移动变幅载荷作用下粘性温克尔地基板上的动态响应移动变幅载荷作用下粘性温克尔地基板上的动态响应摘要 调查表明，无限大板的动态位移和应力响应在粘性温克尔地基上受移动双轴荷载与幅度变化的影响。在变换域中用三维傅立叶变换对时间，空间和移动空间上的任意变幅的移动物体进行研究，以及用傅里叶变换对在空间和移动空间上的移动谐波载荷的稳态响应研究已经公式化了。刚性和柔性路面系统是变幅温克尔地基板的两大模型。前后轮轴之间物体的粘性阻尼，加载速度，加载频率和加载阶段所产生的最大偏转和应力以及周围物体产生的最大偏转和应力也都有了研究的成果。与地基粘性有关的研究结果和在弹性系统中得到的结果有显著的差异。由表面的粗糙程度以及物体在前后轮轴之间的不同阶段对一个变幅物体产生的影响可以使原有的最大偏转和应力的承受范围都大幅度增加。关键字:弹簧片，温克尔地基，阻尼，移动物体，变换域，谐波负载 1：引言（介绍)(1，2)通常是采用静载荷对路面系统的位移，压力，拉力进行分析；然而， 路面的临界反应却是可以以动态负荷来进行分类的。尽管现在的许多研究都是 专门研究道路系统上移动物体的动态响应，但是它们大部分都是使用振幅不变 的物体进行研究，并且不考虑物体振幅的变化范围随时间的变化，而且这一变 化是由于道路表面的粗糙程度和交通工具的机械系统所引起的。移动的卡车对 路面的影响也取决于轮轴和轮子之间的距离，然而，在大多数的研究中，通常 是采用单轮轴或单轮的物体进行简单的分析，而不是采用双轴的并排双轮物体。本文的主要目的是研究和讨论板在粘性的温克尔地基移动下和不断增加的 变振幅双轴载荷作用下的动力响应。数值例子，刚性和柔性路面系统所使用的 粘弹性地基平板，通常用作混凝土路面模型，它是一个分层的柔性路面系统的 简化建模模型。假定该板大到无穷远处，在水平平面上有分层理论。那么在路 面系统底层的弹性和粘性性质可归纳到模型中作为一个阻尼弹性地基。轮胎和 路面接触的区域的形状被假定为矩形，并且在负载变化过程中任何变化形状均 被忽略。接触区域内的压力被假定为均匀分布。因为路面性能是引起车辙竖向 位移的因素，并使拉伸应力在表面层的底部（为刚性路面和柔性路面的混凝土 板沥青混合料） ，从而导致开裂，垂直位移和拉伸应力在该板的底部都是在本研 究中获得的。在移动荷载作用下，在研究中考虑的振幅变化，包括表面粗糙度、 谐波变化都能引起任意负载的变化。使用已被开发的三维傅立叶变换在变换域 字段和傅里叶变换在时间，空间和运动空间的移动荷载有负载变化，以及在空 间和运动空间的稳态响应有移动简谐荷载双重傅里叶变换。考虑粘性阻尼，加 载速度，负载频率的影响，并在前后轮轴荷载最大挠度和应力分布进行了研究。2: 转化场域分析如图 1 所示，作为路面模型，是阻尼无限大的温克尔地基板， 。是刚性路面系统 的混凝土板和柔性路面系统的沥青混合料采用的平板模型。垂直刚度和基本层 的粘性阻尼在刚性和柔性路面系统中都使用温克尔地基和阻尼器为蓝本。在移 动荷载作用下不同振幅弹性阻尼地基板的动力位移响应，可以使用三维傅立叶 变换在时间，空间，和运动空间中求得。微分方程的垂直位移 W 在直角坐标系 x，y，z 中，基于基尔霍夫小挠度薄板理论，可以写为图 1。对粘性温克尔地基和串联轴荷载板。),(),(),(),(),(),(2),(224422444 tyxqtyxkwttyxwcttyxwmytyxw yxtyxw xtyxwDP(1) Dp 是板的抗弯刚度(2)1 (1223vEhDp和 M，K，和 c 分别是每单位面积板的质量，基础层的每单位面积的竖向刚度，和粘性阻尼系数。E，H，N 是弹性模量，厚度，和板的泊松比，和 Q 是加载功 能。如果负载是一个在 X 方向不断移动且增加的变量 v，移动坐标 可以通过 X 来定义。不过，微分方程在笛卡尔坐标系统 h，y，z 移动时，可以从方程 中改写。),(),(2),(4422444ytyw ytywtywDp ),(),(2),(24 2222 tywVttywVttywm(3),(),(),(),(tyqtykwtywVttywc如果 ， 和 被认为是对 （移动空间） ，y（固定间隔）和 t（时间）中 域的转化。而如果 w（，y，t）和 q（，y，t）的基本形式来自于和 ,那么变换后的位移 W（，）yiitieeeW),(yiitieeeQ),(可以通过以下方式获得),(W(4)()()(),(222 VicVmkDQP这里 i=和变换载荷 W（，）通过三重傅立叶变换可得到1(5)dydtdeeetyqQiii ),(),(最后，动态位移响应可以使用三逆傅里叶变换得到的 dddeeeVicVmkDQtywtiyiiP )()()(),( )2(1),(2222（6）通过移动空间 h 的应力（纵向应力）和固定空间 y（横向应力）可以获得)(1),(22222ywvyw vEzty (7) dddeeeVicVmkDQv vEztiyiiP )()()(),()( )2)(1 (22222232)(1),(22222ywvyw vEzty dddeeeVicVmkDQv vEztiyiiP )()()(),()( )2)(1 (22222232(8)如果频率独立的线性滞阻尼（或阻尼材料）除去粘性阻尼的考虑外，还可用 2iDk 来表达阻尼项，其中 D 是阻尼比率。应该指出的是，线性滞回阻尼项需要 与粘性阻尼项一致的标志。在实践中，上述方程，利用离散傅里叶变换（FFT） 解决的是一个离散变换。为了成功地完成 FFT 在时间域和频率域中的转换，系 统应具有一定的阻尼。不过这一方法在用指数窗法时可以不用。如果运动负荷具有的幅度是谐波变化的，那么方程仅仅只有稳态响变，tie且位移和应力响应都在虚部。所以（6）式和（7）式可以改写为),(tyw(9) ddeeVicVmkDtQyiiP )()()(),( )2(122222(10) ddeeVicVmkDtQv vEzyiiP )()()(),()( )2)(1 (22222222和(11) dydeeyqetQyiiti),(),(这里是负载频率。在固定空间的应力同样可以获得。如果力 响应（ytsin的虚数分量）被认为是方程的虚部。在(9)式和（10）式能使用。如果恒定tie振幅的运动负荷（=0）可以考虑，那么反应可以将 0 代入负载频率方程中 获得(9)-(11) 。因为 是移动轴上的点，上面的等式表示移动位置随时间的 响应。一个固定点的响应，可以简单通过关系获得，其中 x 为固定点。vtx 如果移动荷载加载长度 d1 和 d2 在和 y 方向上有负载压力 q（每单位面积 的负载） ，那么在方程中可以定义移动荷载为 Q 值。由（5）和（11）可以得到， 分别为),(Q(12)dtetfeeddtiyii)(2sin2sin 40021 (13)002sin2sin 4),(21yiitieeeddqtQ 其中 0 和 y0 是负载的中心坐标以及 f（t）是随时间变化的负荷振幅。为得到多个荷载的反应，可以使用叠加法；但是，应注意的是，由于移动 简谐荷载作用下的稳态响应是在同一时间获得每一个点响应的振幅。例如，如 果两个负载的中心到中心距离在 L 和 Ly 上，那么在 和 y 方向与之间的 负载的稳态响应，可以从方程得到。 （9）（11）作为tsin(14),(),(arctansin),(),(),(),(22 yaybtybyatyortyw和),(),(yibya(15)ddeeVicVmkDdydeeyqvvEzyiiPyii )()()(),()()2)(1 (22222222的位移，和 iba (16)ddeeVicVmkDdydeeyqyiiPyii )()()(),()2(122222应力。由其它的荷载响应可以写为)sin(（17）),(),(arctansin),()(22yyyy yyyLyLaLyLbtLyLbLLa加入方程。 （14）和（17） ，响应的振幅可以得到(18)sin)(cos)(2212121212 22 22 12 1abbabbaababa这里， ，和。对多),(1ya),(2yb),(2yLyLaa),(2yLyLbb个负载如双轮单轴或双轴载荷作用下的响应，同样可以使用上述方法得到的。另一种获得多个移动负载的响应是使用联合变换负载用多个载荷计算【13,14】 。应当指出的是，在本文提出的解决方案比有限元分析更好【9】 。它也指出，由于本研究中采用的板理论是不考虑剪切变形的板，附加剪应力包括在制定较厚的板时，为了获得更准确的响应，剪切变形不可忽略。3. 针对恒定振幅的动荷载如果路面系统具有完全光滑的表面，由车辆的移动荷载引起的振幅可以被假定为是恒定的。由于移动的幅度是恒定的，位移和应力在刚性和柔性路面系统的负载响应首先被考虑。材料的刚性性能和柔性路面模型与本研究中所用的双轴加载几何（图 1）都在表 1 中列出。粘滞阻尼值很大程度上取决于底层类型和水分含量。大部分的粘性阻尼值在本研究中受粘性阻尼的影响。值得注意的是，在本研究中认为一些阻尼值可能不在实际阻尼值的范围中。用于移动和固定空间的转化领域的 FFT，分别用于 2048 变换点数量和增量距离为 1.27 厘米（0.5 英寸）的范围。因为横向应力比纵向应力小，在这个研究中考虑纵向板底部的应力为拉伸应力。如图 2 所示，根据双轮，双轮单轴，双轮双轴车轴载荷的反应，差异负载的速度低于 40 km / h 时，柔性路面是第一个研究模型。如果该板是足够大的，速度是恒定的，所述移动荷载的响应将在沿移动轴任意时刻保持不变。这意味着位移和应力随着移动载荷分布。沿着移动轴图中的位移和应力分布显示在 y坐标长，其中有最大挠度或应力发生。最大响应的位置取决于材料的性能，速度，和负载的配置。0 距离在图中表示的两轴之间的中点。双轮，双轮单轴载荷率几乎有相同的反应，除了一双轮单轴荷载和无粘性阻尼有最大应力。在图2a 所示的挠度，串联轴荷载引起的最大挠度比与其他荷载的差异变得显着时才能获得粘性阻尼。在无粘性阻尼时，偏转的形状几乎是对称的，但是，有粘性阻尼时偏转形状不再对称，靠近前轴载荷峰值位移减小，最大挠度发生在靠近后轴的负载上。值得注意的是，由于材料阻尼（线性滞回阻尼）在本研究系统中是非常小的（D = 0.2%） ，响应本质上对称的时候没有粘性阻尼。但是，如果材料阻尼较大，反应应力不是对称的9,11。 （图