中英文学校自主招生平面几何讲义（三角形的五心）中英文学校自主招生平面几何讲义（三角形的五心）一、三角形的重心一、三角形的重心1 1、重心的性质：、重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1。 证明一三角形 ABC，E、F 是 AB，AC 的中点。EC、FB 交于 G。 过 E 作 EH 平行 BF。 AE=BE 推出 AH=HF=1/2AF AF=CF 推出 HF=1/2CF 推出 EG=1/2CG 2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 证明二证明方法： 在ABC 内，三边为 a，b，c，点 O 是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1 分别为 a、b、c 边上的中线根据重心性质知， OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1 过 O，A 分别作 a 边上高 h1，h 可知 Oh1=1/3Ah 则，S(BOC)=1/2h1a=1/21/3ha=1/3S(ABC)；同理可证 S( AOC)=1/3S(ABC)，S(AOB)=1/3S(ABC) 所以，S(BOC)=S(AOC)=S(AOB) 3、重心到三角形 3 个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形） 证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为 （x，y） 则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2 =3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2- 2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32 =3(x-1/3*(x1+x2+x3)2+3(y- 1/3(y1+y2+y3)2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2- 1/3(y1+y2+y3)2 显然当 x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时 上式取得最小值 x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2 最终得出结论。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均， 即其坐标为(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 空间直角坐标系横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐 标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6。在ABC 中，若 MA 向量+MB 向量+MC 向量=0（向量） ，则 M 点为ABC 的重心，反之也成立。 7.设ABC 重心为 G 点，所在平面有一点 O，则向量 OG=1/3（向量 OA+向量 OB+向量 OC） 8.相同高三角形面积比为底的比，相同底三角形面积比为高的比。 证明方法： D 为 BC 中点，BD=CD, 又hABD=hACD，hBOD=hCOD， SABD=SACD，SBOD=SCOD， 即 SAOF+SBOF+SBOD=SAOE+SCOE+SCOD,SBOD=SCOD,SAOF+SBOF=SAOE+SCOE.同理， E 为 AC 中点，SAOF+SBOF=SBOD+SCOD. SAOE+SCOE=SBOD+SCOD. 又SBOF/SBOD+SCOD=OF/OC,SAOF/SAOE+SCOE, 即 SBOF=SAOF。 BF=AF， CF 为 AB 边上的中线， 即三角形的三条中线相交于一点。重心顺口溜重心顺口溜三条中线必相交，交点命名为“重心” 重心分割中线段，线段之比听分晓； 长短之比二比一。二、三角形的外心二、三角形的外心定义定义三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心 三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就 在这个外接圆上三条中垂线共点证明三条中垂线共点证明. l、m分别为线段 AB、AC 的中垂线AF=BF=CF BC 中垂线必过点 F三角形外心的性质三角形外心的性质设ABC 的外接圆为G(R)，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，p=(a+b+c) /2 性质性质 1 1：（1）锐角三角形的外心在三角形内； （2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外. . 性质性质 2 2：BGC=2A，（或BGC=2(180-A). . 性质性质 3 3：GAC+B=90 证明：如图所示延长 AG 与圆交与 P A、C、B、P 四点共圆P=B P+GAC=90 GAC+B=90 性质性质 4 4：点 G 是平面 ABC 上一点，点 P 是平面 ABC 上任意一点，那么点 G 是ABC 外心的充要条件是： （1）向量 PG=(tanB+tanC)向量 PA+(tanC+tanA)向量 PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC). . 或（2）向量 PG=(cosA/2sinBsinC)向量 PA+(cosB/2sinCsinA)向量 PB+(cosC/2sinAsinB)向量 PC. . 性质性质 5 5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆 的圆心. .外心到三顶点的距离相等。 性质性质 6 6：点 G 是平面 ABC 上一点，那么点 G 是ABC 外心的充要条件 (向 量 GA+向量 GB)向量 AB= (向量 GB+向量 GC)向量 BC=(向量 GC+向量 GA)向 量 CA=0. . 三角形外心的做法三角形外心的做法 分别作三角形两边的中垂线交点计作 O 以 O 为圆心 OA 为半径画圆圆 O 即为所求外心的求法外心的求法设三角形三边及其对角分别为 a、b、c，A、B、C 正弦定理有 r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC） r=abc/（4SABC）三、三角形内心三、三角形内心定义定义在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心， 而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心,(该点到三边距离相等)。三条角分线共点证明三条角分线共点证明证明：如图所示 作B、C 角分线与 AC、AB 交与 F、D CD 与 BF 交与 I 连接 AI 交 BC 于 E 由塞瓦定理有（AD/BD）*（BE/CE）*（CF/AF）=1BF、CD 为角分线 由角分线定理有 AD/BD=AC/BC CF/AF=BC/ABBE/CE=AB/AC 由角平分线定理的逆定理有 AE 为A 的角分线 证毕三角形内心的性质三角形内心的性质设ABC 的内切圆为I(r)，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，p=(a+b+c) /2 1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径 r 2、BIC=90+A/2 3、如图 在 RTABC 中，A=90内切圆切 BC 于 D 则 SABC=BD*CD 4、点 O 是平面 ABC 上任意一点，点 I 是ABC 内心的充要条件是： 向量 OI=a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)/(a+b+c) 5、ABC 中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么ABC 内心 I 的坐 标是： (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c) +cy3/(a+b+c) 6、(欧拉定理)ABC 中，R 和 r 分别为外接圆为和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则 OI2=R2-2Rr 7、点 O 是平面 ABC 上任意一点，点 O 是ABC 内心的充要条件是： a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)=向量 0 8、 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为 对应支的顶点。 9、ABC 中，内切圆分别与 AB，BC，CA 相切于 P，Q，R，则 AP=AR=（b+c-a）/2，BP =BQ =(a +c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=(b+c-a)tan(A/2)/2。 10、（内角平分线定理） ABC 中，0 为内心，A 、B、 C 的内角平分线分别交 BC、AC、AB 于 Q、P、R， 则 BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.三角形内心的做法三角形内心的做法做出三角形的外接圆O 过 O 分别作 AC、BC（任意两边）垂线与圆 O 交于 E、F 连接 AF、BE 交于 I，点 I 即为内心三角形内接圆半径三角形内接圆半径1、在 RtABC 中，C=90，r=(a+b-c)/2 2、在 RTABC 中，C=90，r=ab/a+b+c 3 任意ABC 中 r=（2*SABC）/CABC （C 为周长）四、三角形垂心四、三角形垂心三角形垂心的性质三角形垂心的性质设ABC 的三条高为 AD、BE、CF，其中 D、E、F 为垂足，垂心为 H，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，p=(a+b+c)/2 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角 三角形的垂心在三角形外. . 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心 三角形的垂心； 3、 垂心 H 关于三边的对称点，均在ABC 的外接圆上。 4、 ABC 中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形， 且 AHHD=BHHE=CHHF。 5、 H、A、B、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这 样的四点为一垂心组)。 6、 ABC，ABH，BCH，ACH 的外接圆是等圆。 7、 在非直角三角形中，过 H 的直线交 AB、AC 所在直线分别于 P、Q，则 AB/APtanB+ 三角形的垂心与外心的位置关系AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。 8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍。 9、 设 O，H 分别为ABC 的外心和垂心，则 BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。 10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之 和的 2 倍。 11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形 (顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。 12、 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 13、 设锐角ABC 内有一点 T，那么 T 是垂心的充分必要条件是 PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。五、三角形旁心五、三角形旁心1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。三角形五心2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。三角形旁心的性质三角形旁心的性质设ABC 在A 内的旁切圆I1(r1)与 AB 的延长线切于点 P1。内切圆半径为 r。1、三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2、旁心到三角形三边的距离相等。3、三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。4、BI1C=90-A/2.5、AP1=r1cot(A/2)=(a+b+c)/2.6、AI1B=C/2.7、SABC=r1(b+c-a)/2.8、r1=rp(p-a).9、r1=(p-b)(p-c)/r.10、1/r1+1/r2+1/r3=1/r.11、r1