1第第 2 2 课时课时 范围、最值问题范围、最值问题题型一 范围问题例 1 (2015天津)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c,0)，离心率为，点x2 a2y2 b233M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.b2 44 33(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范2围解 (1)由已知，有 ，c2 a21 3又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c,0)，则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有222，(kck21)(c 2)(b 2)解得k.33(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去x2 3c2y2 2c233y，整理得 3x22cx5c20，解得xc或xc.5 3因为点M在第一象限，可得M的坐标为.(c，2 33c)由|FM| .cc2(2 33c0)24 33解得c1，所以椭圆的方程为1.x2 3y2 2(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即直线FP的方程为yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立，y x1Error!消去y，整理得 2x23t2(x1)26，又由已知，得t ，62x2 3x122解得 x1 或1x0.3 22设直线OP的斜率为m，得m ，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2 .y x2 x22 3当x时，有yt(x1)0，(3 2，1)因此m0，于是m ，得m.2 x22 3(23，2 33)当x(1,0)时，有yt(x1)0.因此m0，于是m ，2 x22 3得m.(，2 33)综上，直线OP的斜率的取值范围是.(，2 33) (23，2 33)思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围(2016黄冈模拟)已知椭圆C：1(ab0)与双曲线y21 的离心x2 a2y2 b2x2 3率互为倒数，且直线xy20 经过椭圆的右顶点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求OMN面积的取值范围解 (1)双曲线的离心率为，2 33椭圆的离心率e .c a32又直线xy20 经过椭圆的右顶点，右顶点为(2,0)，即a2，c，b1，3椭圆方程为y21.x2 4(2)由题意可设直线的方程为ykxm(k0，m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)3联立Error!消去y，并整理得(14k2)x28kmx4(m21)0，则x1x2，x1x2，8km 14k24m21 14k2于是y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故y1 x1y2 x2k2x1x2kmx1x2m2 x1x2k2m20.8k2m2 14k2由m0 得k2 ，解得k .1 41 2又由64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，得 00)过点F(0,1)，圆心M的轨迹为C.6(1)求轨迹C的方程；(2)设P为直线l：xy20 上的点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值解 (1)依题意，由圆过定点F可知轨迹C的方程为x24y.(2)抛物线C的方程为x24y，即yx2，求导得yx.1 41 2设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1，y2)，x2 1 4x2 2 4则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，1 21 2所以切线PA的方程为yy1(xx1)，x1 2即yxy1，即x1x2y2y10.x1 2x2 1 2同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x2y02y0 的两组解所以直线AB的方程为x0x2y2y00.(3)由抛物线定义可知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，联立方程Error!消去x整理得y2(2y0x)yy0，2 02 0由一元二次方程根与系数的关系可得y1y2x2y0，y1y2y，2 02 0所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01.2 02 0又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0y02，所以yx2y012y2y052(y0 )2 ，2 02 02 01 29 2所以当y0 时，|AF|BF|取得最小值，且最小值为 .1 29 21(2016昆明两区七校调研)过抛物线y2x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是( ) 47A( ，1 B( ，)1 41 4C( ，) D( ，11 21 422答案 D解析 记点A的横坐标是x1，则有|AF|x1 ( |AF|cos ) |AF|cos ，1 41 41 41 2|AF|(1cos ) ，|AF|.1 21 21cos 由0，b0)的左，右焦点，对于左支上任意一点Px2 a2y2 b2都有|PF2|28a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是( )A(1，) B(2,3C(1,3 D(1,2答案 C解析 由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|2a|PF1|，所以|PF1|4a8a，|PF2|2 |PF1|4a2 |PF1|所以|PF1|2a，|PF2|4a，在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即 2a4a2c，所以e 3.c a8又e1，所以 10 得m22， ，1 m21 21 m21 21 ，即e ，而 00，b0)x2 a2y2 b2由已知得a，c2，3又a2b2c2，得b21，双曲线C的方程为y21.x2 3(2)联立Error!整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，Error!可得m23k21 且k2 ，1 3设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，则x1x2，x0，6km 13k2x1x2 23km 13k2y0kx0m.m 13k2由题意，ABMN，kAB (k0，m0)m 13k21 3km 13k21 k整理得 3k24m1，将代入，得m24m0，m4.又 3k24m10(k0)，即m .1 4m的取值范围是(4，)(1 4，0)8已知椭圆C1：1(ab0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为 1.y2 a2x2 b2(1)求椭圆C1的方程；(2)设点P在抛物线C2：yx2h(hR R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值11解 (1)由题意，得Error!从而Error!因此，所求的椭圆C1的方程为x21.y2 4(2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2h)，则抛物线C2在点P处的切线斜率为yError!.直线MN的方程为y2txt2h.将上式代入椭圆C1的方程中，得 4x2(2txt2h)240，即 4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以式中的116t42(h2)t2h240.设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3.x1x2 2tt2h 21t2设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4.t1 2由题意，得x3x4，即t2(1h)t10.由式中的2(1h)240，得h1 或h3.当h3 时，h2b0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率x2 a2y2 b2为e1；双曲线C2：1 的左，右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2，且x2 a2y2 b232|F2F4|1.312(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值解 (1)因为e1e2，所以 ，即a4b4a4，因此a22b2，从而32a2b2aa2b2a323 4F2(b,0)，F4(b,0)，于是bb|F2F4|1，所以b1，a22.333故C1，C2的方程分别为y21，y21.x2 2x2 2(2)因为AB不垂直于y轴，且过点F1(1,0)，故可设直线AB的方程为xmy1.由Error!得(m22)y22my10.易知此方程的判别式大于 0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1y2，y1y2.2m m221 m22因此x1x2m(y1y2)2，4 m22于是AB的中点为M(，)，2 m22m m22故直线PQ的斜率为 ，PQ的方程为yx，m 2m 2即mx2y0.由Error!得(2m2)x24，所以 2m20，且x2，y2，4 2m2m2 2m213从而|PQ|22.x2y2m24 2m2设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以 2d.|mx12y1|mx22y2|m24因为点A，B在直线mx2y0 的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而 2d.m22|y1y2|m24又因为|y1y2|y1y224y1y2，2 2 1m2m22所以 2d.2 2 1m2m24故四边形APBQ的面积S |PQ|2d1 22.2 2 1m22m2213 2m2而 02m22，故当m0 时，S取得最小值 2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为 2.