学 号: 111114109 姓 名:胡博 专 业: 数学与应用数学指导老师: 樊自安 2014 年 12 月 毕业设计（论文）任务书毕业设计（论文）任务书班 级 1111141 学生姓名 胡博 学 号 111114109 发题日期： 2014 年 9 月 10 日 完成日期： 2015 月 01 日题 目 某些非线性常微分方程的常数变易法 1、本论文的目的、意义：本论文的主要目在于通过对常微分方程的深入分析，分别对一阶非线性常微分方程和二阶非线性常微分方程的性质、解法进行系统地分析、比较、归纳、总结，并深入探讨两类方程的解法。最后，利用两类方程的理论知识去分析和解决某些特殊的非线性常微分方程，并给出相关应用的例子。 将常数变易法可以运用到一些物理或者化学一些其他学科的问题解决中，对于其中的那些非线性常微分方程进行求解，使得问题更加简便化。 2、学生应完成的任务 1、通过查阅相关资料，进一步掌握常数变易法的背景，意义及研究现状； 2、掌握有关常数变易法和非线性常微分方程的基础知识； 3、分析并总结两类非线性常微分方程的性质及求解方法； 4、举例说明两类非线性常微分方程的解法； 5、检查论文中的内容是否有错误； 6、做好相关的英文文献翻译工作； 3、论文各部分内容及时间分配：（共 15 周）第一部分参阅相关书籍和利用网上有关资料，掌握常数变易法的背景，意义等基础知识； (2 周) 第二部分 探讨，分析并总结一阶非线性常微分方程的性质和解题方法； (2 周)第三部分探讨，分析并总结二阶非线性常微分方程的性质和解题方法； (3周)第四部分举例说明两类非线性常微分方程的解法； (3 周)第五部分检查论文的内容是否有错误； (2 周)第六部分完成英文翻译工作和论文的修改。 (2 周)评阅及答辩 (1 周)备 注 指导教师： 年 月 日审 批 人： 年 月 日摘 要常数变易法是求解微分方程的一种特殊方法，利用常数变易法在解决某些方程 特解时简便易用。列举了几种常数变易法区别于教材中的一些用法，并比较了此方 法在某些方面的优劣。 常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程行之有效的方法。本文从求解一 类特殊形式的一阶常微分方程入手,证明了变量分离方程、Bernoulli方程、部分齐 次方程以及其它形式的一阶非线性常微分方程可用常数变易法求解,从而将常微分方 程中的常数变易法用于更加广泛的地发去。阅读理解首次积分求得的六个定理以及推论，将六个类型的方程与常数变易法 相结合，并对定理运用常数变易法进行证明，求解。 应用变量变换方法，解几类可化为分离变量的二阶非线性微分方程，扩大了变 量变换方法的使用范围，提供微分方程的可积类型，给出几个通积分的表达式。 二阶线性微分方程在实际问题中有着广泛的应用。本文利用常数变易法对二阶非线性微分方程进行讨论后, 给出了求其通解表达式的( )( )( , )yP x yQ x yf x y具体方法。关键词：常微分方程; 常数变易法; 非线性；二阶非线性；可积类型；通解分。AbstractConstant variation method is a special method of solving diferential equationIt is simpler to use constant variation method to get some special solutionsSeveral constant variation methods different from those in textbooks are listed here to find out their advantages and disadvantages in some aspects The method of constant variation is an effective way to solve the first order non - homogeneous linear ordinary differential equation. This paper studies the first order ordinary differential equation in a special form, and proves that the equation of variable divided, Bernoulli equation, some non - homogeneous equations and the first order non linear ordinary differential equation in another form can all be solved with this method, and then popularizes the method of constant variation. Reading the six obtained by the first integral theorem and corollary, With six types of equations and constant variation, I use the constant variation to prove, to solve theorems.Solutions to some kinds of second-order differenfial equations by using variable transformation method are given and the scope of applications is expandedMeanwhile, the integral types of differential equations are provided and the expressions of reduction of integrals to a common denominator are also givenThe Second-order Linear Homogeneous Equation is widely used in practical problems. The paper discusses the second-order non-linear homogeneous differential equation“”by the constant-variation method, and presents some ( )( )( , )yP x yQ x yf x yspecific methods on the expression of the general solution.Key words：ordinary differential equation; the method of constant variation; non linear; secondorder nonlinear differential equation;variable transformation integral type reduction of integrals to a common denominator 目目 录录第 1 章 绪论.1 1.1 引言.1 1.2 本文的主要研究内容.4 第 2 章 一阶非线性常微分方程的常数变易法与举例.5 2.1 一阶非线性常微分方程的常数变易法.5 2.1.1 基本类型5 2.1.2 基本类型5 2.1.3 基本类型6 2.1.4 基本类型6 2.1.5 基本类型62.1.6 基本类型I7 2.2 举例.7 2.2.1 基本方法7 2.2.2 基本方法8 2.2.3 基本方法8 2.2.4 基本方法 IV.9 2.2.5 基本方法 V.9 2.2.6 基本方法 VI