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1一元二次方程一元二次方程一、选择题一、选择题 1.1. (甘肃兰州甘肃兰州,5,4 分)元二次方程x22x1=0 的根的情况( ) A有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 【答案答案】B 【逐步提示逐步提示】先根据一元二次方程x22x1=0 确定a、b、c的值,再求判别式b24ac的值,最后根据判别 式值的情况作出判断 【详详细解答细解答】解:一元二次方程x22x1=0 中,a=1,b=2,c=1,所以b2 4ac=22-411=0,故选择 B . 【解后反思解后反思】一元二次方程ax2bxc0(a0) ,当b24ac0 时,一元二次方程有两个不相等的实数根; 当b24ac0 时,一元二次方程有两个相等的实数根;当b24ac0 时,一元二次方程没有实数根;当 b24ac0 时,一元二次方程有实数根,以上结论反过来也成立 【关键词关键词】一元二次方程;一元二次方程根的判别式2.2. ( 河北省,河北省,1414,2 2 分)分)a,b,c为常数,且(a-c)2a2+c2,则关于 x 的方程ax2+bx+c=0 根的情况是( )A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C无实数根 D有一根为 0【答案答案】B】B 【逐步提示逐步提示】本题考查了一元二次方程根的判别式,先化简不等式得到 ac0,进而判断出 b24ac 的符号, 由此可知方程根的情况. 【详细解答详细解答】解:解:(ac)2a2+c2,即 a22ac+c2a2+c2,ac0,a0.关于 x 的方程 ax2+bx+c 是一 元二次方程,且 b24ac0,故该方程有两个不相等的实数根. 【解后反思解后反思】1.一元二次方程ax2bxc0(a0) ,当b24ac0 时,一元二次方程有两个不相等的实数根; 当b24ac0 时,一元二次方程有两个相等的实数根;当b24ac0 时,一元二次方程没有实数根;当 b24ac0 时,一元二次方程有实数根,以上结论反过来也成立2.对于方程ax2bxc0 来说,只有当 a0 时,这个方程才是一元二次方程. 【关键词关键词】 不等式;根的判别式;一元二次方程的定义不等式;根的判别式;一元二次方程的定义3.3. (湖南省衡阳市,(湖南省衡阳市,1010,3 3 分)分)关于x的一元二次方程042kxx有两个相等的实根,则k的值为( )A. k=-4 B. k=4 C. 4k D. 4k 【答案答案】B 【逐步提示逐步提示】本题考查的是一元二次方程根的判别式,利用一元二次方程的根的情况得到判别式的大小是解题的关键.第一步,根据题目已知条件判断“0” ;第二步, 由acb42,列出含有字母k的方程并求解即可得出答案。【详细解答详细解答】解:解:由x的一元二次方程042kxx有两个相等的实根,所以=0,所以0416 k,解得k=4,故选择故选择 B.B. 【解后反思解后反思】考查一元二次方程根的判别式的问题主要有三种形式:(1)不解方程,判别方程根的情况; (2)根据方程根的情况求方程中待定系数的范围;(3)证明方程一定有两个不相等的实数根等方程根的情况。 解决这三类问题,有一个通法,就是先算出判别式,然后根据题中的条件分别得出结论或者变形推理2【关键词关键词】 一元二次方程的概念及其解法;根的判别式的应用;一元二次方程的概念及其解法;根的判别式的应用; 4.4. ( 湖南省怀化市,湖南省怀化市,4 4,4 4 分)分)一元二次方程x 2x10 的根的情况为( ) A.有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D.没有实数根 【答案答案】A. 【逐步提示逐步提示】此题考查一元二次方程根的判别式.判断一元二次方程x 2x10 的根的情况,可根据一元二次方程根的判别式,逐一分析判断即可 【详细解答详细解答】解:解:(1)241(1)50 ,方程x 2x10 有两个不相等的实数根,故选,故选 择择 A . . 【解后反思解后反思】此题考查一元二次方程根的判别式,解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式(b 24ac):当0 时,有两个不相等的实数根;当0 时,方程有一个实数根;当0 时,方程没有实数根,反之,也成立.此题的易错点是将方程的系数代入时,计算出错. 【关键词关键词】一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 二、填空题二、填空题 1.1. ( 甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等 9 9 市,市,1515,4 4 分)分)三角形的两边 长分别是 3 和 4,第三边长是方程x213x+40=0 的根,则该三角形的周长为_ 【答案答案】12 【逐步提示逐步提示】本题考查一元二次方程的解法和构成三角形的条件,解题的关键是正确地解一元二次方程以及合 理地根据三角形的构成条件进行取舍,首先解一元二次方程得到两个根,再根据三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边进行验证,取舍【详细解答详细解答】解:解:解方程x213x+40=0 得15x ,28x ,因为三角形的两边长分别是 3 和 4,所以第三边的长度x的范围是17x,所以5x ,进而三角形的周长为 12,故答案为 12. 【解后反思解后反思】三角形的三边关系:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之和小于第三边.判断三条线段能 否构成三角形的方法,首先计算任意两条线段的和,如果和大于最长的线段的长且任意两条线段的差都小于第三 条线段的长,则这三条线段就能构成三角形. 【关键词关键词】一元二次方程 ;三角形三边关系; 2.2. ( 江苏省淮安市,14,3 分)若关于x的x2+6x+k=0 一元二次方 程有两个相等的实数根,则k 【答案】9 【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的判别式,理解一元二次方程根的判别式与一元二次方程解的关系是 解题的关键由方程根的情况,判断根的判别式的大小 【详细解答】解:若一元二次方程有两个相等的实数根,则其判别式等于零 624k0,解得k9,故答案为 9 【解后反思】一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)根的情况与根的判别式=b2-4ac 之间的关系:0有两 个不相等的实数根;=0有两个相等的实数根;0没有实数根. 【关键词】一元二次方程根的判别式3.3. ( 江苏省连云港市,13,3 分)已知关于x的方程0122axx的一个根是0,则a 【答案】1 2 【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的概念,把已知的根代入到方程是解题的关键把 0 代入方程即可求 出a的值【详细解答】解:把x=0 代入方程2210xxa ,得 2a-1=0,解得a=1 2,故答案为1 2【解后反思】能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的根,既然是方程的根,就要把它代入到方程中,得 出关于参数的方程,再解这个含参数的方程,即可求出问题的解3【关键词】一元二次方程的根; 4.4. (江苏泰州,(江苏泰州,1414,3 3 分)分)方程 2x4=0 的解也是关于x的方程x2mx2=0 的一个解,则m的值为 . 【答案答案】3 【逐步提示逐步提示】此题考查了一元二次方程的解的定义 ,解题的关键是如何运用方程的解的定义解题先求 出方程 2x4=0 的解,再将此解代入方程x2mx2=0,得关于m的方程得解. . 【详细解答详细解答】解:解:2x4=0,x=2, 42m2=0,m=3,故答案为,故答案为3. . 【解后反思解后反思】本题的关键是了解方程的解的定义,即使方程左右两边值相等的未知数的值叫做方程的解. . 【关键词关键词】方程的解的定义 5.5. ( 镇江,7,2 分)关于 x 的一元二次方程 2x23xm=0 有两个相等的实数根,则实数 m= .【答案答案】9 8 【逐步提示逐步提示】本题考查的是一元二次方程根的判别式,解题的关键是对一元二次方程的概念及根的个数判定 方法熟悉.根据一元二次方程有两个相等的实数根,得到判别式=0,转化为解关于 m 的一元一次方程. 【详细解答详细解答】解:解:由关于 x 的一元二次方程 2x23xm=0 有两个相等的实数根,所以=0,所以(-3)2-42m=0,解得 m=9 8,故答案为9 8. .【解后反思解后反思】一元二次方程根的情况与判别式的关系:(1)0方程有两个不相等的实数根;(2)=0方程有两个相等的实数根;(3)0方程没有实数根特别要注意此关系只有一元二次方程才有, 即它的前提条件是 a0. 【关键词关键词】 一元二次方程;根的判别式 三、解答题三、解答题 1.1. ( 安徽,安徽,1616,8 8 分)分)解方程:x2-2x=4. 【逐步提示逐步提示】先把方程化为一元二次方程的一般形式,再代入求根公式求解.【详细解答详细解答】x2-2x-4=0,a=1,b=-2,c=-4,=(-2)2-41(-4)=20,x=2522=15,x1=1+5,x2=1-5.8 分【解后反思解后反思】用公式法求一元二次方程的一般步骤:1.把方程化为一般形式;2.代入求根公式求解.通常情况下, 我们会先求出的值,若0,直接代入求解;若0,原方程无实数根.本题也可以用配方法求解,x2-2x+1=4+1,(x-1)2=5,x-1=5,x=15,x1=1+5,x2=1-5.【关键词关键词】一元二次方程的解法、公式法2.2. (甘肃兰州甘肃兰州,21(1),5 分) (2)2y2+4y=y+2 【逐步提示逐步提示】第一步:把方程左边利用提公因式法分解因式;第二步:将方程右边的项移到左边,再分解因式; 第三步:将方程转化为两个一元一次方程求解 【详细解答详细解答】解:2y(y+2)=y+2,2y(y+2)+(y+2)=0, (y+2) (2y+1)=0,所以y+2=0 或 2y+1=0,解得11 2y ,22y 【解后反思解后反思】一元二次方程的解法有多种,选用哪种方法需要根据方程特点确定,本题中方程适合因式分解,故用因式分解法来解一般地,一元二次方程axbxc0(a0)有求根公式24 2bbacxa ,任意一个一元二次方程都能通过这个求根公式求解,求根公式的缺点是计算量一般比较大对于任意的方程来说,4解求得正不正确可以将求出的解代入原方程进行验证 【关键词关键词】 一元二次方程的解法3.3. (湖北宜昌,(湖北宜昌,2222,1010 分)分)某蛋糕产销公司A品牌产销线,2015 年的销售量为 9.5 万份,平均每份获利 1.9 元,预计以后四年每年销售量按 5000 份递减,平均每份获利按一定百分数逐年递减;受供给侧改革的启发,公 司早在 2014 年底就投入资金 10.89 万元,新增了一条B品牌产销线,以满足市场对蛋糕的多元需求B品牌产 销线 2015 年的销售量为 1.8 万份,平均每份获利 3 元,预计以后四年每年销售量按相同的份数递增,且平均每 份获利按上述递
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