皂竺一胡瑞等：内部为弹性惑支承的矩形板的近似分析_ = 二一= = 二= 二= = = _ ：内部为弹性点支承的矩形板的近似分析胡瑞1 2 严东晋1 任辉启2 翟金明2( 1 解放军理工大学工程兵工程学院，南京，2 1 0 0 0 7 ；2 总参工程兵科研三所，洛阳，4 7 1 0 2 3 )摘要：本文通过求解内部为弹性点支承的梁的挠度解析表达式来构造矩形板挠度的试函数，利用G a l e r k i n 法，建立了内部为弹性点支承矩形板的近似分析方法，并利用该方法求解了内部为弹性点支承四边简支和四边固支矩形板的挠度和弯矩的组近似解。该方法适用于内部为弹性点支承其它边界条件的矩形板分析。关麓词：弹性点支承近似分析简支板固支板1 概述近似分析方法是人们在大量数值计算并结合理论分析和试验研究成果的基础上提出的。板柱体系由于其顶面平整、空间开阔、便于管线安装和利用率高等优点，已经越来越多的应用于地下建筑工程。该类工程采用立柱加固时给设计分析带来了一系列的难题，目前尚未建立起相应的设计分析方法。2内部为弹性点支承的简支板的分析内部为弹性点支承的矩形板可以看作是立柱加固的一种模型。但点支承的存在给分析带来了困难，当点支承考虑其弹性时更增加了分析的复杂性，影响了工程应用的设计分析。本文从工程应用出发，根据变分原理中的G a l e r k i n 方法，用梁挠度的解析表达式构造板挠度的试函数，以求得内部为弹性点支承的四边简支矩形板的近似解。2 1 内部为弹性点支承的简支梁的挠度分析梁在均布荷载q 作用下的挠曲微分方程为E l d 4 w ( x ) d x 4 = q ，其中w 骐) 为梁的挠度，E ，为梁的抗上上上上，qrL t ：? 搬r，图1 内部弹性支承简支粱巴w 1 = a + a 啪2 x + 旷a 3 x 2 邶+ a 4 x ，3 + 4 瑟q x 4 篙引中国木I 程学会防护I 程分会第九次学术年会论文集4 4 3铲盎【1 2 吼E 卜敞f + 2 c ) ( - l + 2 c ) 2 ( - - 7 1 2 - - 4 c l + 4 c 2 ) 】6 l = 1 9 q 2 l E 。 1 2 。E z 4 + 托2 ( - l + 2 c ) ( f + 2 c ) 2 ( - 7 1 2 + 4 c + 4 c 2 ) 】一_ 一丽k c q ( z + c ) ( - l + 2 c ) ( z + 2 c ) 2 ( - 5 1 z + 4 c 2 )b 3 = q i l 【1 9 2 E 1 2 - k ( - l + 2 c ) ( f + 2 c ) 2 ( - - 1 2 - - 8 c l + 4 c 2 ) 】钆一是( - 1 + 2 c 川+ 2 c ) 2 ( _ 5 1 2 + 4 c 2 )t = E I 4 8 E I l + k ( 4 c 2 一1 2 ) 2 】2 2 内部为弹性点支承的简支板的分析均布载q 作用下，薄板弯曲基本微分方程为： 。c 窘+ 2 等+ 矿6 9 4 W 阄( 2 )( 3 )式中D = E h 3 1 2 ( 1 一2 ) 】为抗弯刚度，E 为材料弹模，h 为板厚，p 为泊松比。板的弯矩和剪力的表达式为：( 4 )用式( 1 ) 构造内部为弹性点支承四边简支矩形板的国缸棚厅试函数，可应用变分原理中的G a l e r k i n 方法求解问题的近似解。参考式( 2 ) ，令：D o ( 1 ，c ) = D 4 8 D l + k ( 4 c 2 - 1 2 ) 2 】 啪c ) = 丽1【1 2 0 D “ 1 4 - - 蜘+ 2 c ) ( - l + 2 c ) 2 ( - 7 1 2 - 4 c l + 4 c 2 ) 】= 一丽k c( 一z + c ) ( f + 2 c ) ( - l + 2 c ) 2 ( _ 5 1 2 + 4 C 2 )C和和蹦，驴平“硝卜+姘 似 mK+蚁乞扣= 峨一生幄以铲j 甜旦方彦一玉丝玉一旷塑矿w厂1塑矿加= 可I|，M一鞠、少彦一表嚎亟方叫w 矿一沪一玉一舻降一窘一国dM皱4 4 4胡瑞等：内部为弹性点支承的矩形板的近似分析 吧( = 一丽1【1 9 2 D 12 + k ( z + 2 c ) ( - l + 2 c ) 2 ( - 1 2 + 8 c l + 4 c 2 ) 】口( = 一丽k( z + 2 c ) ( - l + 2 c ) 2 ( - 5 12 + 4 c 2 ) 觚c ) 2 丽1【1 2 0 D 1 4 + 幻2 ( - l + 2 c ) ( f + 2 c ) 2 ( - 7 1 2 + 4 c l + 4 c 2 ) 】反( = 一丽k c( ，+ c ) ( - l + 2 c ) ( z + 2 c ) 2 ( - 5 12 _ I _ 4 c ：)( 5 )3 ( 2 ，c ) = 一i 百丽1 【1 9 2 D 22 一七( 一2 + 2 c ) ( 1 + 2 c ) 2 ( 一2 2 8 c 。+ 4 c 2 ) 】 刖c ) - _ 南- l + 2 c + 2 c ) 2 ( _ 5 户“c 2 )当板和内部为弹性点支承的物理参数和几何参数给定后，a ；和A ( i - - 1 4 ) 为常数。令内部弹性支承点位于( x o ，y D ) 处，通过支承点( x o , Y o ) 分别平行予z 轴和Y 轴的直线，将矩形板划分为四个区域，相应区域的挠度表示为w 曲、t 、w l o 和M - ( 如图2 所示) 。满足G a l e r k i n 法墨和巧的分区试函数可取为： w i 2 厶x f l ，( f ，= o ，1 )( 6 )其中，A o 为待定系数。蕊和y 为：f2C l l= d l 图2 带内部弹性支承的矩形简支板当给定板和内部为弹性点支承的物理参数和几何参数后，c 西- 、d n 0 和么t 为常数。将试函数式( 6 ) 代人板的基本微分方程式( 3 ) ，得到板的基本微分方程在分区子域上的残差铅：i 广一坳嘉去+矿工讧_，灿沙锄办X匕r，L、，Oy易 ，n6| Jnd、，蜘易L阼口l I棚d，口，Lm月I ImC，口，L咻口=O晰Co，4中式叫nm中国木I 程学会防护I 程分会第九次学术年会论文集4 4 5铲。c 争+ 2 岛+ 等h 舢川G a l e r k i n 法要求由试函数引起的残差在全域加权为零，即有： 尺= J 岛x ，匕蚴= o ，( f ，j = O ，1 )式中，? 为子域积分面积。对上式进行简单的积分计算，便可解出试函数式( 6 ) 中的待定系数A o ：鸟x ，Y j d x d y 舻矛乒孺一求得A o 后就得到了内部为弹性点支承四边简支矩形板的挠度表达式，由此可求出板的弯矩和剪力。由上述分析过程可以看出，本文的方法极大地简化了内部为弹性点支承四边简支矩形板的求解问题。2 3 1 四边简支矩形板解的比较当板内弹性点支承的刚度k = 0 时，便成为四边简支矩形板，其经典解有N a v i e r 解和L e v y 解。板中心的挠度和弯矩计算值比较见表1 所示，其中W o = 驴4 D ，M 加= t z E q a 2 ， M ，o = a 3 q a 2 。从表中计算结果看出，本文方法计算的最大误差为4 3 ，的最大误差为7 2 ， 铀的最大误差为1 7 0 。因此，本文的分析方法和导出的计算公式适合于工程中板的挠度和短边方向弯矩的计算。表l均布荷载下四边简支板中心挠度和弯矩计算值口J 、n 2 和口3 比较文献【1 】解本文解 b a D l口2D 3a lQ 20 31 00 0 0 4 0 6O 0 4 7 90 0 4 7 90 0 0 4 1 40 0 5 1 6O 0 5 1 61 20 0 0 5 6 4O 0 6 2 70 0 5 0 10 0 0 5 7 6O 0 6 6 9O 0 5 5 01 4O 0 0 7 0 50 0 7 5 50 0 5 0 2O 0 0 7 2 60 0 8 0 3O 0 5 6 41 60 0 0 8 3 0O 0 8 6 20 0 4 9 20 0 0 8 5 60 0 9 1 80 0 5 6 71 80 0 0 9 3 l0 0 9 4 80 0 4 7 90 0 0 9 6 60 1 0 1 30 0 5 6 52 00 0 1 0 1 30 1 0 1 70 0 4 6 40 0 1 0 5 9O 1 0 9 30 0 5 5 92 3 2 板内弹性点支承刚度足的影响板内弹性点支承代表了板内两端简支柱支承或细长柱支承的情况，此时弹性点支承刚度 k = E a A 日，式中如为柱的弹模，A 为柱的截面积，日为柱的计算长度。对于弹性点支承位于方板中心的情况，表2 给出了不同k 值下板的挠度和弯矩的计算值，其中和肘j为板中心处的挠度和弯矩值，w I 。和M 一为板的最大挠度和弯矩值。表2 中心弹性点支承刚度k 对四边筒支方板挠度和内力的影响板中心值板最大值k-一 W oM oW m “肘mO0 0 0 4 1 4O 0 5 1 60 0 0 4 1 40 0 5 1 61 00 0 0 3 7 30 0 4 4 1 30 0 0 3 7 30 0 4 4 5 61 0 20 0 0 1 9 5O 0 1 1 6 30 0 0 1 9 50 0 2 2 8 21 0 3O 0 0 0 2 4 50 0 1 2 8 90 O 0 0 3 8 6 60 0 1 3 0 81 0 40 4 8 4 l O - S0 0 0 3 0 8 6O 0 0 0 1 7 7 00 0 1 0 8 3说明：w o = w o q a 4 I D ，w 眦= w 糯卵4 I D ，M o = M o 卵2 ，M 慨= M 。驴2 。从表中计算结果看出，当弹性点支承刚度变大，则板中心挠度越小，板中心弯矩由正变负；进一步增加弹性点支承剐度时，点支承处内力计算的奇异性增大，造成点支承处负弯矩变小的计算误差，但对稍远处其它位置的计算影响不大；当弹性点支承变为铰支座时，板的最大挠度只有原四边简支方板的3 4 ，最大正弯矩只有原来的l ，5 。3内部为弹性点支承的固支板的分析3 1 内邵为弹性点夏承嗣剐夏识册分研类似地，可采用G a l e r k i n 法求解问题的近似解。根据内部为弹性点支承固支梁的解析解，可以构造内部为弹性点支承四边固支矩形板的G a l e r k i n 试函数。令：，D o ( f c ) _ D 【1 卜4 砒2 ( 1 6 1 础2 矧4 ) 】 州f c ) 2 面南2 4 D 1 4 - k c 2 ( 2 c + f ) 2 一) 3 】 刚劫一蒜“) 2 ( 2 卜D 4口3 ( f c ) = 一面丽l 【3 8 4 D 1 3 - k ( 1 0 c - 1 ) ( 2 c + f ) 2 ( 知一f ) 3 】 瓯u ，c ) 2 南c + z ) ( 2 c + 2 ) 2 2 c 一2 4( 9 )屈( j c ) 。丽茜而巧2 4 D 1 4 + k c 2 ( 2 c 一) 2 ( 2 c + f ) 3 】舢净一d 赫似一) 2 ( 2 酣D 4岛(