20092009 年清华大学自主招生数学（理科）试题年清华大学自主招生数学（理科）试题1设的整数部分为，小数部分为。51 51 ab（1）求；（2）求；（3）求。, a b22 2abab2limnnbbb L L2 （1）为实数，且，求证：对于任意正整数，。, x y1xyn22 211 2nn nxy（2）为正实数，求证：，其中为的一种排列。, ,a b c3abc xyz, ,x y z, ,a b c3请写出所有三个数均为质数，且公差为 8 的等差数列，并证明你的结论。4已知椭圆，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于，与轴交22221xy ab,0AaLQy于，过原点与平行的直线与椭圆交于，求证：，成等比数列。RLPAQ2OPAR5已知，设，求。sincos1ttcossinstit2( )1nf ssss L L6随机挑选一个三位数I（1）求含有因子 5 的概率；（2）求中恰有两个数码相等的概率。II7四面体中，ABCDABCDACBDADBC（1）求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；（2）设三个面与底面所成的角分别为，求证：BCD, 。coscoscos18证明当均为奇数时，曲线与轴的交点横坐标为无理数。, p q222yxpxqx9设均为整数，性质为： 对中任意个数，存1221,na aaL LP1221,na aaL L2n在一种分法可将其分为两组，每组个数，使得两组所有元素的和相等。求证：n全部相等当且仅当具有性质。1221,na aaL L1221,na aaL LP