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1专题专题 1818 与二次函数有关代数方面应用与二次函数有关代数方面应用一、选择题一、选择题1.1. (江苏省宿迁市,(江苏省宿迁市,8,3 分)分)若二次函数caxaxy22的图像经过 点(1,0) ,则方程022caxax的解为( )A31x,12xB11x,32xC11x,32x D31x,12x【答案答案】C】C 【逐步提示逐步提示】先求出抛物线的对称轴,再利用抛物线的轴对称性可以求出抛物线与x轴的另一个交点坐标,两 个交点的横坐标就是方程ax22ax+c=0 的解, 【详细解答详细解答】解:抛物线的对称轴是:直线122aax,又图象经过(1,0) ,设另一个交点为(x2,0),则1212x,解得x2=3,因此图象与x轴的两个交点坐标分别为(1,0) , (3,0) ,方程ax22ax+c=0 的解为1,和 3,故选择C 【解后反思解后反思】二次函数的轴对称性是二次函数的重要特征;要熟练各种情况下对称轴的计算:一般式:y=ax2+bx+c(a0) 对称轴:直线abx2顶点式:y=a(xh)2+k(a0) 对称轴:直线x=h交点式:y=a(xx1)(xx2)(a0) 对称轴: 直线221xxx在二次函数中,一元二次方程ax2+bx+c=0 的根就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标 【关键词关键词】 二次函数的性质;二次函数与一元二次方程;数形结合思想;三、解答题三、解答题 1.1. ( 福建福州,福建福州,2727,1313 分)分)已知,抛物线 yax2bxc ( a0)经过原点,顶点为 A ( h,k ) (h0) (1)当 h1,k2 时,求抛物线的解析式; (2)若抛物线 ytx2(t0)也经过 A 点,求a 与 t 之间的关系式; (3)当点 A 在抛物线 yx2x 上,且2h1 时,求 a 的取值范围 【逐步提示逐步提示】本题综合考查了二次函数、反比例函数和不等式等知识,解题的关键是会用待定系数 法解决问题 (1)用顶点式解决这个问题,设抛物线为 y=a(x1)2+2,原点代入即可 (2)由抛物线 yax2bxc ( a0)经过原点,抛物线 ytx2(t0)经过 A 点, ,把点的坐标代入函数表达式,列出方程组,消去 k 和 h 即可解决 (3)由点 A 在抛物线 yx2x 上,得到2khh,再由抛物线经过原点,得到 11.ah利用反比例函数的性质,分类讨论可得答案.【详细解答详细解答】解:解:根据题意,设抛物线的解析式为2()(0)ya xhk a(1)1,2,hk2(1)2ya x抛物线经过原点, 20a2解得2.a 22(1)2,yx 即224 .yxx (2)抛物线2(0)ytx t经过点( , )A h k,2kth22()ya xhth 抛物线经过原点,220.ahth 0,h .at (3)点( , )A h k在抛物线2yxx上,2khh.22()ya xhhh 抛物线经过原点,220ahhh 0,h 11.ah分两类讨论:当-2h0 时,由反比例函数性质可知11,2h 3 2a ;当 0h1 时,由反比例函数性质可知1 h1,a0.综上所述,a的取值范围是3 2a 或a0. 【解后反思解后反思】中考中在求函数解析式时,运用待定系数法使用待定系数法解题的一般步骤是: (1)确定所求问题含待定系数的解析式; (2)根据恒等条件,列出一组含待定系数的方程; (3)解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决 本题第(3)问也可以直接解不等式来解决.220ahhh,h=,2h1,21,当 1+a0 时,即 a1 时,解得 a0,当 1+a0 时,即 a1 时,解得 a ,综上所述,a 的取值范围 a0 或 a 【关键词关键词】二次函数的表达式;分类讨论思想;数形结合思想;反比函数的性质;二次函数的表达式;分类讨论思想;数形结合思想;反比函数的性质;2.2. ( 甘肃省天水市,甘肃省天水市,2424,1010 分)分)天水市某企业接到一批粽子生产任务,按要求在 19 天内完成 ,约定这批粽 子的出厂价为每只 4 元为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足如下关系32 (05) 2060(519)xxyxx 3(1) (3 分)李红第几天生产的粽子数量为 260 只? (2) (7 分)如图,设第x天每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图像来刻画,若李 红第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大利润是多 少元?(利润出厂价成本)Ox(天)P(元/只)32919【逐步提示逐步提示】本题是分段函数应用题,考查了一次函数和二次函数在实际生活中的应用,需要利用一次函数和 二次函数的增减性求最值,解题的关键是读懂题目信息,列出函数关系式具体地, (1)把y260 代入32 (05) 2060(519)xxyxx ,解方程即可求得 (2)根据图像,运用待定系数法求得p与x之间的函数表达式,然后根据“利润出厂价成本”得“w(4p)y” ,分情况代入数或式整理即得w与x之间的函数表达式,再 根据一次函数和二次函数的增减性求解最大利润【详细解答详细解答】解:(1)将y260 代入y32x,得 26032x,解得x188此时,x值不满足 0x5,故这种情况不存在 5x19 时,则有 20x60260,解得x10 李红第 10 天生产的粽子数量为 260 只 (2)由图可知p12(0x9) 设p2kxb(9x19),将(9,2),(19,3)代入,得92 193kb kb ,解得0.1 1.1k b p20.1x1.1(9x19) 当 0x5 时,w(42)32x64x,由一次函数的性质,知当x5 时,w最大320 当 5x9 时,w(42)(20x60)40x120,由一次函数的性质,知当x9 时,w最大480 当 9x19 时,w4(0.1x1.1)(20x60)2x252x1742(x13)2512,由二次函数的性 质,知当x13 时,w最大512w与x之间的函数表达式为264 (05) 40120(59)252174(919)xx wxxxxx ,由 320480512,知第 13 天时利润最大,最大利润是 512 元 【解后反思解后反思】此题第(1)问不难,难在解答第(2)问,需要分情况讨论根据已知条件中的 0x5,5x19,及由函数图像分析得出的 0x9,9x19 这四个自变量的取值范围,再结合利润求解 公式就可得出 0x5,5x9,9x19 这三种利润计算情况 【关键词关键词】解一元一次方程;一次函数的图像与性质;实际问题;二次函数的表达式;二次函数的性质;分类解一元一次方程;一次函数的图像与性质;实际问题;二次函数的表达式;二次函数的性质;分类 讨论思想;数形结合思想;方程与函数思想;待定系数法;配方法讨论思想;数形结合思想;方程与函数思想;待定系数法;配方法3.3. (广东省广州市,24,14 分)已知抛物线y=mx2+(12m)x+13m与x轴相交于不同的两点A,B4(1)求m的取值范围; (2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3)当41m8 时,由(2)求出的点P和点A,B构成的ABP的面积是否有最值?若有,求出最值及相对应的m值;若没有,请说明理由 【逐步提示逐步提示】 (1)根据二次函数的定义及二次函数与一元二次方程的关系,可直接求得m的取值范围;(2)抛 物线过定点,也就是说把该定点坐标代入解析式时不受m取值的影响,所以只要含m的项其和为 0 即可,这样 先求得所过定点的横坐标x的值,然后再代入解析式计算纵坐标y的值,不在坐标轴上的点即为所求的点P;(3)ABP的AB边上的高即为点P的纵坐标 4,故在41m8 的范围内,求得线段AB的值,再利用三角形面积公式易于得到其最值,线段AB的值可通过解一元二次方程直接得到 【详细解答详细解答】解:(1)y=mx2+(12m)x+13m是二次函数,m0抛物线与x轴相交于不同的两点,=(12m)24m(13m)=16m28m+1=(4m1)20,4m10,解得m41综上可知,m的取值范围是m0,且m41(2)y=mx2+(12m)x+13m=mx2+x2mx+13m=m(x22x3)+x+1,故只要x22x3=0,那么y的值便与m的 取值无关,也就是说抛物线必过定点解x22x3=0,得x1=3,x2=1 当x=3 时,y=9m+36m+13m=4,即P(3,4); 当x=1 时,y=m1+ 2m+13m=0,点(1,0)是x轴上的一点,不合题意,舍去 该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,点P的坐标为(3,4) (3) )一元二次方程mx2+(12m)x+13m=0 中,由求根公式,得x=mmm 2) 14()21 (2,即x=amb 2) 14(,x1=3m1,x2=1当41m8 时,3m11,AB=3m1(1)=4m1;SABP=21(4m1)4=2(4m1)41m8,81m14, 当m1取最小值81时,2(4m1)有最大值431,即ABP的面积有最大值431,此时m=8【解后反思解后反思】 (1)二次函数的y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两 个公共点这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不 等的实数根 (2)以形定数,抛物线与x轴交点的横坐标是对应的一元二次方程的两实根;以数定形,求出方程 ax2+bx+c=0 的两实根,便得到抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标特别地,一元二次方程ax2+bx+c=m的 解,即为二次函数y=ax2+bx+c当y=h时的两点的横坐标 (3)函数图象过定点问题,一般解决方法是函数解析式中所含参数的项的和为 0 时,则函数值不受字母参数的 影响,据此可求定点的坐标 (3)抛物线中三角形的最值问题,一般先设出动点的坐标,然后用其表示相关线段的长度,再利用三角形的面 积公式构造新的函数关系式确定最值 本题是二次函数综合题目,考查了二次函数与一元二次方程的关系,根的判别式以及最值问题等知识;本题难5度较大,根据题意得出点 P 的坐标是解决问题的关键 【关键词关键词】二次函数的解析式;二次函数的图象和性质;二次函数与一元二次方程的关系;解一元二次方程; 一元二次方程根的判别式;点的坐标;完全平方式;三角形的面积 4.4. ( 湖南省郴州市,湖南省郴州市,2626,1212 分)分)如图 1,矩形ABCD中,AB7cm,AD4cm,点E为AD上一定点,点F为AD 延长线上一点,且DFacm,点P从A点出发,沿AB边向点B以 2cm
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