我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。这一讲将通过长方体、正方体及其组合图形，讲解有关的计数问题。例例 1 1 左下图中共有多少个面？多少条棱？分析与解：分析与解：如右上图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形。前、后看各有 1 个面，左面看有 1 个面，右面看有 2 个面，上面看有 2 个面，下面看有 1 个面。所以共有11+1+221= 8（个）面。前后方向的棱有 6 条，左右方向的棱有 6 条，上下方向的棱也有 6 条，所以共有棱 666=18（条）。例例 2 2 右图是由 18 个边长为 1 厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。分析与解：分析与解：如果一面一面去数，那么虽然可以得到答案，但太麻烦，而且容易出错。仔细观察会发现，这个立体的上面与下面、左面与右面、前面与后面的面积分别相等。如上图所示，可求得表面积为（978）2=48（厘米2）。例例 3 3 右图是由 22 个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？分析与解：分析与解：正方体只可能有两种：由 1 个小正方体构成的正方体，有 22 个；由 8 个小正方体构成的 222 的正方体，有 4 个。所以共有正方体 224=26（个）。由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下 图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有 13 个，左右位有 13 个，前后位有 14 个，共有 131314=40（个）。例例 4 4 有一个棱长为 5 厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（见下页左上图），求这个立体图形的表面积。分析与解：分析与解：由于正方体中间被穿了孔，表面积不好计算。我们可以将这个立体图形看成由 8 个棱长为2 厘米的正方体和 12 个棱长为 1 厘米的立方体粘合而成。如右上图所示，八个棱长为 2 厘米的正方体分别在 8 个顶角，12 个棱长 1 厘米的正方体分别在 12 条棱的中间。由于每个小正方体都有 2 个面分别粘接两个较大正方体，相对于不粘接，减少了表面积 4 厘米2 ，所以总的表面积为（226）8（116）12-412=216（厘米2）。例例 5 5 右图是由 120 块小立方体构成的 456 的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块？分析与解：分析与解：一个长方体有 8 个角、12 条棱、6 个面，角上的 8 个小立方体三面涂有红色，在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色，在面上而不在棱上的小立方体一面涂有红色，不在面上的小立方体没有涂上红色。根据上面的分析得到：三面涂有红色的小立方体有 8 块；两面涂有红色的小立方体，因为每条棱上要去掉两头的 2 块，故有（4-2）（5-2）+（6-2）4=36（块）；一面涂有红色的小立方体，因为每个面上要去掉周围一圈的小立方体，故有（4-2）（5-2）（4-2）（6-2）（5-2）（6-2）2 52（块）。一般地，当 a，b，c 都不小于 2 时，对于 abc 的立方体：三面涂有红色的小立方体有 8 块；两面涂有红色的小立方体的块数是：（a-2）（b-2）（c-2）4；一面涂有红色的小立方体的块数是：（a-2）（b-2）（a-2）（c-2）（b-2）（c-2）2；没有被涂上红色的小立方体的块数是：（a-2）（b-2）（c-2）。例例 6 6 给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种，每种颜色涂两个面，共有多少种不同涂法？（两种涂法，经过翻动能使各种颜色的位置相同，认为是相同的涂法。）分析与解：分析与解：根据两个红色面相对还是相邻可分为两情况。（1）两个红色面相对。此时，有蓝蓝相对和蓝蓝相邻两种涂法。（2）两个红色面相邻。此时，除蓝蓝相对和黄黄相对两种涂法外，当蓝黄相对时，按右图摆放，底面有蓝或黄两种涂法。所以共有 6 种不同涂法。练习练习 13131.下页左上图中共有多少个面？多少条棱？2.有 30 个边长为 1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色。求被涂成红色的表面积。3.有一个正方体，红、黄、蓝色的面各有两面。在这个正方体中，有一些顶点是三种颜色都不同的面的交点，这种顶点最多有几个？最少有几个？4.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为 1 厘米3 的小正方体，其中一点红色都没有的小立方体只有 3 块。求原来长方体的体积。5.将一个 555 的立方体表面全部涂上红色，再将其分割成 111 的小立方体，取出全部至少有一个面是红色的小立方体，组成表面全部是红色的长方体。那么，可组成的长方体的体积最大是多少？6.在边长为 3 分米的立方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为 1 分米的正方形（见左下图）。求挖洞后木块的体积及表面积。7.把正方体的六个表面都划分成 9 个相等的正方形（右上图）。用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？答案与提示 练习练习 13131.9 个面，21 条棱。2.56 米2。解：44+（1+2+3+4）4=56（米2）。3.8 个；2 个。提示：颜色相同的面两两相对时有 8 个；颜色相同的面两两相邻时有 2 个。4.45 厘米3。解：由 3 块小立方体构成的长方体体积为 113 厘米3，故原来长方体的体积为（1+2）（1+2）（3+2）=45（厘米3）。5.96。解：至少有一个面是红色的小立方体有 53-33=98（个），其中三面红的 8 个，两面红的 36 个，一面红的54 个。可以组成 446 的表面全是红色的长方体，体积是 446=96。6.20 分米3；72 分米3。7.22 个。解：一个面最多有 5 个方格可染成红色（见左下图）。因为染有 5 个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成 5 个红色方格。其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染 4 个红色方格（见上中图）。因为染有 4 个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成 4 个红色方格。最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染 2 个红色方格（见右上图）。所以，红色方格最多有 52+42+22=22（个）。第第 1414 讲讲 立体图形（二）立体图形（二）本讲主要讲长方体和立方体的展开图，各个面的相对位置，提高同学们的看图能力和空间想象能力。例例 1 1 在下面的三个图中，有一个不是右面正四面体的展开图，请将它找出来。分析与解：分析与解：观察四面体容易看出，每个顶点都是三个面的交点，即四面体的每个顶点只与三个面相连，而在图 2 中，“中心点”与四个面相连，所以图 2 不是正四面体的展开图。例例 2 2 在下面的四个展开图中，哪一个是右图所示立方体的展开图？分析与解：分析与解：观察立方体图形，A，B，C 三个面两两相邻，即三个面有一个公共顶点。再看四个展开图，图 1 中 A 与 C 不相邻，是相对的两个面，不合题意；图 3 中 C 与 B 是相对的两个面，也不合题意；图 2、图 4 中 A，B，C 三个面都相邻，还需进步判别。我们看下面的两个立方体图形：这两个图虽然相似，但是 A，B，C 三个面的相对位置不同。我们可以借助一个现成工具右手，帮助判断三个面的相对位置。伸出右手，让除大姆指外的四指从 A 向 B 弯曲，此时，左上图中 C 位于大姆指指向的方向，右上图中 C 位于大姆指指向的相反方向。所以两个图 A，B，C 三个面的相对位置不同。用这种方法判断三个面相对位置的方法称为右手方法。（这也是建立空间坐标系的方法）。用右手方法很容易判断出，图 4 是所求的展开图。例例 3 3 右图是一个立方体纸盒的展开图，当折叠成纸盒时，1 点与哪些点重合？分析与解：分析与解：直接想象将展开图折叠成纸盒时的情景，也可以得到答案。现在我们从另一个角度来分析。在左下图所示的立方体上观察 8 个顶点，其中与 A 点不在一个表面上的只有 B 点，也就是说，沿着表面走，这两个点的路程最远。在展开图上，这两个点恰好是相邻两个小正方形所构成的长方形的对角线上的两个端点。在上页右下图中，1，2，6 点都距 9 点最远，也就是说，1，2，6 点都与 9 点不在一个表面上。而与 9 点不在一个表面上的只有一个点，所以 1，2，6 点是同一个点，即折叠成纸盒时，1，2，6 点重合。例例 4 4 有两块六个面上分别写着 16 的相同的数字积木，摆放如下图。在这两块积木中，相对两个面上的数字的乘积最小是多少？分析与解：分析与解：由两图看出，5 与 1，3，4，6 都相邻，所以 5 的对面只能是 2；对右上图使用右手方法，四指由 5 向 4 弯曲，大姆指指向 6，将 5，4，6 的这个关系移到左上图，立刻得到 1 的对面是 4，3 的对面是 6。5210，144，3618，相对两个面上的数字的乘积最小是 4。例例 5 5 有五颗相同的骰子放成一排（如下图），五颗骰子底面的点数之和是多少？分析与解：分析与解：五颗骰子有三颗露出了 5，并且 5 和 1，2，3，6 相邻，所以 5 的对面是 4；2 与 1，3，5相邻，因为 5 与 4 相对，故 2 也与 4 相邻，所以 2 的对面是 6；剩下的 1 与 3 必相对。五颗骰子底面的点数从左至右依次是 4，6，3，1，4，其和为 4631418。例例 6 6 用一平面去截一个立方体，把立方体截成两个部分，截口是一个矩形的。问：这两个部分各是几个面围成的？分析与解：分析与解：截的方法有多种，所以一定要分情况讨论。截口通过 1 条棱是 1 种情况，截口通过 2 条棱是 1种情况，截口不通过任何棱有 2 种情况。所以共有下图所示的四种可能。 练习练习 14141.在下列各图中，哪些是正方体的展开图？2.将左下图沿虚线折成一个立方体，它的相交于一个顶点处的三个面上的数字之和的最大值是多少？最小值是多少？3.有四枚相同的骰子，展开图如右上图（1）。问：在右上图（2）中，从上往下数第二、三、四枚骰子的上顶面的点数之和是多少？4.将一个立方体纸盒沿棱剪开，使之展开成右图所示的图形，一共要剪开几条棱？5.左下图是图（1）（2）（3）中哪个正方体的展开图？6.在一个立方体的六个面上分别写有 A，B，C，D，E 五个字母，其中两个面写有相同的字母。下图是它的三个视图。问：哪个字母被写了两遍？7.右图中第 1 格内放着一个立方体木块，木块六个面上分别写着 A，B，C，D，E，F 六个字母，其中A 与 D，B 与 E，C 与 F 相对。如果将木块沿着图中方格滚动，那么当木块滚动到第 21 个格时，木块向上的面写的是哪个字母？答案与提示 练习练习 14141.（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17）（19）（20）共 11 个。2.13；8。提示：最大是 6+4+3=13；最小是 1+2+5=8。3.12。提示：用右手方法可得，第二、三、四枚骰子上顶面的点数依次为 3，6 和 1。4.7 条。提示：每剪开一条棱，展开图的周长就会增加 2 条棱长。展开图的周长是 14 条棱长，所以剪开了142=7（条）棱。注：沿棱剪，无论剪成哪种连通的展开图，都要剪开 7 条棱。也就是说，无论哪种展开图，周长都等于 14 条棱长。5.图（1）。提示：图（2）正面有两个相连的阴影的正方形，展开图中找不到，所以不是图（2）；图（3）正面与右侧面各有两个阴影正方形，这四个阴影正方形没有相邻的边，而展开图中有两个阴影正方形的面，折叠后有两个阴影正方形相邻，所以不是图（3）。6.C。解：假设 C 只写了一遍。因为 C 与 A，B，D，E 都相邻，所以被写了两遍的字母在 C 的对面。与 C 相邻的四个字母的相互位置是确定的。