1关于代数、数论中的存在性问题关于代数、数论中的存在性问题(2010 年年 2 月寒假月寒假) 邹明邹明一一.关于代数中的存在性问题关于代数中的存在性问题1.是否存在这样的正整数等比数列:仅 5 项其和为 211?请说明理由.2. (a)设实数 x,y,z 都不等于 1,满足 xyz=1.求证:1) 1() 1() 1(222222 zz yy xx(b)证明:存在无穷多组三元有理数组(x,y,z), x,y,z 都不等于 1,且 xyz=1,使得上述不等式等号成立.3.是否存在这样的三角形:三边长皆为有理数,且有一内角的度数也是有理数?若存在,求出该内角度数的所有可能值;若不存在,请说明理由.4.设 k 是一个不小于 3 的正整数,是一个实数,如果 cos和 cos都是有理) 1( kk数.证明:存在正整数 n,使得 cos和 cos都是有理数.) 1( nn5.设，且 sin，cos均为有理.求证:存在满足:202,021();() sin1, sin2, cos1,cos2均为有理.216.设 M 为整数集 Z 的一个含 0 的有限子集,又设 f,g:MM 为两个单调减函数,且满足 g(f(0)0.求证:在 M 中存在整数 p 使得 g(f(p)=p.7.是否存在最小的实常数 c，使得 c(x+y+z)4x3y+y3z+z3x+xy3+yz3+zx3对于所有的非负实数 x,y,z 恒成立?，若存在求 c 的最小值,若不存在,请明理由.8.设 ak0，k=1,2,2008.证明：当且仅当时,存在数列xn满足以下条件:120081 kka()0=x01,x1).15.定义 rad(1)=1, rad(n)等于 n 的所有不同质因数的积,数列an满足:a1=1,an+1=an+rad(an)(n=1,2,).证明:对任意大于 2 的整数 m,数列an中都有连续 m项组成等差数列.16.设正实数 a,b 满足 b-a2.求证:对区间中任意两个不同的整数 m,n,总存),ba在一个由区间中某些整数组成的(非空)集合 S,使得是一个)1)(1( ,baabmnxSx 有理数的平方.317.求最大的常数，使得对任意正整数 ，存在正实数数列，及0M n12,na aaL满足（1），；12,nb bbL11nk kb112,2,3,1kkkbbbknL（2）211,1,2, ,kkiin iaa b knaM L二二.关于数论中的存在性问题关于数论中的存在性问题1.证明存在无穷多个整数 n,使得 2n+1 与 3n+1 为完全平方数,并且 20|n.2.设 k,l 是给定的两个正整数.求证:有无穷多个正整数 mk,使得与 l 互素.k mC3.证明:对任意正整数 n2,总存在 n 个互不相同的正整数 a1,a2,an,使得对任意 1ijn 有(ai-aj)2|aiaj.4.正整数 m,n,k 满足：k2+k+3=mn.证明不定方程x2+11y2=4m 和 x2+11y2=4n 中至少有一个有奇数解(x,y).5.求证:存在唯一的正整数数列使得, na11a 21a ), 2 , 1( 111) 1( 322 11L naaaaaannnn nn6.证明:对于任意正整数 k，总存在满足下列条件的正整数 n：()n 整除 2n+1，()n 恰有 k 个不同的素数因子。7.求所有适合下列条件的正整数的个数:存在非负整数 x0,x1,x2,x2009使得a.2009210xxxxaaaaL8.已知数列an满足 a1=1,a2=1,a3=3,an=an-1+2an-2+an-3,n=4,5,.求证:对任何正整数 m,总存在无穷多个正整数 n 使得 m|an.9.证明:对任意给定素数 p,总存在无穷多个正整数 n,使得 p|2n+3n-n.10.证明:存在无穷多个整系数多项式 f(x),使得它在 R 上不是单射,而在 Q 上是单射.411.对任意 n 个两两互素的正整数:m1,m2,mn.证明:总可以找到 n 个连续的自然数k+1,k+2,k+n 使得 mi|k+i(i=1,2,n).12.证明:存在 n 元自然数集合 A(n2)使得:(1)A 中任意两个数互质; (2) A 中任意 k(2)个数的和都是合数.13.设 x,y 是整数,(x,y)=1,则称整点(x,y)为既约整点.求证:对任意正整数 n,存在整点A(a,b)使得在以 A 为圆心 n 为半径的圆内,不存在既约整点.14.证明,对于每一个素数 p,总存在无穷多个正整数 n 使得 p|2n-n.15.已知 p 为素数.证明,存在一个素数 q,使得对任意正整数 n,qnp-p.16. 设 是一个合数.证明:存在正整数，满足，且.这里nm|m nmn3( )( )d ndm表示正整数 的正约数的个数.( )d kk17. 将每个正整数任意染红、蓝两色之一，证明：总存在一个无穷的正整数序列，使得无穷序列是一个同色正整数序12naaaLL233412 123,222aaaaaaaaaL列三三.2010 年年 CMO 试题选讲试题选讲题题 1.如图,两圆 1,2相交于 A,B 两点,过点 B 的一条直线分别交圆 1,2于点 C,D,过点 B 的另一条直线分别交圆 1,2于点 E,F,直线 CF 分别交圆 1,2于点 P,Q,设 M,N 分别是弧 PB 与弧 QB 的中点.求证:若 CD=EF,则 C,F,M,N 四点共圆. 题题 2.设整数 k3,数列满足且对所有 nk,有na,2kak证明:数列中有无穷多项是素数. 不互素。与，互素，与nannaaannn n 111 2, 11nnaa题题 3.设复数 a,b,c 满足:对任意|z|1 的复数 z,都有|az2+bz+c|1,求|bc|的最大值.题题 4.设 m,n 是给定的大于 1 的整数,a1a2am都是正整数.证明:存在整数集的ABCDEFPQMN5一个子集 T,其元素个数|T|,且对每个 i1,2,m,都有 tT 及 s-1211 naamn,n,使得 ai=t+s.题题 6.设 a1,a2,a3,b1,b2,b3为互不相同的正整数,满足(n+1)a1n+na2n+(n-1)a3n|(n+1)b1n+nb2n+(n-1)b3n对任何正整数 n 成立.求证:存在正整数 k,使得 bi=kai,其中 i=1,2,3.