平面解析几何专题四直线与圆的方程及应用第12讲解析几何是江苏高考必考题之一，它包含两个 C 级考点，正常情况下，考一小(填空) 一大(解答)小题常涉及直线方程及应用，圆锥曲线方程及其性质，有一定的计算量；大 题往往与圆有关，涉及到方程，位置关系、定点、定值、定线等圆与圆锥曲线的综合考 查，对数学思想方法要求比较高，能灵活使用待定系数法、定义法等求方程，能用配方法、 换元法等，结合图形将问题进行转化，通过函数、方程、不等式等思想来解决问题 1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的 倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜 率 2. 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适 用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与 一次函数的关系 3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直 4. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能 用解方程组的方法求两直线的交点坐标 5. 掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间 的距离 6. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理 解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化 7. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离)；能根据圆的方程判断 圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含)能用直线和圆的方程解决一些简单 的问题1. 与直线 xy10 垂直的直线的倾斜角为_32.过点(2,1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是_3.直线xym0 与圆 x2y22x20 相切，则实数 m_.34.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2y24 上有且仅有四个点到直线 12x5yc0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是_【例 1】 已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：yx1 被圆 C 所 截得的弦长为 2，求过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程2【例 2】 如图，平面直角坐标系 xOy 中，AOB 和COD 为两等腰直角三角形， A(2,0)，C(a,0)(a0)AOB 和COD 的外接圆圆心分别为 M，N.(1) 若M 与直线 CD 相切，求直线 CD 的方程； (2) 若直线 AB 截N 所得弦长为 4，求N 的标准方程； (3) 是否存在这样的N，使得N 上有且只有三个点到直线 AB 的距离为，若存在，2求此时N 的标准方程；若不存在，说明理由【例 3】 已知圆 C：x2(y3)24，一动直线 l 过点 A(1,0)与圆 C 相交于 P、Q 两点，M 是 PQ 的中点，l 与直线 m：x3y60 相交于点 N. (1) 求证：当 l 与 m 垂直时，l 必过圆心 C； (2) 当 PQ2时，求直线 l 的方程；3(3) 探索的值是否与直线 l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请AMAN说明理由【例 4】 已知椭圆 E：1(ab0)的离心率为，且过点 P(2，)，设椭圆 Ex2a2y2b2222的右准线 l 与 x 轴的交点为 A，椭圆的上顶点为 B，直线 AB 被以原点为圆心的圆 O 所截得的弦长为.4 55(1) 求椭圆 E 的方程及圆 O 的方程； (2) 若 M 是准线 l 上纵坐标为 t 的点，求证：存在一个异于 M 的点 Q，对于圆 O 上的任意一点 N，有为定值；且当 M 在直线 l 上运动时，点 Q 在一个定圆上MNNQ1. (2011安徽)若直线 3xya0 过圆 x2y22x4y0 的圆心，则 a 的值为 _2.(2011重庆)在圆 x2y22x6y0 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为_3.(2011湖北)过点(1，2)的直线 l 被圆 x2y22x2y10 截得的弦长为，则2直线 l 的斜率为_4.(2010江西)直线 ykx3 与圆(x2)2(y3)24 相交于 M，N 两点，若|MN|2，则实数 k 的取值范围是_35.(2011福建理) 已知直线 l：yxm，mR. (1) 若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程； (2) 若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l，问直线 l与抛物线 C：x24y 是否相切？说 明理由6.(2011陕西)如图，设 P 是圆 x2y225 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上投影，M 为PD 上一点，且|MD| |PD|.45(1) 当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；(2) 求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度45(2011南京三模)(本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点 A(4,0)、B(4,0)，动点 P 与 A、B 两点连线的斜率之积为 .14(1) 求点 P 的轨迹方程； (2) 设点 P 的轨迹与 y 轴负半轴交于点 C.半径为 r 的圆 M 的圆心 M 在线段 AC 的垂直平分线上，且在 y 轴右侧，圆 M 被 y 轴截得的弦长为r.3 求M 的方程； 当 r 变化时，是否存在定直线 l 与动圆 M 均相切？如果存在，求出定直线 l 的方程； 如果不存在，说明理由解：(1) 设 P(x，y)，则直线 PA、PB 的斜率分别为 k1、k2.(2 分)yx4yx4由题意知 ，即1(x4)yx4yx414x216y24所以动点 P 的轨迹方程是1(x4)(4 分)x216y24(说明：没有范围扣 1 分)(2) 由题意知 C(0，2)，A(4,0)， 所以线段 AC 的垂直平分线方程为 y2x3.(6 分) 设 M(a,2a3)(a0)，则M 的方程为(xa)2(y2a3)2r2.圆心 M 到 y 轴的距离 da，由 r2d22，得 a .(3r2)r2所以M 的方程为2(yr3)2r2.(10 分)(xr2) 假设存在定直线 l 与动圆 M 均相切 当定直线的斜率不存在时，不合题意 当斜率存在时，设直线 l：ykxb，则r 对任意 r0 恒成立(12 分)|k r2r3b|1k2由r，|(k21)rb3|1k2得2r2(k2)(b3)r(b3)2(1k2)r2.(k21)所以Error! 解得Error!或Error! 所以存在两条直线 y3 和 4x3y90 与动圆 M 均相切(16 分)第 12 讲 直线与圆的方程及应用1. 已知实数 x，y 满足 2xy50，那么的最小值为_x2y2【答案】 52. 圆 x2y21 与直线 kxyk0(kR 为常数)的位置关系是_ 【答案】 相交 3. 若直线 yxb 与曲线 y3有公共点，则 b 的取值范围是_4xx2【答案】 12，3 解析：本题考查数形结合思想. 曲线方程可化简为(x2)22(y3)24(1y3)，即表示圆心为(2,3)半径为 2 的半圆，依据数形结合，当直线yxb 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线 yxb 距离等于 2，解得 b12或212，因为是下半圆故可得 b12，当直线过(0,3)时，解得 b3，故 12b3.2224. 已知圆 M：x2(y2)21，Q 是 x 轴上的动点，QA，QB 分别切圆 M 于 A，B 两 点(1) 如果|AB|，求直线 MQ 的方程；4 23(2) 求动弦|AB|的最小值 解： (1)设 Q(q,0)， 因为 M(0,2)，所以|MQ|，而|MA|r1，q222q24从而在 RtAMQ 中，|AQ|.|MQ|2|MA|2q241q23又由题意和对称性可得，RtAMQ 斜边 MQ 边上的高为 h |AB|.122 23由等面积法得，解得 q，所以 Q(，0)，2 23q24q2355将 M，Q 的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线 MQ 的方程为 2xy20.55(2) 由(1)知，利用等面积法得 |AB| |AB|，从12q24q2312q23q2411q24而当 q0 时，动弦|AB|取到最小值.35. (2011盐城二模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 由圆弧 C1和圆弧 C2 相接而成，两相接点 M、N 均在直线 x5 上圆弧 C1的圆心是坐标原点 O，半径为 13； 圆弧 C2过点 A(29,0) (1) 求圆弧 C2的方程； (2) 曲线 C 上是否存在点 P，满足 PAPO？若存在，指出有几个这样的点；若不30存在，请说明理由； (3) 已知直线 l：xmy140 与曲线 C 交于 E、F 两点，当 EF33 时，求坐标原点 O 到直线 l 的距离 解：(1) 圆弧 C1所在圆的方程为 x2y2169，令 x5，解得 M(5,12)，N(5，12) 则线段 AM 中垂线的方程为 y62(x17)， 令 y0，得圆弧 C2所在圆的圆心为 O2(14,0) 又圆弧 C2所在圆的半径为 r2291415， 所以圆弧 C2的方程为(x14)2y2225(x5) (2) 假设存在这样的点 P(x，y)，则由 PAPO，得 x2y22x290.30由Error! 解得 x70(舍)， 由Error!解得 x0(舍)， 综上知，这样的点 P 不存在(3) 因为 EFr2，EFr1，所以 E、F 两点分别在两个圆弧上设点 O 到直线 l 的距离 为 d， 因为直线 l 恒过圆弧 C2所在圆的圆心(14,0)，所以 EF15，132d2142d2即18，解得 d2，所以点 O 到直线 l 的距离为.132d2142d21 615161 6154基础训练1. 2. x2y0 或 xy30 3. 或33334. (13,13) 解析：圆的半径为 2，圆心(0,0)到直线 12x5yc0 的距离小于 1，即1，c 的取值范围是(13,13)|c|13例题选讲 例 1 解：由题意可设所求的直线方程为 xym0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：22(a1)2，解得 a3 或1，又因为圆心在 x 轴的正半轴上，所以 a3，(|a1|2)故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有 30m0，即 m3，故 所求的直线方程为 xy30. 例 2 点拨：直线与圆相交的问题，要利用图形转化为圆心到直线的距离问题 解： (1) 圆心 M(1.1) 圆 M 方程为(x1)2(y1)22， 直线 CD 方程为 xya0. M 与直线 CD 相切， 圆心 M 到直线 CD 的距离 d，化简得：a2(舍去负值)|a|22 直线 CD 的方程为 xy20.(2) 直线 AB 方程为：xy20，圆心 N.(a2，a2) 圆心 N 到直线 AB 距离为.|a2a