12.6 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差2014 高考会这样考 1.考查离散型随机变量的均值与方差的概念；2.利用均值、方差解决一些实际问题复习备考要这样做 理解随机变量的均值、方差的意义、作用，能解决一些简单的实际问题1 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X 的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称 D(X) (xiE(X)2pi为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)ni1的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量 X 的标准差DX2 均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b 为常数)3 两点分布与二项分布的均值、方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)_p_，D(X)p(1p)(2)若 XB(n，p)，则 E(X)_np_，D(X)np(1p)难点正本 疑点清源1 对均值(或数学期望)的理解(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均(2)E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即 X 作为随机变量是可变的，而 E(X)是不变的，它描述 X 值取值的平均状态(3)公式 E(X)x1p1x2p2xnpn直接给出了 E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加由此可知，求出随机变量的数学期望关键在于写出它的分布列2 方差的意义D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明 X的取值越分散，反之 D(X)越小，X 的取值越集中，由方差定义知，方差是建立在期望这一概念之上的在 E(X)附近，统计中常用来描述 X 的分散程度DX1 若随机变量 的分布列如下表，则 E()的值为_.012345P2x3x7x2x3xx答案 209解析 根据概率之和为 1，求出 x，118则 E()02x13x5x40x.2092 (2011浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为 p，且三个23公司是否让其面试是相互独立的，记 X 为该毕业生得到面试的公司个数若 P(X0)，则随机变量 X 的数学期望 E(X)_.112答案 53解析 由题意知 P(X0) (1p)2，p .1311212随机变量 X 的分布列为X0123P1121351216E(X)01 23 .1121351216533 某射手射击所得环数 的分布列如下：78910Px0.10.3y已知 的期望 E()8.9，则 y 的值为( )A0.4 B0.6 C0.7 D0.9答案 A解析 由Error!可得 y0.4.4 已知 X 的分布列为X101P121316设 Y2X3，则 E(Y)的值为( )A. B4 C1 D173答案 A解析 E(X)(1) 0 1 .12131613E(Y)2E(X)323 .(13)735 设随机变量 XB(n，p)，且 E(X)1.6，D(X)1.28，则( )An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45答案 A解析 XB(n，p)，E(X)np1.6，D(X)np(1p)1.28，Error!题型一 离散型随机变量的均值、方差例 1 (2012湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量 XX3)1.1615206421321561642132题型三 均值与方差的应用例 3 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资 10 万元，一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别为 、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整161213中，价格下降的概率都是 p(01.18，整理得(p0.4)(p0.3)1.75，则 p 的取值范围是( )A. B.(0，712)(712，1)C. D.(0，12)(12，1)答案 C解析 由已知条件可得 P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2，则 E(X)P(X1)2P(X2)3P(X3)p2(1p)p3(1p)2p23p31.75，解得 p 或 p0，也就是 a，b 必须同号，b2aba 的分布列为012P134929E()0 1 2 .134929893 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为 2，则 的最小值为 ( )2a13bA. B. C. D.323283143163答案 D解析 由已知得，3a2b0c2，即 3a2b2，其中 0a ，0b1.23又 2a13b3a2b2(2a13b)3 2，当且仅当，即 a2b 时取“等号” ，又132baa2b1032baa2b1632baa2b3a2b2，即当 a ，b 时， 的最小值为，故选 D.12142a13b163二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)4 罐中有 6 个红球，4 个白球，从中任取 1 球，记住颜色后再放回，连续摸取 4 次，设 为取得红球的次数，则 的期望 E()_.答案 125解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为 ，连续摸354 次(做 4 次试验)， 为取得红球(成功)的次数，则 B，(4，35)从而有 E()np4 .351255 签盒中有编号为 1、2、3、4、5、6 的六支签，从中任意取 3 支，设 X 为这 3 支签的号码之中最大的一个，则 X 的数学期望为_答案 5.25解析 由题意可知，X 可以取 3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，1C3 6120C2 3C3 6320P(X5)，P(X6) .C2 4C3 6310C2 5C3 612由数学期望的定义可求得 E(X)5.25.6 设 l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取2，0， ， ，2，用 表示坐标原点到 l 的距离，则随机变量 的23525232数学期望 E()_.答案 47解析 当 l 的斜率 k 为2时，直线 l 的方程为2xy10，此时坐标原点到 l 的距22离 d ；当 k 为时，d ；当 k 为时，d ；当 k 为 0 时，d1，由古典概型的概率133125223公式可得分布列如下：1312231P27272717所以 E() 1 .1327122723271747三、解答题7 (13 分)(2012课标全国)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n(单位：枝，nN)的函数解析式(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量 n14151617181920频数10201616151310以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求 X 的分布列、数学期望及方差若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由解 (1)当日需求量 n16 时，利润 y80.当日需求量 n16 时，利润 y10n80.所以 y 关于 n 的函数解析式为yError!(nN)(2)X 可能的取值为 60,70,80，并且 P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X 的分布列为X607080P0.10.20.7X 的数学期望为 E(X)600.1700.2800.776.X 的方差为 D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.方法一 花店一天应购进 16 枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进 17 枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么 Y 的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y 的数学期望为 E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y 的方差为 D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)D(Y)，即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然 E(X)E(Y)，但两者相差不大故花店一天应购进 16 枝玫瑰花方法二 花店一天应购进 17 枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进 17 枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么 Y 的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y 的数学期望为 E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)E(Y)，即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16枝时的平均利润故花店一天应购进 17 枝玫瑰花