0 1 6 弹性介质中充液功能梯度圆柱壳的自由振动边祖光，高颖2 ，陈伟球1( I 浙江大学土木系浙江杭州3 1 0 0 2 7 ；2 浙江建设职业技术学院城建系浙江杭州3 11 2 3摘要：采用状态空何法给出了弹性介质中充液功能梯度圆柱壳自由振动的三维分析。引入屡合模型可以方便求解，且对任意功能梯度材料分布模型都适用。为了考虑弹性介质的影响，采用了简化的W i n k l e r 地基模型：而内流体场则采用精确方法。与已有文献结果进行了数值比较且讨论了相关参数对皂振频率的影响。荚键词：功能梯度材料：圆柱亮；状态空间法：W i n k l e r 模型：耦合振动O nf r e ev i b r a t i o no ff l u i d - f i l l e df u n c t i o n a l l yg r a d e dc y l i n d r i c a ls h e l l sb u r i e di na l le l a s t i cm e d i u mB I A NZ u g u a n g 。，G A OY i n 9 2 ，C H E NW e i q i u ( ID 亡p a r u l l e n t o f C t v i lE n g i n e e r i n g ，Z h e j i a n g U n i v e r s i t y 、H a n g z h o u3 1 0 0 2 7 ，C h i n a ； ：I 蛐e l l to f U r b a n C o n s t r u c t i o n ，Z h c j i a n g C o l l e g eo f C o n s t r u c t i o n H a n g z h o u3 1 1 2 3 1 C h i n a )A b s t r a c t ：As t a t e - s p a c ea p p r 。“hi se m p l o y e dt oa n a l y z et h ef r e ev i b r a t i o n so fb u r i e da n df l u i d f i l l e df u n c t i o n a l l yg r a d e dc y l i n d r i c a ls h e l l s ，T oo b t a i ns o l u t i o n ，al a m i n a t em o d e li sa d o p t e d w h i c hi ss u i t a b l ef o ra n yg r a d e dm a t e r i a l s T h ee f 记c to f e l a s t i cm e d i u mi sc o n s i d e r e du s i n gaW i n k l e rm o d e l N u m e r i c a lr e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t he x i s t i n go n e sa n dt h ee f 艳c to f r e l a t e dp a r a m e t e r so nn a t u r a lf r e q u e n c i e si sd i s c u s s e dK e yw o r d s ：F G M ；c y l i n d r i c a ls h e i ks t a t es p a c em e t h o d ；W i n k l e rm o d e l ；c o u p l e dv i b r a t i o nl引言由于石油输送、城市管网布设等实际工程的需要，对圆桂壳流固耦合问题的研究文献已有不少，如J a i n采用计及横向剪切变形和转动惯量影响的壳理论，研究了正交各向异性圆柱壳部分或全部充液时的自由振动“l ：Z h a n g 等则用L o v e 壳理论结合波动法求解了内充可压缩流体的各向同性圆柱壳的耦合振动B l 。U p a d h y a y 等结合P 波、s v 波和s H 波，对埋没的正交各向异性圆柱壳的非轴对称动力特性进行了分析 3 1 。对这类问题的研究，还可直接采用三维理论H “。以上文献分别单独考虑了内流体或外介质对圆柱壳动态特性的影响，本文将综合研究这两者与功能梯度材料( F G M ) 圆柱壳的耦合振动效应。F G M 最早由日本科学家提出，其材料组分在空间某个方向连续变化，具有比层合材料更多的优点 7 - 12 I 。对功能梯度材料的研究，需要先确定其梯度模型，然后进行相应的求解，如文【1 3 】求解了幂函数模型的功能梯度压电圆柱壳。本文采用状态空间法，结合层台模型，可以实现对任意梯度模型和任意厚度的圆柱壳的统一分析。本文所考虑的耦台模型除了潜在的工程应用外，还可以模拟动物的骨骼和血管。2 状态方程、层合模型及求解从弹性力学基本方程出发，范家让通过代数运算导出了正交备向异性体的状态方程“。在圆柱坐标系f ，0 ，：) 中，其形式为 丹= N Df 蟹盘项目：匿窘自然科学蓥盒瓷助项1 j ( 1 0 0 0 2 0 1 6 ) 作者商舟 边诅拖( 1 9 丁7 1 男浙j 工人搏士研究生主舞飙事功耗梯茂扳薏研究( E - M l I l ：b m n 叫鲫| 逅岫mc o m0 1 7 式中D = l ，蚱k r 称为状态矢量，N 为以下的算子矩阵：00 i一口i00 ；1 c 。0l ri- p r01 c 。；0 lC 1 3 a l c ”；一C 2 3 p ( c ”r ) l c ( c 】，) il c 3 ，；00e 1 2 a r ；e = p r 2 p 亭2 + P 跹r 2 ( c 拍c “ 一1 ) r 一声，；一口l 一( c “+ 黾2 ) 口p l r ；p 掌2 一c * 口2 一日n 卢2 r 2i e 2 2 卢r2l c p ( c ”r ) ；一2 1 r 0 ll 心2 一e l l 0 1 2 一p 2 r 2 ；一( + P I ：) a p r ；一e 1 2 c H r lC t 3 a c ”l0 一l r I式中口= 8 1 8 z ，卢= a ，a 口，善= 8 1 a t P 1 I = c I l c j c ”- P 1 2 = c 1 2 一c 1 ) c 玎c ”e 笠= c 2 2 一c 刍c 驺。方程( 1 ) 对沿径向为非均匀的材料同样适用。考虑一两端简支的正交各向异性F G M 圆柱壳。设壳长为工，内径为R 。厚为h ，如图1 所示。将状态矢量用级数展开：P“ 以f 坩 k圈1圆柱壳几何图示l = l 。E P a T ：( r ) c o s ( m 9 6 “ ) e o s ( n 0 ) l ，。厩( 圩) s i n ( ) s i 吣口)一J 芝、二。尺_ ，( 可) s i n 沏硝) c o 如口) l = I 。乏二c L 藓( 口) s i n ( m ) c o s ( ”口)I 二二，c I 乙( 1 7 ) s i 咖硝) s i n o 印【= l 。c ：t ( 刁) C O 如蟛) c o s ( n 占)e x p ( i o J t )式中口= r R ，f = z L 上标1 表示该材料常数在圆柱外表面，= R + h 处之值满足圆柱壳两端简支边界条件，即在z = 0 ，处有：= “，= 口：= O 。将( 2 ) 式代入( 1 ) 式，并利用三角函数系的正交性质，对每一对c m ，n 】，可得： d V I d r l = M V下同。经简单验算，上式( 3 ) 式中V = 虹砖一4 rO 一“ r t 】r 矩阵M 的表达式不难得到，为一个与径向变量，有关的系数矩阵。显然要直接求得方程( 3 ) 的解析解是非常困难的，为此我们引入屡舍模型U S J S l ，即将圆柱壳沿径向等分成足够多的p 层，使得M 在每一子层，( ，= l ，2 P ) 内均可以认为是常量，且取中间位置碍= l + ( 2 ，一I ) h ( 2 p R )处之值，记为M ，这样在每一子层内( 3 ) 式可以求解为：V ( 口) = e x p 【( 口一r l ；) M ，】V ( 玎；)( 】7 ；sr s 町：)( 4 )其中r ；= l + ( ，一O h ( p R ) 、，7 ：= l + 曲，( 即) 分别对应第子层的内外表面。考虑到状态矢量在层间连续，由( 4 ) 式可递推得到圆柱壳外内表面状态变量关系式： V = T V o( 5 )式中T = 兀j ，唧脚坝阳) 】0 1 8 对于内充无粘可压缩流体的圆柱壳，其内部边界条件可以表示为“6 】：瓦o = - Q 2 Q ( 1 ) 秽p ，I p ；r - - 。0 = = 0( 6 )式中一为流体密度，Q = 月m | D 为无量纲频率，烈】) = Q ( 叩w 。，而Q ( 叩) 是用第一类贝塞耳( B e s s e I )函数，。( v r D 或变型( 或虚宗量) 贝塞耳函数I ( v 对) 表示的分段函数H 朋，这里v 2 = ( c ；c ；) n 2 一r 其中c ，、c 。= c j p 1 分别为流体中声速和固体弹性波速，而丑= R m x L 。当圆柱壳埋没于W i n k l e r 模型的弹性介质中其外部边界条件为：曩= 骊? ；r - - m I = = 0( 7 )式中8 = - K R c ktK 为地基刚度系数。将内外边界条件( 6 ) 和( 7 ) 代入( 5 ) 式巩一L 们j ：一T | ：L ，L ：磊乓并利用存在非零解这一条件，可以得到：a 卜2 争，m ，一w 知， V 驷2 鲁Q ( 1 )L - T “n 2 争= 0( 8 )式中T 为矩阵T 中各元素。由( 8 ) 式即可求出自振频率Q 。3 算例和讨论。指数函数模型和幂函数模型是目前分析功能梯度材料采用较多的两种模型。本文方法适台任意模型，这里针对以下幂函数模型：P = P o l 一 ( ，- R ) h 。) + P 【，- R ) h ( 9 )式中P 代表梯度材料的任一材料常数，o ，P j 分别为合成F G M 的两种组分的对应材料常数。r 为梯度指标。不难看出，当r = 0 时，F G M 退化为均质材料。为了同已有文献结果进行比较。以验证本文方法的有效性，首先计算内表面自由的各向同性均质圆柱壳在W i n k l e r 地基中的自振频率。由于篇幅原因，表1 只给出了部分结果，可以看出本文与文【5 】的结果除了种情形外完全一致。需要指出的是在薄壳情形当9 = o 0 4 9 9 8 时文【5 】的结果偏离了壳体理论，至于文f 1 7 1 a 3 壳体理论，当壳厚度增大时( 表中h t R = O 3 5 2 9 4 ) ，结果出现明显的差异。表l 最低阶无量纲自振频率n 比较( 环向波数月= 2 泊松比y = 0 3 )占本文丈【5 】文”n口本文文【5 1文j ”1h R = 00 0 1 0 000 4 0 5 5 7 0O 4 0 5 5 6 90 4 0 5 5 7 0h R = 0 3 5 2 9 400 6 7 2 6 9 90 6 7 2 7 0 407 1 2 5 0 8 = 1 2 5 6 0 l0 0 0 1 0 00 9 6 5 3 4 7 0