1垂足三角形设点 P 是所在平面上任意一点，过点 P 分别作直线 AB、AC、BC 的ABC 垂线，垂足分别为 D、E、F，则这三点不共线时构成的称为的由DEFABC 点 P 确定的 1 阶垂足三角形垂足三角形（简称垂足三角形垂足三角形） ，的由点 P 确定的 1 阶DEF 垂足三角形称为的由点 P 确定的 2 阶垂足三角形垂足三角形，类似地，可以定义ABC 的由点 P 确定的 n 阶垂足三角形垂足三角形。ABC当点 P 恰为的垂心（三条垂线的交点，为什么三角形的三条垂线交ABC 于一点？）时，又叫做的垂三角形垂三角形。DEFABC定理 1. 的垂三角形垂三角形是周长最小的内接三角形。ABCDEF定理 2. 相似于它的 3 阶垂足三角形。ABCFDECAB2定理 3. （Simson 线定理）由点 P 确定的垂足三角形是退化的ABCDEF （即 D、E、F 三点共线）当且仅当点 P 在的外接圆上。ABC定理 4. 由点 P 确定的垂足三角形的面积是一个给定的值 S 当ABCDEF 且仅当点 P 在的外接圆的某一个同心圆上。ABC2012-5-1p 阶子群（元）的存在性设 G 是有限群，|G| = n, p|n，p 是质数，下面证明 G 存在 p 阶元，从而有 p 阶子群。令，则显1212(,.,)|.,G,1,2,., ppiSa aaa aae eaG ip是的单位元，然 S 不空（） 。考虑S（e, e, . . . , e），这 p 个有序元素组如果有 2 个相1223111(,.,),(,.,),.,(,.,)ppppa aaa aaaaaa等，则一定导致全部元素均相等，从而，S 被分类为若干这样 p 个不同的循环有序元素组组成的子集与一元子集。注意到 S 中的每一个元素都可以( , ,., )a aa通过在 G 中选择 p-1 个元素来确定，于是共有个元素，因而如果有一元子1pn集，则一定有 p 的倍数个，说明这样的元素是存在( , ,., )a aaS（e, e, . . . , e）的，并且出去外均确定一个 p 阶元，这同时证明了 p 阶元的个数（e, e, . . . , e）。( )1(mod)n pp 设是轮换，则可以(12)pL1223111(,.,),(,.,),.,(,.,)ppppa aaa aaaaaa表示为，如果有11112(1)(2)( )(1)(2)( )(,.,),(,.,),.,(,.,)ppppppa aaaaaaaa，则(1)(2)( )(1)(2)( )(,.,)(,.,),1mmmnnnppaaaaaamnp，即(1)(1)(2)(2)( )( ),.,mnmnmnppaaaaaa，若设，有1122,.,mnmnp mp naaaaaanmt1122,.,mm tmm tp mp m taaaaaatp 由（t，p）=1，可以得到以上元素均相等，但还没有一个很直观的理解方式！32012-5-2Fermat 素数与 Mersenne 素数形如的素数称为 Fermat 素数，形如的素数称为 Fermat 素数，对21n21n这两类素数而言，前者要求，后者要求 n 是素数。2mn 证明思路就是考虑如果条件不满足，则 2 个式子将可以分解因式，这需要 对 2 个公式有自觉的反应：若，则，npq122121(2 )1(21)(2 )(2 )21)npqpqppqpqp L矛盾。 若 n=pq，其中 q 是一个奇数，则，矛盾，于是。122121(21)(2 )(2 )21)npqppqpqp L2mn 注意：思路似乎是简单的，但要依赖整体清晰的思路以及对其中所涉及的 2 个因式分解。 J. S. Gauss 曾证明，一个可以尺规作图的正多边形的边长一定是一个 Fermat 数。2012-5-3