数列求和的方法将一个数列拆成若干个简单数列, 然后分别求和.将数列相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个 新数列(容易求和).一、拆项求和二、并项求和例 求和 Sn=12+23+n(n+1).例 求和 Sn=1-2+3-4+5-6+(-1)n+1n. 三、裂项求和将数列的每一项拆(裂开)成两项之差, 使得正负项能相互 抵消, 剩下首尾若干项.n 2Sn=- ,n 为偶数时, , n 为奇数时. n+1 2n(n+1)(n+2) 3 n+1n例 求和 Sn= + + .121 231 n(n+1)1四、错位求和将数列的每一项都作相同的变换, 然后将得到的新数列错 动一个位置与原数列的各项相减. 例 等比数列求和公式的推导. 五、倒序求和将数列的倒数第 k 项(k=1, 2, 3, )变为正数第 k 项, 然后 将得到的新数列与原数列进行变换(相加、相减等). 例 等差数列求和公式的推导. 典型例题(1)已知 an= , 求 Sn; n(n+1)2 2n+1 (2)已知 an= , 求 Sn; (2n-1)(2n+1) (2n)2 n2+2n n2+2n+12n2+2n 2n+1Sn=(3n+2)2n-1 Sn=3n-2n(公比为 的等比数列) 2 3(4)Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+n1; 法1 Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+nn-(n-1) =n(1+2+3+n)-21+32+n(n-1) =n(1+2+3+n)-12+22+(n-1)2-1+2+(n-1) 法2 Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+n1 =1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+n) 而 an=1+2+3+n= n(n+1). 1 2(5)Sn=3n-1+3n-22+3n-322+2n-1. (3)Sn=Cn+4Cn+7Cn+10Cn+(3n+1)Cn; 0 1 2 3 n n(n+1)(n+2) 6 课后练习 1.已知数列 an 是等差数列, 且 a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求数列 an 的通项公式; (2)令 bn=an3n, 求数列 bn 前 n 项和的公式.解: (1)设数列 an 的公差为 d, 则由已知得 3a1+3d=12, d=2. an=2+(n-1)2=2n. 故数列 an 的通项公式为 an=2n. (2)由 bn=an3n=2n3n 得数列 bn 前 n 项和 Sn=23+432+(2n-2)3n-1+2n3n 3Sn=232+433+(2n-2)3n+2n3n+1 将 式减 式得: -2Sn=2(3+32+3n)-2n3n+1=3(3n-1)-2n3n+1. Sn= +n3n+1. 3(1-3n) 2又 a1=2, 2.将上题 (2) 中“ bn=an3n ” 改为“ bn=anxn(xR)”, 仍求 bn 的 前 n 项和. 解: 令 Sn=b1+b2+bn, 则由 bn=anxn=2nxn 得:Sn=2x+4x2+(2n-2)xn-1+2nxn xSn=2x2+4x3+(2n-2)xn+2nxn+1 当 x1 时, 将 式减 式得: (1-x)Sn=2(x+x2+xn)-2nxn+1= -2nxn+1. 2x(1-xn) 1-x Sn= - . 2x(1-xn) (1-x)2 2nxn+1 1-x 当 x=1 时, Sn=2+4+2n=n(n+1); 综上所述, Sn= n(n+1), x=1 时, 2x(1-xn) (1-x)2 2nxn+1 1-x - , x1 时. 3.求和: Sn=1+(1+ )+(1+ + )+(1+ + + ).1 21 41 21 21 41 2n-1 1 21 41 2n-1 解: an=1+ + + = =2- . 1- 1 21- 1 21 2n-1 1 2n-1 Sn=2n-(1+ + + ) 1 21 41 2n-1 =2n-2+ . 1 2n-1 4.求数列 n(n+1)(2n+1) 的前 n 项和 Sn.解: 通项 ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k,Sn=2(13+23+n3)+3(12+22+n2)+(1+2+n) n2(n+1)2 = + + 2n(n+1) 2n(n+1)(2n+1) 2= . n(n+1)2(n+2) 25.数列 an 中, an= + + , 又 bn= , 求 数列 bn 的前 n 项的和.n+1 1 n+1 2 n+1 n anan+1 2解: an= (1+2+n)= , n+1 1 2nbn= =8( - ). 2n 2n+12 n+1 1 n1Sn=8(1- )+( - )+( - )+( - ) 1 21 31 21 31 4n+1 1 n1=8(1- ) n+1 1 n+1 8n = . 6.已知 lgx+lgy=a, 且 Sn=lgxn +lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lgyn, 求 Sn. 解: Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lgyn,又 Sn=lgyn +lg(xyn-1)+lg(xn-1y)+lgxn,2Sn=lg(xnyn)+lg(xnyn)+lg(xnyn)+lg(xnyn)n+1 项 =n(n+1)lg(xy).lgx+lgy=a, lg(xy)=a.Sn= lg(xy)= a. n(n+1) 2 n(n+1) 2 注: 本题亦可用对数的运算性质求解: Sn= lg(xy)= a. n(n+1) 2 n(n+1) 2 Sn=lgxn+(n-1)+3+2+1y1+2+3+(n-1)+n, 8.求数列 1, 2+3, 4+5+6, 7+8+9+10, 的通项 an 及前 n 项和 Sn.解: an= +1+ +2+ +nn(n-1) 2 n(n-1) 2 n(n-1) 2 n2(n-1) 2 = + = n3+ n. n(n+1) 2 1 21 2 Sn= (13+23+n3)+ (1+2+n)1 21 2 n(n+1) 2 = 2+ 1 21 2n(n+1) 2 = (n4+2n3+3n2+2n). 1 87.求证: Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn=(n+1)2n. 0 1 2 n 证: 令 Sn=Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn. 0 1 2 n 又 Sn=(2n+1)Cn+(2n-1)Cn +3Cn+Cn, n n-1 1 0 2Sn=2(n+1)(Cn+Cn+Cn)=2(n+1)2n. 0 1 n Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn=(n+1)2n.0 1 2 n 9.已知递增的等比数列 an 前 3 项之积为 512, 且这三项分别 减去 1, 3, 9 后又成等差数列, 求数列 的前 n 项和.an n 解: 设等比数列 an 的公比为 q, 依题意得: a1a2a3=512a23=512a2=8.前三项分别减去 1, 3, 9 后又成等差数列,( -1)+(8q-9)=2(8-3) q=2 或 q= (舍去).q81 2 an=a2qn-2=82n-2=2n+1.所求数列的前 n 项和 Sn= + + 1 22 2 23 2n+1 n2n+1 n-1 123 2 24 Sn= + + + 1 22n+2 n- 得: Sn= + + -2n+1 1 122 1 23 1 22n+2 nSn= + + -1 2n 1 22 2n+1 n12=1- - .1 2n 2n+1 n10.已知数列 an 中, a1=1, (2n+1)an=(2n-3)an-1(n2, nN*), 求数列 an 的前 n 项和 Sn. = . an-1 an 2n-3 2n+1 Sn=a1+a2+an 解: (2n+1)an=(2n-3)an-1, 则 = , , = , = . an-2 an-1 2n-5 2n-1 a2 a3 3 7a1 a2 1 5 = . a1 an (2n+1)(2n-1) 3 an=(2n+1)(2n- 1)3 = ( - ). 3 21 2n-1 1 2n+1 3 21 2n-1 1 2n+1 = (1- )+( - )+( - )+( - ) 1 31 51 31 51 7 3n 2n+1 = . 解: (1) a1C -a2C +a3C =a1-2a1