(二)平面立体上点、线、面的投影求作平面立体表面上点(或线)的投影，实质上就是在平面上取点作线的问题。由于平 面立体的棱面皆是平面多边形，因此，在具体作图时，把立体各棱面看成相对独立的平面，就可应用第二章第四节中求取平面中点、线的投影的方法解题。这其实就是问题简化的过 程将求取立体表面点的投影转化为求取平面上点的投影，然后再继续转化为求取直线 上点的投影的问题但由于平面立体的各棱面存在着相对位置的差异，必然会出现投影的相互重叠，从而产 生可见与不可见的问题，因此，对处于不同表面上点(或线)的投影，还要进行可见性的判 定，并对其投影进行标示。 【例 4-l】 已知三棱柱的三面投影及其表面上的点 M 和点 N 的 V 面投影 m和 n ， 请补全点 M 和点 N 的投影(图 4-4)。a a b ( (n n ) )a a b b a ab bc cc c a a ( (c c ) )a a c c ( (c c ) )b b b b a a a ab b ( (n n ) )a a b b c c a a ( (c c ) )n n y ymmmm mm c c c c mma a ( (c c ) )b b b b mm n nb by ymm分析：根据已知条件，M 点必在三棱柱右前侧的棱面上(因 m可见)，而 N 点必在三 棱柱的后倾棱面上(因 n不可见)。作法如下。(1)由于棱柱各棱面的 H 面投影具有聚积性，所以点 M 与点 N 的 H 面投影一定落在 对应棱面的聚积投影上，分别经过点“m和点 n向下作铅垂线，与棱面聚积投影的交点 就是 两点的 H 面投影 m 和 n。(2)按投影规律求出这两点的侧面投影 m”和 n” 。 如图 4-4(b)所示，在求取点 M 的 w 面投影时，可以不借助 45。线，而是通过量取点的相 时距离的方法求解。【例 42】 已知五棱锥的两面投影及其表面上折线 MKN 的 V 面投影图 4-5(a)，补 全五棱锥及折线的投影。分析：根据题中所给出的投影可知：点 M 和点 N 分别位于五棱锥的 SAB 和 SBC 棱面 上，这两个棱面都足一般位置的半面，就需要在棱锥的棱面上作出过已知点的辅助线，然 后 再求出辅助线上该点的投影，也就是一般位置平面上定点的方法。作法如下。(1)补全五棱锥的投影图 4-5(b)。本例题中仍然运用量取距离差的方法确定五棱 锥各顶点的投影。选定点 s 为基准点，定出点 s”的位置，然后在 H 面中量取各顶点的 H 面 投影相对于点 s 的前后距离差(OY 轴上的距离差)，按照各顶点相对于点 s 的位置确定各 点的 W 面投影。在 W 面中侧面 SAB 将侧面 SBC 遮挡住，侧面 SAE 侧面 SCD 遮挡住， 这两组侧面的投影重合；侧面 ADE 足一个侧垂面，在 W 面中聚积成一条直线。(2)利用过 K 点且平行于底边的直线为辅助线求点 K 的投影图 45(c)。点 K 在侧棱 SB 上，根据点的投影特征，作出点 K 的 W 面投影 k” 。s s mm k k n n a a e e b b d d c c s s mm k k n n a a e e b b d d c c s s e e d d a a c c b b y y1 1y y2 2e ed da as sc cb ba ae ed ds sy y3 3b bc cy y2 2y y1 1y y3 3s s 2 2 mm k k n n 3 3 1 1 a a e e b b d d c c e e d d a a c c b b n n k k mm 2 2 e ed ds s 2 2a ammk kn n 3 31 1c cb b在 V 面中，经过点 k 作底边投影 bc的平行线，与 sc交于点 1 。作出点 l 的 H 面投影点 l，经过点 1 作 bc 的平行线，与 sb 的交点就是点 K 的 H 面 投影 k。(3)利用直线的延长线补全点 M 的投影图 45(c)。延长 km ，与侧棱投影 sa交于点 2 。作出直线 K的 H 面投影和 W 面投影，根据直线上点的投影求取方法求出点 M 的 其它投影。 ， 这种方法似曾相识，其实在例 29中求平面内直线 MN 的投影就采用了这种 方法，如果还是看不明白，你可以将侧面 sAB 和直线 KM 的投影提取出来，单独考虑。 (4)利用经过棱顶的直线求点 N 的投影图 45(c)。连接 sn ，并延长，与底棱 b，c， 交于点 3 。 作出直线 S的 H 面投影，经过点 n向下作铅垂线与 s3 的交点即点 N 的 H 面投 影 n。 利用量取相对距离差的方法，可以求出点 N 的 W 面投影 n 。 (5)连线，判断可见性。在 H 面中各个侧面都是可见，在侧面 SAB 和 sBC 上直线 MK 和 KN 的投影也都是可见的。在 W 面中由于侧面 SBC 被 SAB 所遮挡，所以直线 KN， 是不可见的，所以 kn”应该为虚线图 45(c)。 (二)曲面立体上点、线的投影由于曲面立体是由平面与曲面组成的，所以其上的点或线可能位于平面上，也可能 位于 曲面之上。平面上的点、线投影的求取比较简单，前面已经做了介绍，曲面上的点、线投影 的求取就需要结合曲面的特征加以分析研究。与回转面相同，回转体也就可以利用素线法或者纬圆法求取曲面上的点、线的投影。 下面通过例题介绍曲面立体上点、线投影的求取方法。 已知圆锥的三面投影以及圆锥上一点 K 的 V 面投影图 47(a)，根据已知 条件补全点的投影。 图 47(b)对应的是素线法，图 47(c)对应的是纬圆法，具体作法参照曲面上点、k k k k l l ( (k k ) )y yk k ( (k k ) )k ky yk k l l线投影的求作方法。需要注意的是绘制出点的投影之后，不要忘记判定点的投影的可 见性。 例如图中点 K 的 W 面投影 k”是不可见的。【例 4-4】 已知球体的投影及其上一条曲线的 V 面投影，补全曲线的投影。分析：如图 48 Ca)所示，曲线所在的平面垂直于 V 面，在 V 面聚积成一条直线， 曲 线最低和最高点分别为点 A 和点 B，这两点将曲线分为前半部分(位于前半球上)和后 半 部分(位于后半球上)。除此之外还有曲线与水平轮廓素线的交点点 C、点 C1，将曲线 分为 上半部分和下半部分；曲线与侧平轮廓素线的交点点 D、点 D1，将曲线分为左半部分和右 半部分。仅有这些特殊点还不够，还需要再取几个中间点，这样才能够准确的绘制曲 线的投 影。具体作法如图 4-8(b)。 作法如下。 (1)求特殊点的投影点 A 和点 B 是曲线与正平轮廓素线的交点，在 H 面和 W 面中这条素线都是聚 积的， 所以根据聚积投影就可以确定点 A 和点 B 的投影。点 C、点 C1 是曲线与水平轮廓素线的交点，两点前后对称。点 C、点 C1 的 H 面投c c ( (c c1 1 ) )b b ( (d d1 1 ) )d d a a c c ( (c c1 1 ) )b b ( (d d1 1 ) )d d a a R R1 1R R3 3R R2 2 a af f c ce eb be e1 1c c1 1 f fd d1 1a aR R2 2e e e e1 1 R R3 3R R1 1f f f f1 1 e e1 1 c c1 1 f f1 1 d d1 1 a a d d f f c c e e b b 影就是经过点 c 、点 c：重影点的铅垂线与球体 H 面投影的交点。利用量取距离差的 方法， 求得这两个点的 w 面投影。点 D 和点 D1 是曲线与侧平轮廓素线的交点，利用纬圆法可以得到这两点的 H 面投 影，W 面投影就是经过这两个点在 V 面中的重影点作水平线，与球体的 W 面投影的 交点。 (2)求一般点的投影 在曲线 V 面投影上取一个点(其实是一对重影点)点 E 和点 E1 的重影。利用纬圆法可以得到这对重影点的 H 面投影，利用量取距离差的方法能够得到它们的 w 面 投影。 同法作出点 F 和 F1 这对重影点的投影。 (3)连接曲线，判定可见性在 H 面中，曲线位于上半球的部分可见，而位于下半球的部分不可见。所以曲 线的 H 面投影以点 C 和点 C1 为分界点，右边的弧线为实线，左边的弧线为虚线。在 W 面中，曲线位于左半球的部分可见，而位于右半球的部分不可见。所以曲 线的 W 面投影以点 D 和点 D1 为分界点，上边的弧线为虚线，下边的弧线为实线。根据上面的例题，可以总结出求取曲面立体表面点、线投影的作图步骤。 (1)根据投影图判定立体的形态、位置，确定立体的主要轮廓素线的位置。(2)根据已知投影判断点或直线的位置，利用素线法或者纬圆法求出投影。当求解 曲线 的投影时，应该先求出特殊位置上点的投影，如轮廓素线上的、投影面垂直面上的点 等，然 后再求取一般位置点的投影，连接成线。 (3)根据点、线所在的位置判定可见性。