清华大学的高校特色考试满分 400 分，分为 4 个部分。第一部分是 4 道数学题（各 25 分） ； 第二部分是 4 道物理题（分别为 20、30、35、15 分） ；第三部分是与太湖水污染相关的理 科综合题，共有 5 问，涉及数学、物理、地理、化学、生物多个方面；第四部分是“趣味题” ，分两问，是物理背景下的数学题。以下是回忆出的部分试题。 第一部分第一部分 1. 求值：(sin10)4 + (sin40)4 + (sin70)4 2.长为 L（L 为整数）的木棒可以锯成长为整数的两段，要求任何时刻所有木棒中的最长者 长度严格小于最短者长度的 2 倍。例如长为 4 的木棒可以锯成 22 两段，而长为 7 的木棒 第一次可以锯成 34，第二次可以再将长为 4 的木棒锯成 22，这时 223 三段不能再 锯。问：长为 30 的木棒至多可以锯成多少段？ 3. 将数轴上的每个点用 N 种颜色之一染色，要求任意距离为 1、根号 2 或 根号 5 的两点 不同色。求 N 的最小值。 4. 12 个人玩一个游戏，游戏开始后每个人被随机的戴上红、黄、蓝、绿四种颜色之一的帽 子，每个人可以看到其余 11 个人帽子的颜色，但不能看到自己帽子的颜色，游戏开始后 12 个人不能再交流，并被要求猜出自己帽子的颜色。请为这 12 个人在游戏前商定一个方 案，使得他们同时同时猜对自己头上帽子颜色的概率尽可能大。第二部分第二部分 1. 半径为 R 的光滑的半球体倒扣着固定在水平桌面上。一质量为 m 的小球从半球体的最 高点处自由下滑。 (1) 求小球下落到桌面时的速度。 (2) 若小球与桌面碰撞后不反弹，求桌面对小球的冲量。 （笔者注：注意小球中途会脱离半球体，要分两段讨论，最后的表达式挺复杂的） 2. 热学中的气体问题（没做） 3. （图略）球心在原点处的半径为 R 的半球均匀带电Q。半球位于第二、三象限。 (1) 求球心 O 处的电势。 (2) 求 y 轴上的点 A(0,y) 处的电势。 (3) 设 x 轴上的点 P(-x,0) (x0)，已知 P(x,0) 点的电势 U，求 P 点电势。 4. 一根光纤（认为是透明圆柱）从端面斜射入一束光线，问满足怎样的条件才能在光纤中 传播？（大意如此） 如果光纤的直径小于 1nm，还成立吗？（笔者认为会出现干涉、衍射就不行了）第三部分第三部分 太湖水污染问题。前两问是数学题，需要球缺体积公式和比较复杂的运算（没有计算器） ； 第三问是生化题；后两问仍然是数学题，需要指数函数的知识。 1. 给出太湖的吴淞标高 3m，平均水位 1.8m，水面面积 2500 万平方米，将太湖视为一个 标准的球缺，求太湖最深处的水深。 （10 分） 2. 给出太湖流域面积(km2)，降水量 1100mm，蒸发量 1000mm，径流系数 37，流出水 量(m3)，忽略其他因素，已知年初水位，求年底水位。 （15 分） 3. 用生物、化学知识解释太湖中氮、磷的循环。 （30 分） 4. 给出 2007 年初、年末太湖污染物浓度，进出太湖污染物的浓度（后面忘了） 5. 设太湖净化污染物的速率 v = k*LN，其中 K 为已知的常数，LN 为污染物的浓度。要求2007 年底太湖污染物浓度不大于 0.2mg/L，求全年允许排入太湖的污染物的量。 （题意没琢 磨清楚）第四部分第四部分 一、空间直角坐标系中，研究小球的斜抛运动落点。小球从原点发射，重力方向沿 z 轴负 方向，落点在 xOy 平面上。给定小球的初始速度 v，初速度方向与 xOy 平面的夹角 A ， 初速度在 xOy 平面上的投影与 x 轴的夹角 B。 1. 求小球落点的坐标。 2. 若角度 2A+B=90 度，求落点的轨迹方程，并画出示意图。 3. 若小球落在 xOy 平面上以点 (s,0) 为中心、以 2l 为边长的正方形区域内，求角度 A、B 应满足的关系。二、用长为 l 的火柴棍（看成线段）完全随机地投在 间距为 d 的互相平行的若干直线上 （平行线足够多） 。 1. 求火柴棍与平行线相交的概率。 2. 若使得这个概率趋近于 圆周率 pi，求 l 与 d 的比值。 笔者注：原题中用 N(cross)/N(all)表示概率，并给了两个积分表达式。不过我有一个非常巧 妙的办法：考虑曲线与平行线的交点个数的期望值。首先证明，任意曲线与平行线交点个数的期望值 正比于曲线长度。将曲线分割成长度相等的足够多份，使每一份足够短到可以看成线段， 这样每条长度相同的小线段与平行线交点个数的期望值是一定的。根据期望的可加性，曲 线的期望值等于各条小线段期望值之和，这样曲线的期望值正比于小线段的条数，亦即曲 线的长度。我们考虑半径为 d/2 的圆，这个圆无论如何放置都与平行线恰有两个交点，因此长度为 pi*d 的曲线与平行线交点个数的期望值为 2。因此，根据前面成正比的定理，长为 l 的 线段与平行线交点个数的期望值为 2l / (pi*d).当 ld 时，线段与平行线至多有 1 个交点，因此有交点的概率就是期望值 2l / (pi*d).当 l=d 时，虽然有可能恰有两个交点，但其概率为零，故有交点的概率为 2 / pi.（部分试题记忆不清，欢迎读者共同讨论完善）