第二轮复习教案 镇平雪枫中学 答磊 不等式问题的题型与方法 - 1 -专题专题二二 不等式不等式问题问题的的题题型与方法型与方法【考点审视考点审视】 1理解不等式的性质及其证明。 2掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并 会简单的应用。 3掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 4掌握简单不等式的解法。 5理解不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|。 【教学过程教学过程】 一基一基础础知知识详识详析析1解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论 依据，方 程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来， 互相转化在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一通过换元，可将较复杂的 不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归 为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰 2整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的 性质及函 数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思 想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象都与不 等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用 3在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂 的不等式 化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关 系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰通过复习，感悟到不 等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的 理论起了重要的作用 4比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差 (商)变形 判断符号(值) 5证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正 逆思维 等，将会起到很好的促进作用在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、 内在联系，选择适当的证明方法通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、 熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过 一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因” ，后者是“由因导果” ，为沟通联 系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的 6证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不 等式的 基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种 证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点 7不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用因此不等 式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯 通，起到了很好的促进作用在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、 选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明不等式的应用范围十分广泛，它 始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究， 函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题， 无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。第二轮复习教案 镇平雪枫中学 答磊 不等式问题的题型与方法 - 2 -8不等式应用问题体现了一定的综合性这类问题大致可以分为两类：一类是建立不 等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值利用平均值不等式求函数的最 值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符 合这三个条件利用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30解数学 问题，40作答。 9注意事项： 解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组） 或一元二次不等式（组）来求解， 。 解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的 录活运用。 不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证 法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。 根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。 二二范例分析范例分析b)M，且对 M 中的其它元素(c，d)，总有 ca，则 a=_ 分析：分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口怎样理解“对 M 中的 其它元素(c，d)，总有 ca”？M 中的元素又有什么特点？ 解：解：依题可知，本题等价于求函数 x=f(y)=(y+3)|y-1|+(y+3)(2)当 1y3 时，所以当 y=1 时，xmin=4说明：说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭 示其数学实质即求集合 M 中的元素满足关系式例例 2解关于的不等式： x0922 aaaxx分析：分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个a 不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：解：当029929222aaxxaxaaxxaxax即时，不等式可转化为abxa173第二轮复习教案 镇平雪枫中学 答磊 不等式问题的题型与方法 - 3 -02992)(222aaxxaxaxaaxaxax即时不等式可化为当。 aaaaxaax6173,32 3,(32 3故不等式的解集为或例例 3 己知三个不等式： xx54212322 xxx0122mxx(1)若同时满足、的值也满足，求 m 的取值范围；x (2)若满足的值至少满足和中的一个，求 m 的取值范围。x 分析：分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想， 解本题的关键弄清同时满足、的值的满足的充要条件是：对应的方程的两根分x 别在和内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，0 ,), 3 在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。 解：解：记的解集为 A，的解集为 B，的解集为 C。 解得 A=（-1，3） ；解得 B=)3 , 2() 1 , 0BA,4 , 2() 1 , 0 （1）因同时满足、的值也满足，ABCx设，由的图象可知：方程的小根小于 0，大根大于或等于 312)(2mxxxf)(xf时，即可满足317 017301 0)3(0)0( mmffBA即（2）因满足的值至少满足和中的一个，x 因4 , 1(,BABAC而此小根大于或等于-1，大根小于或等于 4，因而0124 , 1(2mxxC方程4411431, 0314)4(01) 1(mmmfmf解之得说明：说明：同时满足的 x 值满足的充要条件是：对应的方程 2x +mx-1=0 的两根分别2在(-，0)和3，+)内，因此有 f(0)0 且 f(3)0，否则不能对 AB 中的所有 x 值满足 条件不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程 中，要适时地联系它们之间的内在关系例例 4.已知对于自然数 a，存在一个以 a 为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于 1 的正根，求证：a5分析：分析：回忆二次函数的几种特殊形式设 f(x)=ax +bx+c(a0) 2顶点式f(x)=a(x-x ) +f(x )(a0)这里(x ，f(x )是二次函数的顶点，x =02 0000第二轮复习教案 镇平雪枫中学 答磊 不等式问题的题型与方法 - 4 -)、(x ，f(x )、(x ，f(x )是二次函数图象上的不同三点，则系数 a，b，c 可由2233证明：证明：设二次三项式为：f(x)=a(x-x )(x-x )，aN12 依题意知：0x 1，0x 1，且 x x 于是有1212 f(0)0，f(1)0又 f(x)=ax -a(x +x )x+ax x 为整系数二次三项式，2 1212 所以 f(0)=ax x 、f(1)=a(1-x )(1-x )为正整数故 f(0)1，f(1)11212 从而 f(0)f(1)1 另一方面，且由 x x 知等号不同时成立，所以12由、得，a 16又 aN，所以 a52 说明：说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵 活根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键 例例 5.设等差数列a 的首项 a10 且 Sm=Sn(mn)问：它的前多少项的和最大？n 分析分析:要求前 n 项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列 解解:设等差数列a 的公差为 d，由 Sm=Sn得nak0，且 ak+10(kN)第二轮复习教案 镇平雪枫中学 答磊 不等式问题的题型与方法 - 5 -说明：说明：诸多数学问题可归结为解某一不等式(组)正确列出不等式(组)，并分析其解在具体 问题的意义，是得到合理结论的关键 例例 6若二次函数 y=f(x)的图象经过原点，且 1f(-1)2，3f(1)4，求 f(-2)的范围 分析：分析：要求 f(-2)的取值范围，只需找到含人 f(-2)的不等式(组)由于 y=f(x)是二次函数， 所以应先将 f(x)的表达形式写出来即可求得 f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有 f(- 2)的不等式(组)，即可求解 解：解：因为 y=f(x)的图象经过原点，所以可设 y=f(x)=ax2+bx于是解法一解法一(利用基本不等式的性质) 不等式组()变形得()所以 f(-2)的取值范围是6，10 解法二解法二(数形结合)建立直角坐标系 aob，作出不等式组()所表示的区域，如图 6 中的阴影部分因为 f(-2)=4a-2b，所以 4a-2b-f(-2)=0 表示斜率为 2 的直线系如图 6，当直线 4a-2b-f(-2)=0 过点 A(2，1)，B(3，1)时，分别取得 f(-2)的最小值 6，最大值 10即 f(-2)的取值范围是：6f(-2)10 解法三解法三(利用方程的思想)又 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而第二轮复习教案 镇平雪枫中学 答磊 不等式问题的题型与方法 - 6 -1f(-1)2，3f(1)4， 所以 33f(-1)6 +得 43f(-1)+f(1)10，即 6f(-2)10 说明：说明：(1)在解不等式时，