信号抽样及抽样定理信号抽样及抽样定理一、实验目的一、实验目的1.学会运用 MATLAB 完成信号抽样以及对抽样信号的频谱进行分析2.学会运用 MATLAB 改变抽样时间间隔，观察抽样后信号的频谱变化3.学会运用 MATLAB 对抽样后的信号进行重建2、 实验原理实验原理（一）信号抽样（一）信号抽样信号抽样是利用抽样脉冲序列从连续信号中抽取一系列的离散值，)(tp)(tf通过抽样过程得到的离散值信号称为抽样信号，记为。从数学上讲，抽样)(tfs过程就是信号相乘的过程，即)()()(tptftfs因此，可以使用傅里叶变换的频域卷积性质来求抽样信号的频谱。常用的)(tfs抽样脉冲序列有周期矩形脉冲序列和周期冲激脉冲序列。上式表明，信号在时域被抽样后，它的频谱是原连续信号频谱以抽样角频率为 间隔周期的延拓，即信号在时域抽样或离散化，相当于频域周期化。在频谱的 周期重复过程中，其频谱幅度受抽样脉冲序列的傅里叶系数加权，即被加权。nP可以看出，是以为周期等幅地重复。)(sFs（二）抽样定理（二）抽样定理如果是带限信号，带宽为，则信号可以用等间隔的抽样值来)(tfm)(tf唯一表示。经过抽样后的频谱就是将的频谱在频率轴上)(tf sF)(tf F以抽样频率为间隔进行周期延拓。因此，当时，周期延拓后频谱sms2不会产生频率混叠；当时，周期延拓后频谱将产生频率 sFms2 sF混叠。通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率称为奈奎斯特频率，把最大允许的抽样间隔)2,2(2 m ms smsffff称为奈奎斯特间隔。mssffT211（二）抽样定理（二）抽样定理如果是带限信号，带宽为，则信号可以用等间隔的抽样值来)(tfm)(tf唯一表示。经过抽样后的频谱就是将的频谱在频率轴上)(tf sF)(tf F以抽样频率为间隔进行周期延拓。因此，当时，周期延拓后频谱sms2不会产生频率混叠；当时，周期延拓后频谱将产生频率 sFms2 sF混叠。通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率称为奈奎斯特频率，把最大允许的抽样间隔)2,2(2 m ms smsffff称为奈奎斯特间隔。mssffT211（三）信号重建（三）信号重建抽样定理表明，当抽样定理小于奈奎斯特间隔时，可以使用抽样信号唯一表示原信号，即信号的重建。为了从频谱中无失真的恢复原信号，可以采用截止频率为的理想低通滤波器。mc上式表明连续信号可展开为抽样函数的无穷级数，该级数的系数为抽tSa 样值。利用 MATLAB 中的函数来表示，所以可获得由tttc)sin()(sintSa重建的表达式，即snTftfscnnsc snTtcnTfTtf sin三、实验环境三、实验环境Matlab7.0四、实验内容四、实验内容1、设有三个不同频率的正弦信号，频率分别为Hzf1001，Hzf2002，Hzf38003；现在使用抽样频率Hzfs4000对这三个信号进 行抽样，使用 MATLAB 命令画出各抽样信号的波形和频谱，并分析其频率混叠现象。程序如下：clear all;close all;clc; ts=2.5*10(-4); dt=0.000001; t1=0:dt:0.01; ft=sin(2*pi*100*t1).*(t1=0); subplot(221); plot(t1,ft),grid on %axis(-4 4 -0.1 1.1) xlabel(time(sec),ylabel(f(t)title(100Hz正弦信号) n=500; k=-n:n; w=pi*k/(n*dt); fw=dt*ft*exp(-i*t1*w); subplot(222)plot(w,abs(fw),grid on %axis(-10 10 -0.2 1.1*pi); xlabel(/comega),ylabel(f(w) title(100Hz正弦信号的频谱) t2=0:ts:0.01; fst=sin(2*pi*100*t2).*(t2=0); subplot(223) plot(t1,ft,:),hold on stem(t2,fst),grid on %axis(-4 4 -0.1 1.1) title(100Hz抽样后的信号),hold off fsw=ts*fst*exp(-i*t2*w); subplot(224) plot(w,abs(fsw),grid on %axis(-10 10 -0.2 1.1*pi) title(100Hz抽样信号的频谱)00.0050.01-1-0.500.51time(sec)f(t)100Hz信 信 信 信-4-2024x 1060123x 10-16/comegaf(w)100Hz信 信 信 信 信 信 信00.0050.01-1-0.500.51100Hz信 信 信 信 信 信-4-2024x 10600.51x 10-14100Hz信 信 信 信 信 信 信clear all;close all;clc; ts=2.5*10(-4); dt=0.000001; t1=0:dt:0.01; ft=sin(2*pi*200*t1).*(t1=0); subplot(221); plot(t1,ft),grid on %axis(-4 4 -0.1 1.1)xlabel(time(sec),ylabel(f(t)title(200Hz正弦信号) n=500; k=-n:n; w=pi*k/(n*dt); fw=dt*ft*exp(-i*t1*w); subplot(222) plot(w,abs(fw),grid on %axis(-10 10 -0.2 1.1*pi); xlabel(/comega),ylabel(f(w) title(200Hz正弦信号的频谱) t2=0:ts:0.01; fst=sin(2*pi*200*t2).*(t2=0); subplot(223) plot(t1,ft,:),hold on stem(t2,fst),grid on %axis(-4 4 -0.1 1.1) title(200Hz抽样后的信号),hold off fsw=ts*fst*exp(-i*t2*w); subplot(224) plot(w,abs(fsw),grid on %axis(-10 10 -0.2 1.1*pi) title(200Hz抽样信号的频谱)00.0050.01-1-0.500.51time(sec)f(t)200Hz信 信 信 信-4-2024x 10601234x 10-16/comegaf(w)200Hz信 信 信 信 信 信 信00.0050.01-1-0.500.51200Hz信 信 信 信 信 信-4-2024x 1060246x 10-15200Hz信 信 信 信 信 信 信clc;clear all; Ts=1/4000; t1=-0.0003:0.00001:0.0003; ft=sin(2*pi*3800*t1); subplot(2,2,1) plot(t1,ft) grid on axis(-0.0004 0.0004 -1.2 1.2)title(3800Hz正弦信号)N=500; k=-N:N; W=pi*k/(N*0.00001); Fw=0.00001*ft*exp(-j*t1*W); subplot(2,2,2) plot(W,abs(Fw) grid on axis(-200000 200000 -0.0001 0.0005) title(3800Hz正弦信号频谱)t2=-0.0003:Ts:0.0003; fst=sin(2*pi*3800*t2); subplot(2,2,3) plot(t1,ft,:) hold on stem(t2,fst) grid on axis(-0.0004 0.0004 -1.2 1.2) title(3800Hz抽样后信号)Fsw=Ts*fst*exp(-j*t2*W); subplot(2,2,4) plot(W,abs(Fsw) grid on axis(-200000 200000 -0.0001 0.001) title(3800Hz抽样后信号频谱)-4-2024x 10-4-1-0.500.513800Hz信 信 信 信-2-1012x 105024x 10-43800Hz信 信 信 信 信 信-4-2024x 10-4-1-0.500.513800Hz信 信 信 信 信-2-1012x 1050510x 10-43800Hz信 信 信 信 信 信 信2、结合抽样定理，利用 MATLAB 编程实现)(tSa信号经过冲激脉冲抽样后得到的抽样信号tfs及其频谱，并利用tfs构建)(tSa信号。(1)高抽样时clc;clear all; Ts=1/5; t1=-5:0.01:5; ft=sinc(t1); subplot(2,2,1) plot(t1,ft) grid on axis(-6 6 -0.5 1.2) title(Sa(t)N=500; k=-N:N; W=pi*k/(N*0.01); Fw=0.01*ft*exp(-j*t1*W); subplot(2,2,2) plot(W,abs(Fw) grid on axis(-60 60 -0.05 1.5) title(Sa(t)频谱)t2=-5:Ts:5; fst=sinc(t2); subplot(2,2,3) plot(t1,ft,:) hold on stem(t2,fst) grid on axis(-6 6 -0.5 1.2) title(抽样后信号)Fsw=Ts*fst*exp(-j*t2*W); subplot(2,2,4) plot(W,abs(Fsw) grid on axis(-50 50 -0.05 1.5) title(抽样后信号频谱)-505-0.500.51Sa(t)-5005000.511.5Sa(t)信 信-505-0.500.51信 信 信 信 信-5005000.511.5信 信 信 信 信 信 信(2)临界抽样时clc;clear all;Ts=1/2;t1=-5:0.01:5;ft=sinc(t1); subplot(2,2,1) plot(t1,ft) grid on axis(-5 5 -0.5 1.2) title(Sa(t)N=500; k=-N:N; W=pi*k/(N*0.01); Fw=0.01*ft*exp(-j*t1*W); subplot(2,2,2) plot(W,abs(Fw) grid on axis(-50 50 -0.05 1.5) title Sa(t)频谱)t2=-5:Ts:5; fst=sinc(t2); subplot(2,2,3) ploT(t1,ft,:) hold on stem(t2(fst) grid on axis(-5 5 -0.5 1.2) title(抽样后信号)Fsw=Ts*fst*exp(-j*t2*W); subplot(2,2,4) plot(W,abS(Fsw) grid on axis(%50 50 -0.05 1.5) title抽样后信号频谱)-505-0.500.51Sa(t)-5005000.511.5Sa(t)信 信-505-0.500.51信 信 信 信 信-5005000.51