第九章系统理论方法水污染控制系统非线性规划优化方法的简化马太玲朝伦巴根高瑞忠( 内蒙古农业大学水利与土木建筑工程学院呼和浩特0 1 0 0 1 8 )擅要丰文秉用加速遗传算法对水污染控制非线性规划问趣进行优化。通过理论爰实例分析井将谈方法与传统曲分段线性化优化方法进行比较，证职该方法与传统的优化方法相比罡一种操作方便、倚捷迅速的高教优化方法。可以健计算过程大为简化。美麓词木污染拉制非线性规划遗传算法1 引言在水污染控制规划中，许多问题都属于非线性规划问题。非线性规划问题的一般数学模型常表示为如下形式”： 。( # ) = 0f = 1 ，2 ，m ( m 为等式约束个数)g j ( x ) = 0f = 1 ，2 ，z ( 1 为不等式约束个数)通常在这类问题中，目标函数和约束条件为规划变量* 的函数，且二者之中至少有一个是规划变量的非线性函数。对于这类非线性规划优化问题，常规的优化方法有非线性化法( 如约束梯度法) 和线性化法等。但这些方法或数学条件要求严格，或解法繁琐，操作起来比较困难。而基于遗传算法的水污染控制系统非线性规划优化方法，是一种方便简捷、迅速高教的优化方法，可以使计算过程大大简化。本文采用加速遗传算法对水荇染控制非线性规划问题进行优化，取得了优于传统分段线性化方法的结果，而优化方法及过程却较后者简捷得多。为了充分说明这种方法的优越性，本文以一维河流排污口最优化问题为例，对基于加速遗传算法的水污染控制非线性规划优化方法进行阐述并将该方法与传统的分段线性化优化方法进行了比较。2 两种水污染控制系统非线性规划优化方法一般情况下，排放I = I 最优化问题是一个非线性规划问题，其目标函数即水污染控制费用是污染控制水平竹的非线性函数；约束条件反映的是污染源与水质目标间的线性输入响应关系，其数学模型为：1 m i a C ；I 】口4 + 如Q “矿U L + m L o儿+ n 0 0( 1 )L 0一可町2目标函数中，C 为污水处理的总费用，是污水处理效率田的非线性函数；口为污水处理的规模；丘( i ；l ，2 , 3 ，4 ) 为费用函数参数。水质约束中，u 、V 为污水排放与水体水质问响应关系矩阵；r 、0 0 为河流水质控制点B O D ，和D O 浓度目标值；L 为排放口排入水体的B O D ，输人向量，即水污染控制规划中的规划变量；m 、n 为河流水质模型中的常数向量；一、可2 分别为污水处理效率的上、下限。2 1 分段线性化优化方法”- 1 分段线性化优化方法是传统的非线性规划优化方法，其优化过程包括：基金项目：国家自然科学基金重点资助项目( 5 0 1 3 9 0 4 0 ) ；内蒙古自然科学摹金资助项目( 2 G 0 3 0 8 0 2 0 5 0 8 ) 。第一作者简介：马太玲( 1 9 5 7 一) ，女内蒙古呼和浩特人教授，主要从事环境质量评价及规划研究。第= 篇技术方法五1 1目标函数线性化目标函数的线性化即是将目标函数方程所表示的曲线用直线近似代替，将曲线划分为若干直线段。目前采用较多的是用三段近似，即将各河段在 0 ，1 内的效率划分为0 叶，l n3 ，n3 n8 5 ，n8 5 仉1 三个区间在这三个区问内分别用线性函数代替非线性函数，进而将各排放r n 的非线性费用函数转变为以下线性方程：。q = + a i i r l #( 2 )式中：G 为排放口的费用函数，c 。为排放口的费用常数为i 排放口费用函数中，直线段的斜率，吼为i排放口J 直线段的效率。为了与约束条件方程中的变量统一，还需要将目标函数式( 2 ) 中的处理效率m 用去除浓度L i 代替。2 1 2 水质约束 水质约束即是利用卜P 水质模型建立各排污1 3 输入河流的B 0 巩和D O 浓度值与水质目标之间的输入响应关系。根据s P 方程，可以导出如下递推方程”J ：k = 纽止掣+ 缸1 。 Q 2 f ；肾卜( 。- 0 2 。) e x p ( 瑚卜糍协一f ) - e 卅圳 ) + 赛。J 一式中各符号意义如图1 所示。Q 。为在i 排放口排人河流的污水流量，丘、0 。为在i 排放口排入河流的B o 巩浓度与D O 浓度，是水污染控制规划中的规划变量；Q 。为上游流到；断面的河水流量，Q k 为i 断面向下游流出的河水流量，以为在i 断面引走的流量；毛；、k 分别为i 一1 断面到i 断面问的B O D ，衰减速率常数与复氧速率常数；k 、0 2 。为i 断面向下游流出的B O D ，浓度与D O 浓度，是水污染控制规划中的水质目标值。锄L i oO t o01Iq ，工，q图1 一维河流水质输入响应关系图将式( 3 ) 中的屯、0 2 。用水质目标值代替并将等式变为不等式即得到舍有规划变量L j 的水质约束方程。在目标函数线性化后，每个排放口处理效率被分成了三段粕，相应具有三个去除浓度k ，根据式( 4 )将排放浓度丘代换为去除浓度：3 厶= k 一乞#( 4 )式中：k 为原水浓度；L u 为i 排放1 2 1 处理效率段时的处理浓度。 将代换后的变量代人水质约束方程后，每个规划变量分解为3 个变量，规划变量增加了3 倍。2 1 3 技术约束规划变量厶除了需满足水质约束的要求外，还需满足技术约束，即处理效率的约束：L i k 仉( 5 )上述目标函数、水质约束和技术约束组成了水污染控制系统规划的数学模型，通常利用单纯形法进行该数学模型优化变量的求解。2 2 基于加速遗传算法的优化方法“1 由上述分段线性化优化方法可见，其计算过程及计算方法均十分繁琐。一方面要将目标函数经过复杂的程序线性化，另一方面要建立水质约束方程和技术约束方程，同时规划变量数目庞大。而利用遗传算法对水污染控制非线性规划问题进行优化，既不必将目标函数线性化，又不需建立技术约束条件，同时规划变量仅。_第九章系统理论方法为分段线性化优化方法的1 3 ，避免了复杂的计算，使优化过程大为简化。遗传算法基于自然选择和自然基因机制，利用简单的编码技术和遗传机制来模拟复杂的优化过程，以解决非常困难的问题。它是一种方便、快速的高效求解方法，只要求优化问题是可计算的，突破了对问题结构要求线性、连续、可微、单峰、无噪声等各种限制，同时也不受优化准则函数形式、优化变量数目等的束缚，只需要影响搜索方向的目标函数，直接在适应度函数值的引导下在搜索空间进行自适应概率性全局搜 索，运行过程简单而计算结果丰富，能以较大的概率求得全局最优解。遗传算法提供了一条处理复杂优化问题的有教途径，但标准遗传算法( S G A ) 在实用中存在早熟收敛、计算量大和解的精度差等重大缺点。为此，文献 1 】提出一种加速遗传算法( A G A ) 。A G A 显示出稳健的全局优化、计算量少而解的精度高以及算法控制参数设置技术简明等特点，在各种工程优化问题中具有广泛的应用价值。下面的应用实例中将以文献 2 中的一维河流排污口最优化问题为例采用文献 1 提出的加速遗 传算法( A G A ) ，对水污染控制非线性规划问题进行优化。3 应用实例某城市为改善流经该城市的河流水质状况，决定建立四个污水处理厂，对四个污水排放口的有机污染物进行削减。四个污水排放口及相应四个河段的基本情况如图2 所示。河流水质规划目标值确定为：B O 瓯不高于5 L ，D o 不低于6 m g L 。各污水处理厂的费用蛹数为E = 2 0 0 田4 - 1 0 0 0 钟。试( f = 1 ，2 , 3 ，4 ) ，对该问题进行水污染控制规划，确定最佳城市污水处理方案。使既满足河流水质规划目标，又使污水处理费用最小。口I o =L i e =O i o =口l z 05Q 2 = 03口3 = 0 4L 1 = 2 0 0L 2 = 2 0 0L 3 = 2 0 0Q = 05L - = 2 0 0O l = 10 2 = 10 3 = lo r lfK u ：o 3K 1 2 = 03K D = 03K 1 4 = 03fK 2 1 ；o6K 丑= O6K 2 3 = O6K 2 4 = 0 6 I “= o5t 2 = 10t 3 = I 0“= l00 3 2 = 1Q 3 3 = 0q M = t困2 和J 侃并行口基卒裂瑁图( 1 ) 采用加速遗传箅法进行优化。建立该水污染控制非线性规划数学模型如下：m i 以= 引2 0 0 Q 7 + 1 0 0 0 q 7 8 ( 1 一轰) H = l 2 ，3 4 )( 6 )纽业等盟型+ 缸s( 7 )Q _。0 “。“ 警 0 1 ( 0 ，一0 2 i - i ) e x p ( 由弘糍 e x p ( _ k 。一酬瑚洲) + 挚6 ( 8 )该问题的规划变量只有4 个，即厶、k 、厶和，约束条件也仅有水质约束，数学模型非常简单，计算过程也十分简便。根据遗传算法的求解方法，编写F O R T R A N 语言程序；利用遗传算法优化变量，得到如表1 的计算结果。表1加速遗传算法优化变量单位：叫L优化变量 选代次散目标函数值L I工2岛厶l2 0 02 0 02 0 02 加1 8 9 69 5 6 096 7 9 8 8 24 62 2 仍3 6 1 8 5 22 8 3 1 9 81 6 2 3 2 9 6第：篇技术方法( 2 ) 采用分段线性化方法进行优化。将各排污口的费用函数分段线性化，将各段效率m 用去除浓度 代替，得到目标函数为m i n Z = 0 6 4 6 9 L l t + 3 0 8 7 4 L n + 7 0 6 1 7 L B + 0 4 2 9 8 L u + 2 0 5 1 1 k + 4 6 9 1 4 k+ 0 5 4 0 0 L 3 l + 2 5 7 7 3 L j 2 + 5 8 9 5 2 L 3 ，+ n6 4 6 9 L , 1 + 3 0 8 7 4 k + 7 0 6 1 7 k( 9 )利用递推方程式( 3 ) ，用处理浓度k 代替排放浓度厶，建立B O D ，水质约束方程为L l I + 1 2 + 工1 3 1 3 0 7 3 3 4 工l l + 工J 2 + 1 3 + 0 8 9 7 2 ( k + k + k ) 2 6 9 6 3 2 5 L I l + 二1 2 + L ”+ 0 8 9 7 5 ( 如1 + k + k ) + 1 6 1 5 0 ( k + k + k ) 5 0 3 9 8 0 2( 1 0 )工l I + 三1 2 + 工l ，+ n8 9 7 6 ( k + k + k ) + 16 1 5 1 ( 厶I + k + k )+ 3 0 2 8 2 ( “+ 如+ “) 1 0 5 4 2 4 0 5根据各分线段处理效率，建立技术约束方程为厶l 6 0 ，L 。1 1 0 。k 3 0( i = 1 ，2 ，3 ，4 )( 1 1 )该模型的优化变量有1 2 个，约束方程有1 6 个。利用单纯形法求解出各去除浓度k 后，再根据式( 4 ) 将其转化为排放浓度。计算结果列于表2 。襄2分段线性化法优化结果单位：m g L优化变量目标L 1 1J 2L 1 3工2 t如岛j岛lkklk厶怊函数值6 07 n7 4 8 006 09 4 舯3 706 01 0 7 0 0 206 01 1 0O厶岛岛厶l 0 , t 76 92 5 24 5 1 9 63 29 9 83 0 04 结果分析由上述计算过程及优化结果可见，基于遗传算法的非线性化优化方法与分殷线性化优化方法计算结果比较，具有如下优点：( 1 ) 优化结果更好，其目标函数较后者小3 4 5 0 6 3 ( 费用单位) 。( 2 ) 数学