海淀区高三年级第一学期期中练习海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理） 2014.11本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设集合，则（ ）1|AxxR| 12BxxRAB I（A） 1,) （B）(1,)（C）(1,2（D） 1,1)（2）已知向量，. 若，则（ ）(2, 1)a(3, )xb3a bx （A）6（B）5（C）4（D）3（3）若等比数列满足，且公比，则（ ）na135aa2q 35aa（A）10（B）13（C）20（D）25（4）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）sin(2)3yxsin2yx（A）向左平移个单位3（B）向左平移个单位6（C）向右平移个单位3（D）向右平移个单位6（5）设，则（ ）1 31( )2a 21log3b 2log 3c （A）abc（B）cab（C）acb（D）cba（6） 设，则“且”是“”的（ ）, a bR0ab ab11 ab（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知函数若关于的方程有三个不相等的实,0,( ),0.x xf xx x x( )(1)f xa x恒谦数根，则实数的取值范围是（ ） a（A）1 ,)2（B）(0,)（C）(0,1)（D）1(0, )2（8）设等差数列的前项和为nan.在同一个坐标系中，nS及的部分图象( )naf n( )nSg n如图所示，则（ ）-0.4 -0.80.7O87an(Sn)n（A）当时，取得最大值4n nS（B）当时，取得最大值3n nS（C）当时，取得最小值4n nS（D）当时，取得最小值3n nS二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）设复数，则_ i 1 iz z （10） 已知函数的图象关于轴对称，则实数的值是 .2x ayya（11） _.(sin )dxxx （12）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：C）随时间 （单位：）的变化关系为，则经过_后池水中药品的mg / Lth220 4tCth浓度达到最大. （13）如图所示，在ABC 中，为边上的一点， 且.若DBC2BDDC，则.( ,)ACmABnAD m nRuuu ruuu ruuu r_mn（14）已知函数（是常数，）的最小正周期为,设集合( )sin()f xAx, ,A 0,0A直线为曲线在点处的切线，.若集合中有且只有M l l( )yf x00(,()xf x00,)x M两条直线互相垂直，则= ；= .ADCBA三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15） （本小题满分 13 分）已知函数.( )sinsin()3f xxx（）求的值；( )2f（）求的单调递增区间.( )f x（16） （本小题满分 13 分）已知是各项均为正数的等比数列，且成等差数列.na11 2a 132,a aa（）求的通项公式；na（）求数列的前项和.nannnS（17） （本小题满分 13 分）如图所示，在四边形中，且ABCD2DB .31,3,cos3ADCDB（）求的面积；ACD（）若，求的长.2 3BC AB（18） （本小题满分 14 分）已知函数.1ln2)(2xxaxf（）若,求函数的单调递减区间；1a ( )f x（）若，求函数在区间上的最大值； 0a ( )f x1,)DCBA（）若在区间上恒成立，求的最大值.0)(xf), 1 a（19） （本小题满分 13 分）已知数列的前项和.nan(1)(1,2,3,)2n nnaSnL（）求的值；1a（）求证：；1(2)1(1)(2)nnnanan （）判断数列是否为等差数列，并说明理由.na（20） （本小题满分 14 分）设函数，为曲线在点处的切线.21( )51623f xxxL:( )C yf x1( 1,)12（）求 L 的方程； （）当时，证明：除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方；1 5x 1( 1,)12（）设，且满足，求的最大值123,x x x R1233xxx 123()()()f xf xf x海淀区高三年级第一学期期中练习海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理）答案及评分参考（理）答案及评分参考 2014.11一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）（1）C （2）D （3）C （4）B （5）B （6）A （7）D （8）A二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。有两空的小题，第一空分。有两空的小题，第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分）分）（9） （10） （11） 2 200（12） （13） （14）2；221 2三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 80 分）分） （15） （共 13 分） 解：（）. 3 分11( )sinsin()1222322f （）( )sinsin()3f xxx 5 分sin(sin coscos sin)33xxx.1313sin( sincos )sincossin()22223xxxxxx 9 分函数的单调递增区间为，sinyx2 ,2 ()22kkkZ由， 11 分2 2 ()232kxkkZ得.52 2 ()66kxkkZ所以 的单调递增区间为. 13 分( )f x52 ,2 ()66kkkZ（16） （共 13 分）解：（）因为 成等差数列，132,a aa所以 . 2 分3122aaa设数列的公比为，由可得， na(0)q q 11 2a 21112222qq 4 分即.2210qq 解得：或（舍）. 5 分1 2q 1q 所以 . 7 分1111( )222n nna（）由（）得：. 1 2nnann所以 8 分2311111232222nnSn L9 分2311111 232222nn LL. 13 分11(1)(1)1(1)221122212nnn nn n （17） （共 13 分）解：（）因为 ，2DB 3cos3B 所以 . 3 分21coscos22cos13DBB 因为 ，(0,)D所以 . 5 分22 2sin1 cos3DD因为 ，1,3ADCD所以 的面积. ACD112 2sin1 32223SAD CDD 7 分（）在中，.ACD2222cos12ACADDCAD DCD所以 . 9 分2 3AC 因为 ， 11 分2 3BC sinsinACAB BACB所以 .2 3 sinsin(2 )sin22sincos2 3sin3ABABABAB BBBBBB所以 . 13 分4AB （18） （共 14 分）解：（）当时，.1a 2( )2ln1f xxx，. 2 分222(1)( )2xfxxxx0x 令.22(1)( )0xfxx因为 ，0x 所以 . 3 分1x 所以 函数的单调递减区间是. 4 分( )f x(1,)（）,.xaxxxaxf)(222)(20x令，由，解得，（舍去）. 5 分( )0fx 0a 1xa2xa 当，即时，在区间上，函数是减函数.1a 01a1,)( )0fx ( )f x所以 函数在区间上的最大值为； 7 分( )f x1,)(1)0f 当，即时，在上变化时，的变化情况如下表1a 1a x1,)( ),( )fxf xx1(1,)aa(,)a +( )fx+0-( )f x0ln1aaa-+所以 函数在区间上的最大值为.( )f x1,)()ln1faaaa 10 分综上所述：当时，函数在区间上的最大值为；01a( )f x1,)(1)0f当时，函数在区间上的最大值为.1a ( )f x1,)()ln1faaaa（）由（）可知：当时，在区间上恒成立；01a0) 1 ()( fxf), 1 11 分当时，由于在区间上是增函数，1a )(xf, 1 a所以 ,即在区间上存在使得.0) 1 ()( faf), 1 xa( )0f x 13 分综上所述，的最大值为 . 14 分a1（19） （共 13 分）（）解：由题意知：，即.1 11 2aS1 11 2aa解得：.