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材 料 力 学 讲 义第第 3131 讲讲 教学方案教学方案 能量法()基 本 内 容1.图乘法。教 学 目 的1. 掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 。2. 掌握图乘法的基本原理与推导过程。3. 掌握图乘法的应用条件。4. 能够熟练地应用图乘法计算指定截面的位移。 5 了解并掌握图乘法的计算与应用技巧 。重 点 、 难 点1. 重点掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 。2. 重点掌握图乘法的基本原理与应用条件。3. 要求熟练掌握图乘法的计算方法与计算技巧。4. 难点是如何正确理解虚功原理。 5 在解决问题时,有时图乘法非常简单,有时却很麻烦。教 学 安 排本次教学计划学时:2 学时。 课堂讨论: 1. 单位载荷法与莫尔积分之间的关系。 2. 虚位移与虚功的基本概念。 3. 如何理解莫尔积分的另一种推导方法。 4莫尔积分与图乘法的应用条件有什么区别?第 三 十 一 讲12- 单单位位载载荷法荷法 莫莫尔积尔积分分单位载荷法单位载荷法:用于求结构上某一点 某方向上位移的方法。如要求图 11-18 刚 架 A 点 a-a 方向的位移,可将该系统 (图 11-18a)真实位移作为虚位移虚位移,而 将单位力单位力(广义力)作用于同一结构上 A 点 a-a 方向的结构作为一个平衡力系 (图 11-18b),则应用虚功原理虚功原理有:(11-23) llldxQdxMldxN)()()()(1其中,是单位力系统的内力,而 d(l),d、d是原系统的变形,)(xN)(xM)(xQ现在被看作是虚变形;是原系统上 A 点沿 a-a 方向的真实位移。对于以拉压杆件,则只保留(11-23)式的第一项:(11- lldxN)()(24)若杆的内力=常数,则上式改为:)(xNlNldN l对于有 n 根杆组成的桁架,则有:(11-25) niiilN1对于杆以弯曲为主,则可忽略轴力与剪力的影响,有:(11-26) ldxM)(仿照上述推导,如要求受扭杆某一截面的扭转角,则以单位扭矩作用于该截面,并引起 扭矩,以原结构引起微段两端截面相对扭转角为虚位移,则:)(xTd(11-27) ldxT)(以上诸式中。如求出的为正,则表示原结构位移与所加单位力方向一致。 若结构材料是线弹性的,则有:材 料 力 学 讲 义dxdxdv dxdd dxEIxMdxdxvd)(22 iii iEAlNl)(dxGIxTd)(则式(11-25) 、 (11-26) 、 (11-27)分别化为(11-28) lEIdxxMxM)()((11-29)iniiiilEANN 1)((11-30) lGIdxxTxT)()(这些式子统称为莫尔定理,式中积分称为莫尔积分,显然只适用于线弹性结构。当需要求两点的相对位移时,如图 11-19a 所示截面 A 与 B 的相对位移A+B,则只要在 A,B 两点的联线方向上加一对方向相反的单位力(图 11-19b) ,然后用单位载荷法计算,即可求得相对位移,因为这时的,即是 A,B 两点的相对位移。同理,BA11如需要求两截面相对转角,只要在两截面上加方向相反的一对单位力偶矩即可。莫尔积分还可用另一方法导出:如欲求梁上 C 点在载荷 P1,P2,作用下的位移(图 11-20a) ,可在 C 点假想先只有单位力 P0=1 作用(图 11-20b) ,由应变能公式(11-12)(对线弹性材料)得 P0作用的应变能:第 三 十 一 讲(11-31)EIdxxMU2)(2此后将 P1,P2,作用于梁(图 11-20c) ,由于 P1,P2,作用的变形能为。这时,梁的总变形能为: lEIdxxMU2)(211UUU其中是因为已作用在梁上的单位力在 P1,P2,作用后引起的位移上所做的功。1如果将 P1,P2,与 P0=1 共同作用(图 11-20c) ,则梁内弯矩为,此时)()(xMxM应变能为: dx EIxMxMU l2)()(21此两最后状态的应变能相等,故有:1UUdx EIxMxMl2)()(2比较以上诸式,不难得到:(11-32) lEIdxxMxM)()(此即(11-28) 。例题例题 11-8 图 11-21 简单桁架,两杆截面积为 A,材料应力应变关系为:。试求结点 B 的垂直位移V。21 C解解:由结点 B 的平衡条件可解得 BD 杆的应力 、应1变 及伸长 分别为:11l,sin1AP222222 1 1sinACP Ccossincos222211AClPll同样可求得 BE 杆的应力,应变 及伸长 分别为:222l,sincos2AP2222222 2 2sincos ACP C222222sincos AClPl 材 料 力 学 讲 义设 B 点作用有单位力,则与单位力相应的 BD、BE 内的轴力分别为:,sin1 1N sincos 2N由单位载荷法莫尔积分,得 B 点的垂直位移为:cossincos134222221121AClPlNlNlNiiiV若材料是线弹性的,弹性模量为 E,则有:,sin1APsin1EAP Ecossincos11EAPlll,sincos2APsincos2EAP Esincos12EAPlll而单位载荷引起的内力不变,故得:。 cossincossin sincos cossin1 )(232222 1 EAPl EAPl EAlNNniiiii V12-4 图图形互乘法形互乘法莫尔积分(11-28)中的 EI(或 GI)为常量,可提到积分号外,只需计算积分: ldxxMxM)()(,如有一个是 x 的线性函数,即可采用图乘法图乘法简化积分计算。)(xM)(xM图 11-22 表示直杆 AB 的图与图,其中可用直线式表达:)(xM)(xM)(xMtan)(xxM则莫尔积分莫尔积分可写成:dxxxMdxxMxM ll)(tan)()(右边积分中,M(x)dx 为微面积,整个积分为 M(x)所围面积 对 y 轴的静矩,若 xc为 M(x)面积的形心到y 轴的距离,则: cxdxxxM)(于是:(11-33)c lcMxdxxMxMtan)()(第 三 十 一 讲其中是图中与图的形心 C 所对应的纵坐标,故(11-32)可写成cM)(xM)(xM(11-34)EIMdxEIxMxMcl)()(这就是计算莫尔积分的图乘法图乘法。 常用的几种图形的面积及 形心位置计算公式见图 11- 23。使用(11-34)时,为了计算方便,可将弯矩分解成几部分,对每一部分使用如图 11-23 的标准图形叠加求和。有时M(x)为连续光滑曲线,而图为折线,则应以折线)(xM的转折点为界,将积分分成几段,逐段使用图乘法,然后求和。例题例题 11-9 均布载荷作用下简支梁如图 11-24,EI 为已知常量,试求跨度中点 C 的挠度 fc。解解:简支梁受均布载荷作用弯矩图为二次抛物线(图 b) ,求中点挠度时,单位载荷作用于中点,故单位载荷的弯矩图为一折线(图 d) 。用图乘法时应分为两段,以折点为界。AC、CB 两段弯矩图的面积)(xM1、2为:3221241 2832qllql1、2的形心 c1、 c2所对应的图的纵坐标为:)(xMllMMCC325 48521按图乘法,跨中挠度为:。EIM EIMfCC c21213845 325 241243qllql EI材 料 力 学 讲 义
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