www.qpgk.comxyoNPF1F2M H双曲线中的最值和定值及参数范围的探求方法陕西洋县中学 （723300） 刘大鸣 双曲线中的最值和定值及参数范围的探求，常常依据双曲线的特殊性，借助 其两个定义和几何性质及渐近线的作用，用方程和不等式及函数知识解决. 1 用双曲线定义和几何量的关系，构建二次方程求解.例 1 设双曲线的半焦距 c，直线 L 过两点，且原点到直012222 ab byax b ,a00线 L 的距离为，求双曲线的离心率.c43简析： 借助题设和几何量的关系构建含离心率的二次齐次式解出离心率。由两点式易得直线 L 方程为 bx+ay-ab=0,则，注意到目 2222 43 43baabbac 标意识和几何量的关系构建有，解得，.即031616222 22 ca) ca(41 4322)ca(,)ca(或，由于，故.3322ee或33221022 abe ,ab2e2 用双曲线的定义和平几知识探求定值.例 2 双曲线焦点三角形的内心在定值线上.简析：用定义和内切圆的特殊性探求定值.如图 P 为左支上的焦点,则|PF1|-|PF2|=2a 设内切圆 I 与 x 轴的切点为 H，与两焦半径的切点分别为 M,N，由平几知|F1N|=|F1H|，|PM|=|PN|，|MF2|=|F2H|代入定义中有|F1H|-|F2H|=2a ，由切圆的特殊性知 内心 I 在定直线 x=-a 上.3 用“代点作差法”和第二定义及曲线系探求定值或范围问题.例 3 在双曲线的一支上有三个点与焦点成等1131222 yx 332116y,xC,xB,y,xA 50,F差数列，求证线段 AC 的垂直平分线经过某个定点简析：用第二定义和“代点作差法”求出垂直平分线方程解出定点.由焦半径公式易知，焦半径成等差数列则对应的某一坐标也成等差数列，故www.qpgk.com第 2 页 共 3 页.而在双曲线的一支上，代点作差凑弦 AC 斜率有，1221 yyC,A1131222 yx，则 AC 的垂直平分线方程为，当 1313122121212121xx )yy(xx xxyy 21362121xxxxxy，故 AC 的垂直平分线经过定点.2150yx时， 2150,4 用双曲线的第二定义和三角知识探求焦点三角形面积.例 4 设双曲线，分别为椭圆上的点和两焦点，,ba byax012222 21F,F,P= ，求椭圆的焦点三角形 F1PF2的面积.21PFF简析： 借助双曲线定义和余弦定理构建关系，用题设探求定值.设= ，用定义和余弦定理得，21PFFcFF221.2cotsincos12 21sin21,cos12,2411244 22)(2cos22212212122122212 21212 11212 212 22 121bbPFPFSbPFPFPFPFb PFPFca PFPFFFPFPFPFPFPFPFFFPFPFFPF则解得，5 用双曲线的定义和平几构建不等式解最值或范围问题. 例 5 点 F 是 x2/16-y2/9=1 右焦点，定点 A(5,4),已知 P x2/16-y2/9=1 是右支上的动点.，求 4|PF|-5|PA|的最大值.简析：由所求 4|PF|-5|PA|和的特殊性，巧用第二定义化归为平几最值求解.45e设 P1为 P 在右准线上的射影，A1为 A 在右准线上的射影，则 4|PF|-5|PA|=5（|PA1|-|PA| 5|A1A|.当且仅当 A,P,P1，A1共线时取最大值.此时的最大值为.即 4|PF|-5|PA|的最大值为 9.95955165551)(AA6 用双曲线的定义和几何条件构建不等式解范围.例 6 设点 P 到点 M(-1,0)、N(1,0)距离之差为 2m,到 x 轴、y 轴距离之比为 2，求 m 的取值范围.简析：以“直接法和定义法求轨迹方程”为背景，考察曲线的几何性质.由几何条件和www.qpgk.com第 3 页 共 3 页0AB非负数条件构造不等式解范围.设 P(x,y),依题设直接法有|x|/|y|=2,则 y=2x,x0,因此，点 P(x,y)， M（-1，0）,N（1，0）三点不共线，有|PM|-|PN|0,则 00,解得 0|m|.m 的取值范围为（-，0）（0，）.55 55 557 利用双曲线的渐近线和双曲线 的关系解某些无理不等式.例 7 解不等式.1102axx,a简析：函数认识不等式为两函数值不等时自变量所满足的关系，解不等式往往可构建两函数位置关系，数形结合求解。设是双曲线的上支，是恒过定点的直线系，如图，011122 1y,axy,xy2y 10,当时，只有公共点，原不等式解集为；1a 10,0x时，两图象有两个交点.10 a By, aa,2121022 12011 aaxaxx, 的解集为陕西洋县中学 刘大鸣 电话 0916-8215676