第 1 页 共 10 页1专题五：专题五： 排列、组合、二项式定理、概率与统计排列、组合、二项式定理、概率与统计 【考点分析】 1突出运算能力的考查。高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目， 均是用数值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关 公式进行具体的计算。 2有关排列、组合的综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能力，它一 般有一至两个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在； 而且此类问题一般都有多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道 选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。 3有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。这种问题重点考查运 算能力，特别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念， 它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 4有关概率的实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能 力；它要求对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算 概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题 或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。 5有关统计的实际应用问题。这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法 的理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 【疑难点拨】 1知识体系：2知识重点： （1） 分类计数原理与分步计数原理。它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本 章的始终。 （2） 排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。排 列数公式的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程 则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。 （3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。二项 式定理的推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理 及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决加法原理乘法原理排列组合随机事件的概率：1 等可能性事件的概率2 互斥事件的概率3 相互独立事件的概率4 独立重复实验离散型随机变量的分布列、期望与方差二项式定理统计抽样方法：简单随机，系统，分层总体分布的估计：条形图、直方图正态分布线性回归第 2 页 共 10 页2此类问题的通法赋值法（令）的应用。1x（4） 等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式， 相互独立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概 率公式。互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相 互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。 （5） （理科）离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方 差。 （6） 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。2知识难点： (1)排列、组合的综合应用问题。突破此难点的关键在于：在基本思想上强调 两个基本原理（分类相加计数原理和分步相乘计数原理）在本章知识中的 核心地位；在通法上要求，首先要认真审题，分清是排列（有序）还是组 合（无序） ，或二者兼而有之；其次要抓住问题的本质特征，准确合理地 利用两个基本原理进行“分类与分步” ，分类时要不重不漏，分步时要独 立连续。在两个公式的应用中要深刻理解其定义中的“所有”的含义，特别是组合数“”已包含了个元素“所有”可能的组合的个数，故在m nCm 平均分堆过程中就会产生重复，而平均分配给不同的对象过程中就不用再 排序。同时在本节中要注意强调转化化归数学思想的应用。 (2)二项式定理的计算。突破此难点的关键在于：熟记指数的运算法则和二项 展开式的通项公式，深刻理解“第项” “常数项” “有理项” “二项式系k数” “系数”等基本概念的区别与联系。 (3)概率、分布列、期望和方差的计算。突破此难点的关键在于：首先要运用 两个基本原理认真审题，弄清楚问题属于四种类型事件中的哪一种，然后 准确地运用相应的公式进行计算，其中要注意排列、组合知识的应用。（理科）对于分布列要熟记一个基本型（）和三个特殊型（，二项分布，几何分布）的定义和有关公式；此类问题解题ba思维的的流程是：要求期望，则必先求分布列，而求分布列的难点在于求概率，求概率的关键在于要真正弄清每一个随机变量“”所对应的k具体随机试验的结果。 【经典题例】 例 1：将 名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排名学生，那82么互不相同的分配方法共有多少种？ 思路分析 根据宿舍的人数，可分为三类：“”型不同的分配方法有62 种；“”型不同的分配方法有种；“”型不同的分配方2 22 8AC532 23 8AC44法有种。则由加法原理得，不同的分配方法共有种。4 8C2384 82 23 82 22 8CACAC小结 本题体现了“先选后排”通法的应用，属于排列组合混合问题。要注第 3 页 共 10 页3意（不）平均分配与（不）平均分堆的联系与区别。 例 2：在正方形中，分别ABCDHGFE, 为各 边的中点，为正方形中心，在此图中的O九个点中，以其中三个点为顶点作三角形， 在这些三角形中， 互不全等的三角形共有多少个？ 思路分析 根据三角形的类型分为三类： 直角三角 形有共 种；以DABRtDAERtHAERt,3边 为底的三角形共种；过中点和中心的三角形有ABGABOAB ,2共 种。由加法原理得，共有种不同类型的,HGBDGBGBO33238 三角形。 小结 本题体现了“转化化归数学思想”的应用，属于排列组合中的几何问 题，在具体方法上是运用了“穷举法（将所有的情形全部列出） ” 。例 3：在多项式的展开式中，含项的系数为多少？65(1) (1)xx3x 思路分析解 1 ，所以652323(1) (1)(1 61520)(1 51010)xxxxxxxxLL含项的系数为 。3x10605 15205 解 2 ，所以含项652 51224 55(1) (1)(1) (1)(1)(1)xxxxC xC xxL3x的系数为 。1 515C 解 3 由组合原理 。033122211300 65656565( 1)( 1)( 1)( 1)5C CC CC CC C 小结 本题重点考查对二项式定理的本质的理解和运算能力。例 4：从数字中，随机抽取 个数字（允许重复）组成一个三位数，0,1,2,3,4,53 其各位数字之和等于的概率为多少？6思路分析 本题的基本事件是由个不同的数字允许重复而且含的条件下60组成三位数，根据乘法原理可知基本事件的全体共有个。设三个5 6 6180 数字之和等于的事件为，则分为六类：数码组成不同的三位数有6AA(5,1,0)个；数码组成不同的三位数有个；数码组成不同的三21 22A C(4,2,0)21 22A C(4,1,1)位数有个；数码组成不同的三位数有个；数码组成不同的1 3C(3,3,0)1 2C(3,2,1)三位数有个；数码组成不同的三位数有 个，根据加法原理，事件3 3A(2,2,2)1 共有A个。故。2121113 2222323120A CA CCCA 201( )1809P A 小结 本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，重点在于利用排列DH DACFBGEO第 4 页 共 10 页4组合知识求各个基本事件的总数。 例 5：若则1002100 012100(12 )(1)(1)(1),1,2,3,ixeexexexeR iLL， 。012100eeeeL012100eeeeL思路分析 将条件等式的左右两边比较，可知变形。100100(12 )3( 2)(1)xx 利用赋值法，令，则有；(1)1x100 012100(32 1)1eeee L令，则有。(1)1x 100100 01210032 ( 1)5eeee L小结 本题考查二项展开式系数的性质，在具体方法上是运用了通法“赋值 法” 。例 6：从中任取个数字，从中任取个数字，组成没有重复1,3,5,720,2,4,6,82 数字的四位数，其中能被 整除的不同四位数共有 个。5思路分析 由已知，此四位数的末位只能是或 ，且不能在首位，故050为特殊元素，而且二者中至少要选一个。根据题意，可分三类：有 无，0,550不同的四位数有个；有无 ，不同的四位数有个；同时存123 343C C A05213 343C C A0,5在，当在末位时，不同的四位数有个，当 在末位时，不同的四位数0113 343C C A5有个。所以满足条件的不同的四位数共有1112 3422C C C A个。12321311312 34334334322()300C C AC C AC CAC A小结 本题考查有两个受条件限制的特殊元素的排列组合混合问题，基本解 题模型为：分为三类。第一类，两个中一个都不考虑；第二类，两个中考虑一 个；第三类，两个都考虑。 注意在具体求解中其中“先选后排” “位置分析法”等通法的运用。 例 7：鱼塘中共有条鱼，从中捕得 条，加上标志后立即放回塘中，经过一Nt段时间，再从塘中捕出条鱼，发现其中有 条标志鱼。ns（1）问其中有 条标志鱼的概率是多少？（2）由此可推测塘中共有多少条鱼s（即用表示）？, ,t n sN思路分析 （1）由题意可知，基本事件总数为。鱼塘中的鱼分为两类：n NC有标志的鱼 条，无标志的鱼条，从而在捕出条鱼中，有标志的 条t()Ntns鱼有种可能，同时无标志的条鱼有种可能，则捕出条鱼中有s tC()nsn s N tC n条鱼共有种可能。所以概率为。ssn s tN tC C sn s tN t n NC C C （2）由分层抽样可知，（条） 。,snntNtNs小结 本题考查等可能性事件的概率和统计知识，重点要注意“鱼”的不同 的分类以及抽样方法中各个元素被抽取概率的相等性。第 5 页 共 10 页5例 8：某宾馆有间客房，现要安排位旅游者，每人可以进住任意一个房间，64且进住各房间是等可能的，求下列事件各的概率：（1）事件：指定的个A4 房间各有 人；（2）事件：恰有个房间各有 人；（3）事件：指定的某1B41C 房间中有人；（4）事件：一号房间有 人，二号房间有人；（5）事件2D12 ：至少有人在同一个房间。E2 思路分析 由于每人可以进住任一房间，进住哪一个房间都有种等可能的6方法，根据乘法原理，个人进住个房间有种方法，则（1）指定的个46464房间中各有 人有种方法，。14 4A4 4 41( )654AP A （2）恰有个房间各有 人有种方法，。 （3）从人中4144 64C A44 64 45( )618C AP B 4选人的方法有种，余下的人每人都可以去另外的 个房间中的任一间，22 4C25有种方法，。 （4）从人中选 人去一号房间的方法有2522 4 4525( )6216CP C41种，从余下 人中选人去二号房间的方法有，再余下的 人可去个房1 4C322 3C14间中的任一间，。12 43 441()627C CP D（5）从正面考虑情形较复杂，正难则反， “至少有人在同一个房间”的反面2 是“没有人在同一个房间，即恰有个房间各有 人” ，241。13( )( )1( )18P EP BP B 小结 本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，注意排列组合知识 的运用。 例 9：甲、乙、丙三人独立解某一道数学题，已知该题被甲解出而乙解不出的概率为，被乙解出而丙解