1从三个层次看动量规律的应用湖南省临澧县第一中学 侯 军在人教社新版（必修加选修）高中物理教材中， 动量一章被安排到了机 械能之后。这意味着学习了第八章动量规律之后，需要对一种新的方法体系（动 量和能量）进行大盘点。具体的工作包括：展示新方法的独立性和优越性、将它和 动力学进行比较，并进行适当的综合应用。一、单纯的动量问题在不涉及与其它知识综合的前提下，动量问题仍然需要讲清楚：动量定理的推 论应用、动量守恒的参考系和多过程或多对象的处理。 【例题 1】一机枪每分钟发射 600 发子弹，子弹的质量为 10g ，发射时速度为 80m/s 。发射子弹时用肩抵住枪托，则枪托对肩的平均作用力是 N 。提示对动量定理推论= F 的按部就班应用。p t 答案8N 。 【例题 2】如图 1 所示，一个质量是 M = 0.5kg 的斜面体 A 原静止在光滑的水平面上， 一个质量 m = 40g 的小球 B 以水平速度 v0 = 30m/s 撞到 A 的斜面上，碰撞时间很短，碰 后变为竖直向上运动，求物体 A 碰后的速度。提示A 和 B 组成的系统只在水平方向动量守恒。题意不做特别说明时，所 有的速度均指（对地的）绝对速度。 答案2.4m/s 。 【例题 3】如图 2 所示，长为 L ，质 量为 M 的小船停在静水中，一个质量为 m 的人立在船头，若不计水的粘滞阻力， 当人从船头走到船尾的过程中，船的位 移是多少？ 提示此情景可以视为一种反冲运 动。对于反冲，教材没有展示新的知识 点，整体要求也比较低，但对于“反冲位移”的计算，还是有一定的应用空间，需 要认真对待。大致求解过程如下： 对人、船系统用动量守恒时，取标量式为佳：从瞬时速率关系 mv = MV ，过度到平均速率关系 m= MvV2再结合人、船运动的等时性，有位移大小关系 ms = MS 而对运动全程，有 s + S = L 解即可。 但是在实际解题时，学生会有两个常见问题：a、偷换参考系，认为人的位移就 是 L ；b、习惯用矢量式表达动量关系（这是可以的） ，但对人、船的位移矢量关 系模糊（认为也是 s + S = L） ，导致解题出错。答案L 。m Mm 评析值得注意的是，人在船上的走动不可能是匀速的，也不必是匀变速的， 故本题用动力学几乎不可解，但用动量守恒时，却回避了对运动过程细节的追究。 此“人船模型”有极其广阔的应用前景，当遇到：气球上的人沿绳子下滑、光滑水 平面上汽缸中活塞的运动、物体沿光滑水平面上斜面体下滑的问题时，可以直接联系上面的定式。 【例题 4】如图 3 所示，设箱子 B 的质量 为 M ，静止于光滑的水平面上。车厢内有一 质量为 m 的物体 A 以初度 v0向右运动，与车 厢壁来回碰撞 n 次后，静止于箱子中，这时箱 子的速度大小是 ，方向是 。 提示当每一个作用过程都满足动量守恒条件，而题意并不要求解出中间的 物理量时，对全程应用动量守恒是必要的，这也正是动量规律解题的优越性所在。答案v0 ；向右。m mM【例题 5】如图 4 所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。甲和 他的冰车质量之和为 M = 30kg ，乙和他的冰车质量之和也是 M = 30kg 。游戏时， 甲推着一个质量 m = 15kg 的箱子以大小为 v0 = 2m/s 的速度滑行，乙以同样大小的 速度迎面滑来，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅 速抓住。若不计冰面摩擦，求甲至少要以多大速度（相对于地）将箱子推出，才能 避免与乙相撞？提示甲推箱子过程、乙接箱子过程都服从动量守恒，但由于需要求过程的 中间量，故列全程始末的动量守恒方程不足以解题，而是对以上两作用过程分别列 方程。此外，对于甲和乙不相撞的临界条件（末了的速度相等）挖掘，在本题中也 显得非常重要。3答案5.2m/s 。 【例题 6】如图 5 所示，光滑水平面上停放一个木箱和小车，木箱质量为 m ， 小车和人总质量为 M ，且 Mm = 41 ，人以速率 v 沿水平方向将木箱推出，木 箱被墙壁以原速反弹回来以后，人接住木箱再以同样大小的速度 v 第二次推出木箱， 木箱又被原速反弹，试问：人最多能推几次木箱？ 提示解本题有两种选择 a、人每推一次箱子都是动量守恒的， 逐次列方程得人（和车）的速度经验 公式 vn ，让 vnv 即可； b、可以对人（和车） 、箱子系统用动 量定理，它们所有合外力的冲量就是墙 壁给的冲量，每次为 2mv 。对全程用动量定理即可（末态的临界状况是车和箱子 均具有向右的速度 v） ，规定向右为正方向，方程为：n 2mv = (m + M)v0 。 答案3 次。 评析动量定理和动量守恒既可以平行选择，也可以结合起来解题。对后一种 情形，例子较多，此处略去。单纯的动量问题中，还有一类是涉及相对速度和绝对速度换算的。鉴于此类问 题已从高考考纲中剔除（纳入了奥赛体系） ，因此不宜进行定量应用。二、动量和动力学的综合动量规律（结合能量途径）虽然是相对动力学独立的解题方法，但在解某些特 殊问题时，它并不见得是最佳的方法。譬如在求解作用力时，如果不知道力的作用 时间或作用位移，动量定理和动能定理都会显得力不从心。此时，适时地引进动力 学方法是必要的。 【例题 7】如图 6 所示，在光滑水平面上， 质量为 m1 = 1.2kg 的小车 A 以 v1 = 1.5m/s 的 速率向右运动。在它的正对方向上，另有一 质量为 m2 = 1.0kg 的小车 B 以 v2 = 1.5m/s 的 速率向左运动，B 车的支架上用长 L = 0.2m 的细线悬挂着质量 m3 = 0.5kg 的小球 C ，C 和 B 具有相同的运动速度。若两车相碰后连 在一起运动，求 A 和 B 碰撞完时刻细线的张力（g 取 10m/s2） 。 提示首先，本题涉及到一个重要的常规处理：当三个物体发生两对相互作 用时，如果一对是短促而剧烈的，另一对是舒缓柔和的，应该让“短时作用”完毕 后，再开始“长时作用” 。具体在本题中，认为 A 和 B 碰撞时，C 并不参与；碰完 后，C 维持原速。 其次，C 是相对 A 、B 整体做圆周运动的，故在最低点的圆周运动速度应为相4对速度，而非绝对速度 v2 。 答案11.7N 。 【例题 8】如图 7 所示，平直轨道上有一 节车厢，质量为 M ，车厢以 1.2m/s 的速度向右做匀速运动，某时刻与质量为 m =M1 3的静止的平板车相撞在一起，车顶离平板车 的高度为 h = 1.8m ，车厢项边缘上有小钢球 向前滑出。试问：钢球将落在平板车上何处（空气阻力不计，平板车足够长，g 取 10m/s2）？ 提示本题三个物体之间的作用和“例题 7”有所不同，但车厢和平板车碰 撞时，小球仍不参与。 小球的平抛运动涉及动力学处理，运动的初速度为相对（平板车）速度。 答案离车顶边缘水平距离为 0.18m 。 以上选择的都是动量规律和曲线运动规律综合的例子。事实上，对于系统各个 体相互作用前后的匀变速（直线）运动问题，也是可以和动力学规律综合的。但是， 这类问题也可以选择动能定理求解，所以这里暂不列举。三、动量和能量的综合动量规律和能量规律相辅相成，才能构成一个独立的思想方法，所以，它们的 结合是顺理成章的事。这种结合是有机的、常见的，大致又可以分为三类： 1、和动能定理的综合 动量定理和动量守恒都可以和动能定理结合，这里只是略举一例 【例题 9】如图 8 所示，从倾角为 30、 长 0.3m 的光滑斜面上滑下质量为 2kg 的货 包，掉在质量为 13kg 的静止小车里，若小 车与水平面之间动摩擦因数 = 0.02 ，小 车能前进多远？（g 取 10m/s2） 提示货包和小车的作用满足水平方 向动量守恒。货包和小车作用前、整体作用 后都可以应用动能定理。 答案0.2m 。 2、和机械能守恒定律的综合 动量守恒定律和机械能守恒定律综合包括：和弹性碰撞的综合、和一般的机械 能守恒的综合。 鉴于碰撞过程的能量转化并不是“显而易见”的，故在题目中，对碰撞的性质 一般会有特殊的文字说明。若碰撞是“弹性的” （或说明“无机械能损失” ） ，可以5列动量守恒和动能守恒的方程组，然后得出：=，=1v1212212(mm )v2m v mm 2v2121121(mm )v2m v mm （还有一组解是= v1 ，= v2 ，它只在及其特殊的情形下有意义。 ）1v2v如果某个物理过程，其能量转化的实质和弹性碰撞相同，但又不是严格意义上 的碰撞，以上的结论也可以伸展应用。 至于其它形式的机械能守恒（势能参与转化的） ，自然不能应用上面的定式， 但只要将能量方程因地制宜地加以改变即可。 【例题 10】如图 9 所示，在光滑水平面上 有三个完全相同的小球排列成一条直线。2 、3 小球静止，并靠在一起，1 球以速度 v 射向它们， 设碰撞过程中不损失机械能，则碰后三个小球 的速度可能值是（ ）Av1 = v2 = v3 = Bv1 = 0 ，v2 = v3 =v3v2Cv1 = 0 ，v2 = v3 = Dv1 = v2 = 0 ，v3 = v v 2提示如果单独看动量守恒和动能守恒，几个选项都是成立的。但是，在应 用了弹性碰撞的定式后，就会发现事实并非如此。一个值得注意的细节是：2 球 和 3 球只是“靠在一起” ，而不是相互粘接，故不能视为一个整体，所以，应让 1 和 2 作用完毕后，2 再和 3 作用。 答案D 。 【例题 11】在光滑水平地面上放有一质量为M 的、带圆弧的光滑槽的小车。一个质量为1 4m 的小铁块以速度 v 沿水平槽口滑去，如图 10 所示。试求： （1）铁块能滑至弧形槽内的最大高度 H ； （2）小车的最大速度； （3）铁块从左端脱离小车时的速度。 提示铁块达最大高度时，和弧形槽具有相同的速度，设为 V ，则动量关系为：mv = (m + M)V ，能量关系为：mv2 =(m + M)V2 + mgH 。解此两式即1 21 2可。 结合动力学分析不难得出，只有铁块回到初始高度时，弧形槽才具有最大速度。 由于系统在铁块上升到下降的全程动能是守恒的，故可以直接应用弹性碰撞定式求 第（2） 、 （3）问的结果。6答案（1）H =；（2）v ；（3）v 。2Mv 2(mM)g2m mMmM mM 3、和一般能量关系的综合 机械能不守恒时，广义的能量仍然是守恒的。在教材尚未明确提出这种观点的 前提下，可以根据实际情况慎重地列出能量转化方程。 对能量转化的判断，比较难的仍然是碰撞过程中的机械能损失。需要指出的是， 非弹性碰撞过程都是有机械能损失的（题目会有文字交代） ，但具体损失的数值只 能通过间接的方式求出。一个需要了解的常识：完全非弹性碰撞（碰后连为一个整 体）的机械能损失最多。 涉及到摩擦生热时，有一个非常有用的定式：Q = f滑s相 ，其中 s相系指相对 滑动的路程（而非位移） 。 【例题 12】质量相同的两个小球在光滑水平面上沿连心线同向运动，球 1 的动 量为 7kg m/s ，球 2 的动量为 5kg m/s ，当球 1 追上球 2 时发生碰撞，则碰撞后 两球动量变化的可能值是（ ） Ap1 =1kg m/s ，p2 = 1kg m/s Bp1 = 1kg m/s ，p2 =1kg m/s Cp1 =9kg m/s ，p2 = 9kg m/s Dp1 =12kg m/s ，p2 = 10kg m/s 提示此类型题目具有相当的麻烦程度，一般遵循以下步骤：a