1直角三角形、勾股定理及逆定理直角三角形、勾股定理及逆定理一、选择题一、选择题 1.1. （ 安徽，安徽，1010，4 4 分）分）如图，RtABC 中，ABBC,AB=6，BC=4.P 是ABC 内部的一个懂点，且满足 PAB=PBC.则线段 CP 长的最小值为（ ）A.23B.2 C.13138D.131312【答案答案】B.】B. 【逐步提示逐步提示】先根据三角形内角和和已知条件求出APB=900,并根据圆周角定理判断出动点 P 的活动轨迹，把 问题转化为圆外一点与圆上动点的最值问题，最后根据勾股定理即可求解. 【详细解答详细解答】解：如图，ABBC,ABP+CBP=900,CBP=BAP,ABP+BAP=900,APB=900,点 P 在以 AB 为直径的E 落在ABC 内部的部分，当点 C,P,E 在一条直线上时，CP 取最小值，此时由勾股定理得CE=2243 =5，CP=CE-PE=5-3=2.，故选择 B .【解后反思解后反思】在动态问题中求两点之间 距离的最值问题，一般应先确定动点的活动规律，再运用相关知识求解， 此类问题与圆结合的较多. 【关键词关键词】最值问题，圆的性质，勾股定理，动态问题2.2. （ 江苏省连云港市，7，3 分）如图 1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S、2S、3S；如图 2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为4S、5S、6S其中161S，452S，115S，146S，则43SSA86 B64 C54 D48图 2图 1S6S5S4S3S2S1【答案】C【逐步提示】本题考查了勾股定理的应用，找出这些面积之间的关系是解题的关键先根据等边三角形的面积2公式和扇形的面积公式，得出1S，2S，3S之间的关系以及4S，5S，6S之间的关系，最后可得出结论【详细解答】解：设直角三角形的三边长为a，b，c；则2 13 4Sa，2 33 4Sb，2 23 4Sc，222abc，32145 1629SSS；设图 2 中的扇形的圆心角为，则2 4360Sc，2 5360Sa，2 6360Sb，同样得到46511 1425SSS，34292554SS，故选择 C 【解后反思】由于等边三角形的面积是与边长的平方成正比例的，扇形在圆心角相同的情形下也是与半径即边长的平方成正比例的，而勾股定理又是与边长的平方有关的，于是可得出321SSS以及465SSS之间的关系，从而使问题得以解决 【关键词】勾股定理；等边三角形的面积；扇形的面积； 3.3. （江苏省无锡市，10，3 分）如图，RtABC中，C90，ABC30，AC2，ABC绕点C顺时针旋 转得A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（ ）A7B2 2C3D2 3AA1CDBB1【答案】A 【逐步提示】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理以及中位线等，解题的关键是构造 出求A1D边长所需的直角三角形，本题的思路是要求A1D的长度，过点D作DEA1B，求出A1E和DE，利用勾股 定理可求出A1D的长度，可先证明ACA1、BCB1为等边三角形，再利用中位线和等边三角形的性质求出A1E 和DE的长 【详细解答】解：C90，ABC30，AC2，A60，AB4， CACA1，ACA1为等边三角形，A1CACA1B160，AA12，A1B1AC，A1F是ABC的中位线，即A1F1 2AC1，A1CB1ACB90，BCB1ACA160， CBCB1，BCB1为等边三角形，F为BC中点，B1F为等边BCB1的高，B1F32 323，过点D作DEA1B，D为BB1的中点，DEBF，E为B1F的中点，EF1.5，DE1 2BF3 2，3在 RtA1DE中，A1D22 1AEDE+7，故选择 A .AA1CDBB1EF【解后反思】本题解题思路，求“斜”线长，常考虑构造直角三角形，本题有两个中点，点A1和点D，与中点 想中位线也是常用思路，总之本题综合了好几个知识点，平时多积累解题经验特别重要 【关键词】勾股定理；等边三角形的性质；中位线；旋转；转化思想；好题； 4.4. （江苏省宿迁市，（江苏省宿迁市，7，3 分）分）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过 点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE若AB的长为 2，则FM的长为（ ）A2 B3 C2 D1NMFEDCBA（第 7 题图） 【答案答案】B】B 【逐步提示逐步提示】根据翻折前后对应的线段相等，可以知道AB=BF，又M为BC中点，故BM=1，在直角BMF中，利 用勾股定理即可求出FM的长 【详细解答详细解答】 解：四边形ABCD是正方形AB=BC=2 M、N是一组对边的中点 MNBC，且BM=1 BEF是由BEA翻折得到的，AB=BF在RtBFM中，FM=3122222 BMBF，故选择 B 【解后反思解后反思】折叠问题是属于轴对称变换，折叠后图形的形状和大小不变，三角形折叠后得到的三角形与原三 角形全等，对应边和对应角相等。勾股定理是求线段长度的常用方法，当在一个直角三角形中知道关于边的两 个条件，即可使用勾股定理求出直角三角形的各边长，要熟练掌握 【关键词关键词】 正方形的性质；翻折；勾股定理；二、填空题二、填空题41.1. （ 安徽，安徽，1414，5 5 分）分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，BC=10.点 E 在 CD 上，将BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰 落在边 AD 上的点 F 处；点 G 在 AF 上，将ABG 沿 BG 折叠，点 A 恰落在线段 BF 上的点 H 处.有下列结论：EBG=450；DEFABG；SABG=23SFGH；AG+DF=FG.其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）【答案答案】. 【逐步提示逐步提示】由折叠得到相等的角和相等的线段，结合矩形的性质可求EBG 的度数；在 RtDEF 和 RtFGH 中根据勾股定理建立方程分别求出 DE,GH,FG 的长，根据相似三角形的判定方法对进行判断，根据三角形面积 公式对进行判断.可以根据各线段的长度直接进行判断.【详细解答详细解答】解：由折叠知ABG=FBG,FBE=CBE,EBG=21ABC=450,正确；又 BC=BF=10，由勾股定理求得 AF=22610 =8，DF=2，设 CE=EF=x,由勾股定理得 x2=22+(6-x)2,x=310,DE=38;又 AB=BH=6，HF=4，设AG=GH=y,由勾股定理 y2+42=(8-y)2,y=3,GF=5， 34 238236AGAB,DEF 与ABG 不相似，错误；SABG=96321，SFGH=4321=6，故正确；AG+DF=3+2=5=FG,正确，故答案为.【解后反思解后反思】1.凡涉及到折叠的问题，我们都找到其中的相等的角和相等的边；2.在直角三角形中，根据勾股 定理若能建立关于一个未知数的方程，那么这个直角三角形的三边的长就可以分别求出来，这是我们解决直角 三角形问题时常用的方法之一. 【关键词关键词】 折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定，矩形的性质，三角形的面积 2.2. （ 甘肃省天水市，甘肃省天水市，1616，4 4 分）分）如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB翻折，点A落在A位置，若OB5 ，tanBOC1 2，则A的坐标为_xOCBAAy【答案答案】(3 5，4 5)【逐步提示逐步提示】本题是坐标系中的图形折叠问题，考查了坐标与图形的性质，主要涉及轴对称的性质，矩形的性 质，等腰三角形的判定等知识以及勾股定理的灵活运用解题的关键是过点A作AEOC于点E，将问题转 化为求线段AE和OE的长，然后根据第二象限的点的坐标特征得到点A的坐标其中最关键的是求线段AE和OE的长先根据OB5 ，tanBOC1 2，求出BC1，OC2再设OC与AB交于点F，由折叠及5矩形的性质可证FOFB然后设OFx，得FBx，CF2x，进而在RtBCF中运用勾股定理构建方程求出 x值，得到线段OF的长最后，在RtOAF中，结合AE是斜边OF上的高及折叠产生的OAOA1，综 合运用勾定理及面积的不同表示方法就可求得AE和OE的长 【详细解答详细解答】解：如图，过点A作AEOC于点E，设OC与AB交于点FxOCBAAyEFOB5 ，tanBOCBC OC1 2，BC1，OC2 四边形OABC是矩形， OAB90，ABOC，OABC1 OBAFOB 由折叠，知OBAFBO， FOBFBO FOFB 设OFx，则FBx，CFOCOF2x 在RtBCF中，由勾股定理，得BC2CF2FB2，12(2x)2x2，解得x5 4，OF5 4又由折叠，知OAOA1，OAFOAB90，AF22OFAO225( )143 4SOAF1 2OAAF1 2OFAE，13 45 4AE，解得AE3 5又在RtOAE中，OE22AOAE2231( )54 5点A的坐标是(3 5，4 5)故答案为(3 5，4 5)【解后反思解后反思】本题还可以从相似三角形的角度思考解决如在求出OFBF5 4后，可得CFOCOF25 43 4，然后通过证明OAEBFC，产生相似比A E FCOE BCOA BF，得到3 4A E2OE1 5 4，从而求出线段AE和OE的长这类沿着矩形对角线翻折的矩形折叠问题中，“等腰三角形FOB”是一个基本图形结构，必 须熟识并掌握其证明方法 【关键词关键词】矩形的性质；轴对称变换；锐角三角函数的定义；勾股定理；在坐标系中求解几何图形中点的坐标；矩形的性质；轴对称变换；锐角三角函数的定义；勾股定理；在坐标系中求解几何图形中点的坐标； 方程思想；数形结合思想；面积法方程思想；数形结合思想；面积法63.3. （ 湖北省十堰市，湖北省十堰市，1414，3 3 分）分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=213cm,AD=4cm,ACBC,则DBC 比ABC 的周长长_cm.【答案答案】4 【逐步提示逐步提示】本题属于平面几何的计算题，主要涉及到平行四边形的性质、勾股定理、三角形的周长等；解题 的关键是DBC 比ABC 的周长长等于 BD-AC;解题的思路是根据平行四边形的性质和勾股定理，分别表示出 DBC 的周长与ABC 的周长，找出 BD-AC 的值即可.【详细解答详细解答】解：解： 如图，设 AC 与 BD 交于点 F,因为 AB=213cm,AD=4cm,ACBC，所以AC=6364