强正激波后非平衡流动的计算方法强正激波后非平衡流动的计算方法 张若凌乐嘉陵 中国空气动力研究与发展中心吸气式高超声速技术实验室，四川，绵阳，6 2 1 0 0 0摘要：对于求解正激波后非平衡流动，本文基于E u l e r 方程，给出一种新颖的、接近解析的计算方法。本文 利用这个计算方法来说明空气非平衡流动的重要特点，分析球模型驻点线上和正激波波后流动参数的关系， 及非平衡流动里温度场和浓度场的相似性。1 引言求解冻结激波和平衡激波流动，已有常规的解析方法2 1 。对于求解正激波后非平衡流动， 本文基于E u l e r 方程，采用一种新颖的、接近解析的计算方法1 。经实践证明，这种方法是有 效的。如果采用常规的一维C F D 技术，必须求解一个非定常问题。由于刚性问题的存在，对于 高效的计算方法要求较高。 本文利用这个计算方法来说明非平衡流动的重要特点，分析球模型驻点线上和正激波波后 流动参数的关系，及非平衡流动里温度场和浓度场的相似性。通过计算可以看出，这个简单实 用的求解方法是高效的，对于理解高超声速流动的机理，对于分析实验结果，都会有所帮助。2 强正激波后非平衡流动的计算方法 当气体的耗散性质被忽略时，冻结和平衡正激波关系，均有解析的求解方法，这在普通的 气体动力学教材里，已经给出了详细的说明。具体地说，波前和波后物理量的关系( R a n k i n e H u g o n i o t 关系) 为p 2 甜22P 1 甜l( 1 )P 2 + P 2 材2 = P l + P l u l ( 2 )”去+ 扣钏咯+ 新2 o 、己o 、其中，下标“1 ”和“2 ”分别表示激波间断前后的物理量。当( 卜3 ) 式表示冻结激波关系时， 在波后的组分质量百分比、振动温度与电子温度和波前相同。当( 卜3 ) 式表示平衡激波关系 时，波后气体处于平衡状态。需要求解的三个未知数为p 、，和乃这三个方程已经构成封闭 的数学问题。此时波前和波后都是均匀流动。 对于非平衡情形，一维定常E u l e r 方程是常微分方程组，即 d R二= = Q( 4 ) d r 以三温度模型为例，F 和Q 为E =p 1 “p n p u u + Pp h u肛，Up e e 纠，Q =把各组分方程叠加可以得到质量守恒方程，即P “= C l 根据动量方程，可以得到 PU U + P2C 2 根据总能量方程，有3 8 l( 5 )( 6 )( 7 )q；oo q 皱第十一届全国激波与激波管学术会议 一一一 h = C 3( 8 )比较( 6 8 ) 式和( 卜3 ) 式( 它们都是根据E u l e r 方程导出的) ，可以发现：在一维绝热流 动中，流动中的质量、动量和能量守恒积分关系，在波前和任意的波后位置之间成立，在任意 的两个波后位置也成立。本文采用一种空间推进的方法，来求解一维定常非平衡E u l e r 方程( 4 ) ，从而给出正激波 后非平衡流动的物理量。在求解过程中，波后的总密度p 、速度“和平动温度，根据( 6 8 ) 式来求出( 取亚声速解，且对于空气情形，平动温度丁递减) 。在方程( 6 8 ) 中，C l 、晓和白 是常数，由波前条件决定，分别表示流动中的质量、动量和能量守恒。其他未知数由化学反应 和其他能量方程得到，方法如下。 根据组分方程，可以导出常微分方程V s 太+ 威2V ，上+ 翻。d x ，C 1( 9 ) 其中，为组元S 的质量百分比，幽为推进步长。同理，由振动能量方程和电予能量方程可 以得到常微分方程婶v 足+ 出2 婶，上+ 仞，( 现，C 1( 1 0 )婶P 足+ 出2 婶。上+ 倒。出，c l( 1 1 )波后第一点的物理量可以由冻结激波关系得到，然后根据方程( 6 - 1 1 ) ，可以依次求出波 后各个位置的物理量。由方程( 6 一1 1 ) 进行空间推进时，在假定x + d x 站点的物理量后，而。、国，和功，为X 和 x + d x 两个站点的平均值。先由( 9 ) 式求出x + d x 站点的各组分质量百分比，然后由方程( 1 0 1 1 ) 求出卅出站点的振动和电子能量，并求出振动温度和电子温度，最后由方程( 6 8 ) 求出总密 度p 、速度，和平动温度兀这几个过程作为一个整体，需要反复迭代直至收敛。 可以看出，这种非平衡激波波后物理量的求解，不需要通过全流场一起迭代，因此快速有 效。并且其中利用了反映流动守恒的积分关系式( 6 - 8 ) ，其他利用的是常微分关系，因此该方 法接近于解析解法。3 不同模型对流场的影响、球模型驻点线上和正激波波后流动参数的 比较应用这种计算方法，本文采用三温度和不同化学一振动耦合模型，计算了强正激波后的物 理量。图卜2 显示了优先离解( P D ) 和振动能量源项采用非优先离解模型( n P D ) 存在很大的差别。 主要表现在一些特征距离上，如图1 中振动、电子温度的上升距离和图2 中的电离距离，非优 先离解模型给出的特征距离要小许多。对于空气和这个计算条件来说，非优先离解模型给出的 振动温度有过冲现象，离解和电离要进行得快些，电离距离约是优先离解模型的1 2 ( 图2 ) 。 为了获得准确的物理一化学模型，需要采用实验、计算和理论分析相结合的手段。激波管 实验比较容易进行，并且实验数据的分析相对容易。通过强正激波后非平衡流动的计算可以看 出，对于高温气体的非平衡特性的研究，可以在相对简单的激波管设备上进行。例如观察图1 和2 ，若实验上能够精确测量波后温度和电子密度分布，则可以通过与计算比较的方法，来检 验物理一化学模型的准确性，并为改进模型提供可靠依据。这种高温气体的非平衡特性的研究， 对于实验方法、测量的准确性以及空间分辨率( 对于波前压强l m m H g 情形，空间分辨率至少要 达到l m m ) ，都提出了很高的要求。图3 6 显示的是球模型绕流的驻点线上和正激波波后物理量的比较。自由流( 正激波流动 的1 区) 为温度7 。= 2 9 3 K ，速度V - = 5 2 8 0 m s ( 马赫数1 5 3 ) ，压强p 。= 6 6 4 P a ( 5 m m H g ) 。在球模型 绕流的计算中，采用的是N S 方程，球半径胙6 3 5 m m ，物面条件为非催化物面和T ，= 2 0 0 0 K 。计算均采用两温度优先离解模型“。 从图3 - 6 可以看出，除了在驻点线上的边界层内外，二者物理量的分布结构类似，数值上也很接近。等温物面条件T = 2 0 0 0 K ，使得边界层内物理量的差别很大。对于这个流动条件， 球模型驻点线在波后的总长要小于正激波波后的松弛长度。因此不难理解在一些飞行条件下， 绕流场的非平衡效应有着强烈的影响，采用准确的计算模型有着实际的重要意义。3 8 2强正激波后非平衡流动的计算方法4 温度场和浓度场的相似性 在高温非平衡流动里，微团内的化学反应在改变组分浓度的同时，也改变混合气体的温度。 可以想象在非平衡流动里，混合气体的温度和组分浓度强烈地相关。例如对于N 2 分子的离解 反应来说，离解进行得越彻底，产物N 的浓度就越高，混合气体的化学能就越多，从而气体的 平动温度会越低。忽略气体的振动和电子激发能量时，在气体微团向平衡态趋近的过程里，在 它的平动温度和产物N 的浓度之间有着接近线性的关系。 考虑一维单温度情形，由方程( 4 - 5 ) 得到 车：垒( 1 2 )d xC ，d h ：0( 1 3 )出 其中，h 包含气体的静焓和动能。对于强激波后的流动，可以忽略气体动能的变化，并把静焓 区分为化学能和0 ，两个部分( 0 为冻结定压比热) ，由方程( 1 3 ) 得到 掣+ ；氧。= 。，近似定义反应度口来衡量反应进行的程度，表达式为，一f ( o )Q ! - - “ 云南( 1 5 )上标“( 0 ) ”表示初始值( 刚过激波处) ，“( P 谚”表示平衡值，a 在刚要反应的位置处为0 ，反 应结束以后为l 。认为对于反应体系的所有反应，反应度口一样( 所有反应平行进行) ，此时 所有组分的化学生成源项可以写为国。= 卢。面( 1 6 )忽略反应引起定压比热0 的变化，则由方程( 1 2 ) 、( 1 4 ) 和( 1 6 ) 得到掣一丝：0 ( 1 7 )d xc 1c p 面d T + 譬；叫k 。m ，其中，夕的表达式为 = 方( 1 9 )可以证明对于所有组分p 是一样的。注意方程( 1 8 ) 左端第二项的求和部分，表示的是体系 由始态到末态时总的热效应( 吸热或放热) ，在下面用一p 表示( 这样满足D 0 时表示放热反应， 温度，会上升，反之认0 时表示吸热反应，温度，会下降) 。 定义无量纲量p ，0 = 二当( 2 0 )，T 1T。j 叼一0 显然伊在刚要反应的位置处为0 ，反应结束以后为1 。由方程( 1 8 ) 可以导出 面d 6 一等翻CT o - o ，出c lp 一J。不难理解和证明i 岛：1( 2 2 )可瓦司。1皑纠因此一d 6 一丝：o( 2 3 ) d xc 13 8 3第十一届全国激波与激波管学术会议比较方程( 1 7 ) 和( 2 3 ) ，注意到口和矽的边值都相同( 0 和1 ) ，不难得到口= 0 。因 此对于强正激波后简单的离解反应来说，温度场和浓度场( 此处指质量分数) 是相似的。 实际上，强正激波后温度场和浓度场的相似性，反映的是原子系统的G 丁和化学能之间的 守恒关系：化学能高的地方，G ，小，从而温度低；化学能低的地方，G ，大，从而温度高。 这种温度场和浓度场的相似性，不仅在一维强激波后存在，也存在于气流速度的差别可以忽略 的多维非平衡流场的流线上，只要流线上的总焓近似相等和速度的差别可以忽略( 静焓相等) 。 流线上气流速度的差别可以忽略，意味着原子系统的受力所引起速度从而动能的变化，与总焓 相比可以忽略。此时，动量方程不会影响这种温度场和浓度场的相似性。 考虑气体的输运性质时，非平衡流动的温度场和浓度场仍然是相似的，康德拉季耶夫对此 曾作详细说明旧1 。康德拉季耶夫说明的是燃烧流场的情形，结论是温度场和浓度场有相似性。 不难理解，这个结论同样适用于离解( 吸热) 反应体系的高温N 2 或0 2 。 对于波前自由流速度忙6 4 k m s 、压强且= l m m H g 、温度五= 2 8 3 5 K 的纯N 2 和空气情形，本 文采用三温度优先离解模型计算出波后参数，来比较波后的口和口，结果在图7 和8 中显示。 对于纯N 2 情形，考虑的组分有N 、N 。、N 4 、N 。和e ，对于空气情形，考虑了1 1 种组分。从图7 中可以看出，对于纯N z 情形的N 和N z 组分，在x 2 c m 处口和目的差别不超过5 ，二者有 很好的相似性。在图8 中，对于空气情形的N 和N 2 组分，口和矽的差别不大，而对于0 2 组 分，口和口的差别较大，这和0 z 的较快离解是一致的。5 结束语 本文给出一种新颖的、接近解析的计算方法，计算了正激波后非平衡流动。利用这个计算 方法，说明了非平衡流动的重要特点，分析球模型驻点线上和正激波波后流动参数的关系，及 非平衡流动里温度场和浓度场的相似性。这个简单实用的求解方法是高效的，对于理解高超声 速流动的机理，对于分析实验结果，都会有所帮助。参考文献 1 A n d e r s o nJD J r H y p e r s o n i ca n dH i g hT e m p e r a t u r eG a sD y n a m i c s M c G r a w - H i l lB o o kC o