第第 13 讲讲 鸡鸡兔同兔同笼问题笼问题与假与假设设法法鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。 许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。例 1 小梅数她家的鸡与兔，数头有 16 个，数脚有 44 只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？分析：假设 16 只都是鸡，那么就应该有 21632（只）脚，但实际上有 44 只脚，比假设的 情况多了 44-3212（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的 兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了 2 只。因此只要算出 12 里面有几个 2，就可以求出兔的只数。 解解：有兔（44-216）（4-2）=6（只），有鸡 16-610（只）。答：有 6 只兔，10 只鸡。当然，我们也可以假设 16 只都是兔子，那么就应该有 41664（只）脚，但实际上有 44 只脚，比假设的情况少了 644420（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每 换一只，头的数目不变，脚数减少了 4-22（只）。因此只要算出 20 里面有几个 2，就可以求 出鸡的只数。有鸡（416-44）（4-2）=10（只），有兔 16106（只）。由例 1 看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也 可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。 例例 2 100 个和尚 140 个馍，大和尚 1 人分 3 个馍，小和尚 1 人分 1 个馍。问：大、小和尚各有多少人？ 分析与解分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作 鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设 100 人全是大和尚，那么共需馍 300 个，比实际多 300140160（个）。现在以小和 尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少 312（个），因为 160280，故小和尚有 80 人，大和尚有1008020（人）。同样，也可以假设 100 人都是小和尚，同学们不妨自己试试。在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。 例例 3 彩色文化用品每套 19 元，普通文化用品每套 11 元，这两种文化用品共买了 16 套，用 钱 280 元。问：两种文化用品各买了多少套？ 分析与解分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有 1 个头 11 只脚，一种“怪兔”有 1 个头 19 只脚，它们共 有 16 个头，280 只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。假设买了 16 套彩色文化用品，则共需 1916304（元），比实际多 30428024（元）， 现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用 19118（元），所以买普通文化用品 248=3（套），买彩色文化用品 16313（套）。 例例 4 鸡、兔共 100 只，鸡脚比兔脚多 20 只。问：鸡、兔各多少只？分析：假设 100 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 200 只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比 兔脚多 200 只，而实际上只多 20 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多 20020=180（只）。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2 只，兔脚增加 4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会 减少 426（只），而 180630，因此有兔子 30 只，鸡 1003070（只）。解解：有兔（210020）（24）30（只），有鸡 10030=70（只）。答：有鸡 70 只，兔 30 只。 例例 5 现有大、小油瓶共 50 个，每个大瓶可装油 4 千克，每个小瓶可装油 2 千克，大瓶比小瓶 共多装 20 千克。问：大、小瓶各有多少个？分析：本题与例 4 非常类似，仿照例 4 的解法即可。解解：小瓶有（450-20）（42）30（个），大瓶有 50-3020（个）。答：有大瓶 20 个，小瓶 30 个。 例例 6 一批钢材，用小卡车装载要 45 辆，用大卡车装载只要 36 辆。已知每辆大卡车比每辆小 卡车多装 4 吨，那么这批钢材有多少吨？分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。利用假设法，假设只用 36 辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多 装 4 吨，所以要剩下 436=144（吨）。根据条件，要装完这 144 吨钢材还需要 45-36=9（辆）小 卡车。这样每辆小卡车能装 144916（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。解解：436（45-36）45720（吨）。答：这批钢材有 720 吨。 例例 7 乐乐百货商店委托搬运站运送 500 只花瓶，双方商定每只运费 0.24 元，但如果发生损 坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿 1.26 元，结果搬运站共得运费 115.5 元。 问：搬运过程中共打破了几只花瓶？分析：假设 500 只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费 0.24500=120（元）。 实际上只得到 115.5 元，少得 120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.241.261.5（元）。因此共打破花瓶 4.51.53（只）。 解解：（0.24500115.5）（0.241.26）3（只）。答：共打破 3 只花瓶。 例例 8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了 2 分钟，然后两人各跳了 3 分钟，一共跳了 780 下。 已知小喜比小乐每分钟多跳 12 下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？ 分析与解分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了12（23）60（下）。可求出小乐每分钟跳（78060）（233）90（下），小乐一共跳了 903=270（下），因此小喜比小乐共多跳7802702240（下）。 练习练习 131鸡、兔共有头 100 个，脚 350 只，鸡、兔各有多少只？2学校有象棋、跳棋共 26 副，2 人下一副象棋，6 人下一副跳棋，恰好可供 120 个学生进 行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？3班级购买活页簿与日记本合计 32 本，花钱 74 元。活页簿每本 1.9 元，日记本每本 3.1 元。问：买活页簿、日记本各几本？4龟、鹤共有 100 个头，鹤腿比龟腿多 20 只。问：龟、鹤各几只？5小蕾花 40 元钱买了 14 张贺年卡与明信片。贺年卡每张 3 元 5 角，明信片每张 2 元 5 角。问：贺年卡、明信片各买了几张？6一个工人植树，晴天每天植树 20 棵，雨天每天植树 12 棵，他接连几天共植树 112 棵， 平均每天植树 14 棵。问：这几天中共有几个雨天？7振兴小学六年级举行数学竞赛，共有 20 道试题。做对一题得 5 分，没做或做错一题都 要扣 3 分。小建得了 60 分，那么他做对了几道题？8有一批水果，用大筐 80 只可装运完，用小筐 120 只也可装运完。已知每只大筐比每只 小筐多装运 20 千克，那么这批水果有多少千克？9蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现有三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀。问：每种小虫各有几只？ 10鸡、兔共有脚 100 只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 92 只。问：鸡、兔各几只？