21NMFEDBCA等边三角形的解题方法等边三角形的解题方法1等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内 角都相等，并且每一个角都等于 60等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底 边上的高、中线所在直线； 2等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是 等边三角形；有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形； 3在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半， 反之也成立 【例 1】如图，DAC 和EBC 均是等边三角形，A、C、B 三点在一条直线 上AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N(1)求证：ACEDCB;(2)求AFD 的度数；(3)判断CMN 的形状【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题 解：(1)等边三角形 DAC 与等边三角形 EBC ACDC，CECB，ACDBCE60 ACEDCB在ACE 和DCB 中，ACEDCB CBCEDCBACEDCAC(2) ACEDCB, 12 又1DFA2ACD AFDACD60(3) 在ACM 和DCN 中, 6012DCNACMDCACACMDCN CMCN 又DCN 60CMN 是等边三角形 【变式题组】 01(天津)如图，P、Q 是ABC 的边 BC 上的两点，且 BPPQQCAPAQ， 则BAC 的大小等于_ 度 02(荆州)如图，D 是等边ABC 的边 AB 上的一动点，以 CD 为一边向上作等边EDC，连接 AE，找出图中的一组全 等三角形，并说明理由CQPBAEDCBAE PQDCABEPQDCAB03如图，在正ABC 中，D,E 分别是 BC、AC 上的一点，且 AECD AD 与 BE 相交 于点 P，且 BQAD 于 Q求证 BP2PQ04(黄冈)如图，过边长为 1 的等边ABC 的边 AB 上一点 P，作 PEAC 于 E，Q 是 BC 延长线上一点，当 PACQ 时，连接 PQ 交 AC 于 D，求 DE 的长【例 2】P 是ABC 内一点，PBC30，PBA8，且PABPAC22， 求APC 的度数 【解法指导】 由于PAB PAC,因而 PA 平分BAC,根据角平分线的特点可构造 全等三角形，其方法一：在 AB 边上截取；方法二：延长 AC 边，又由于BPA150是 特殊角，考虑BPA 的完整性，因而取方法二的可能性更大 解：延长 AC 到 D，使 ADAB，连接 PD、BD,PBA8PAB 22BPA150，在ABP 和ADP 中， APAPDAPBAPADABABPADP APBAPD 150，BPDP ,PBAAPD 8BPD60, BPD 是正三角形 PBC30 PBCDBC在PBC 和DBC 中， BCBCDBCPBCBDBPPBCDBC , PCCD CPDCDP8 APCAPD 一CPD150一 8142 【变式题组】 01如图，D 是等边三角形 ABC 内一点，E 为 ABC 外部一点， 满足 DADB，BEBA，DBEDBC求BED 的度 数PCBADPCBAED CAB02如图D 是ABC 外一点ABACBDCD，ABD60求ACD 的度数【例 3】如图(1)，ABC 等边三角形，BDC 是顶角 120的等 腰三角形，以 D 为顶点作 60的角，它的两边分别与 AB、AC 交于点 M 和 N，连接 MN (1)探究：MN、NC 之间的关系，并加以证明; (2)若点 M、N 分别在射线 AB、CA 上，其他条件不变，再探究线段 BM、MN、NC 之 间的关系，在图(2)中画出相应的图形并就结论说明理由【解法指导】对于(1)，这时在DMB 中，有DBMDBCCBA3060 90 为了把 BM，MN，NC 集中到一个三角形中去，将DMB 绕 D 点顺时针旋转 120得 到DGC如图(3)从而有 MBGC而此时恰又有MNDGND得 MNNGNCCGNCBM对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以 推得 MNCN 一 BM解(1)关系为 MNBMNC证明：延长 AC 到 G，使 CGBM，连接 DG，如图(3)ABDABCCBD60十 3090同理也有ACD90在DMB 和DGC 中； DBDCBMCGDMBDGC DMDGMDBGDC在MND 和GND 中，ND 公用，DMDG，MDN60GDNGDCDCNMDBCDN60MNDGND MNGNGC 十 NCBMNC(2)此时图形如图(4)，有关系式 MNCNBM 理由如下：在 CN 上截取 GGBM连接 DG，如图(4)与(1)中情况类似可推得ABDACD90且 RtDMBDGC ，得 DMDGMDBGDC 仍与(1)中情况娄似，可推得MNDGND就有 MNGNNCCGNCBM 【变式题组】 01用两个全等的等边三角形ABC 和ACD 拼成四边形 ABCD，把一个含 60角的三角 尺与这个四边形叠合，使三角尺的 60角的顶点与点 A 重合两边分别与 AB、AC 重 合，将三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转DCAB(1)NMDCBA(2)DCBA(3)NMGDCBA(4)NMGDCBA(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边 BC、CD 相交于点 E，F 时，(如图 1)，通过观 察或测量 BE，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论； (2)当三角尺的两边分别与四边形的两边 BC、CD 的延长线相交于点 F 时(如图 2)，你 在(1)中得到的结论还成立吗，简 要说明理由02如图四边形 ABCD 中，ABAD，BAD60，BCD120 求证：ACBCDC练习练习01如图ABC 是等边三角形，ADBC，点 E 在 AC 上，且 AEAD，则DEC( )A 105 B 85 C 95 D 75DCBABEDCABEDCA第 1 题图 第 2 题图 02如图，等边ABC，D 在 AC 上，延长 BC 到 E使 CECD，若 BDDE，给出下列结论： BD 平分ABC AD AB CE BC A2E，其中正确结21 21论的个数是( ) A4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 03(河北)如图，等边ABC 的边长为 1cm，D、E 分别是 AB、AC 上的点，将ABC 沿 直线 DE 折叠，点 A 落在 A处，且 A在ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 _ cm04在等边ABC 中，AC9，点 O 在 AC 上，且 AO3，点 P 是 AB 上一动点，连接 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60，得到线段 OD，要使点 D 恰好落在 BC 上， 则 AP_ 05如图，ABC 是等边三角形，D、E、F 分别在 AB、BC、AC 上，且DEBC，EFAC，FDAB，试判断DEF 是否为等边三角形，并说明理由06请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图 中画出分割线，并标出必要的角的度数) 07如图，点 D 是等边ABC 边 AB 上的一点AB3AD，DEBC 于点 E，AE、CD 相 交于点 F (1)求证：ACDBAE： (2)过点 C 作 CGAE，垂足为点 G，探究 CF 与 FG 之间的数量关系，并证 明EDBFCAODBPCADEBFCA第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图08如图：ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上的点，将线段 DB 绕点 D 顺时针旋转 60 得到线段 DE，延长 ED 交 AC 于点 F，连接 DC，AE 求证：ADEDFC09如图：ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 CA、AB 的延长线上， ADBEDB 的延长线交 EC 于 F 求证：(1)DBEC；(2) BFC6010(常德)如图 1，若ABC 与ADE 为等边三角形，M、N 分别是 EB、CD 的中点，易 证：CDBE，AMN 是等边三角形(1)当把ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时，CDBE 是否仍然成立? 若成立请证明，若 不成立请说明理由；(2) 当ADE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时，AMN 是否还是等边三角形? 若成立请证明， 若不成立请说明理由F EDBCAFEDCBA(2)EDBNMCA(1)