斐波那契与斐波那契数列（初一、初二、初三）斐波那契与斐波那契数列（初一、初二、初三）（ （519015）广）广东东省珠海市第四中学省珠海市第四中学 陈陈湘平湘平斐波那契（斐波那契（Leonardo Fibonacci， ，约约1170-约约1250），），12、 、13世世纪纪欧欧洲数学界的代表人物，生于比洲数学界的代表人物，生于比萨萨的列奥的列奥纳纳多家族，是一位意大利海关多家族，是一位意大利海关设设在南部非洲布吉在南部非洲布吉亚亚的官的官员员的儿子。早年在北非受教育，由于他父的儿子。早年在北非受教育，由于他父亲亲的工作，成年后曾到埃及、叙利的工作，成年后曾到埃及、叙利亚亚、希腊西西里、法国等地游学，并拜、希腊西西里、法国等地游学，并拜访过访过各地著名的学者，也熟悉了各国在商各地著名的学者，也熟悉了各国在商业业上的所用的算上的所用的算术术体系，掌体系，掌握了印度阿拉伯的十握了印度阿拉伯的十进进制系制系统统， ，该该系系统统具有位置具有位置值值并使用了零的符并使用了零的符号。斐波那契看到了号。斐波那契看到了这这种美种美丽丽的印度阿拉伯数字的价的印度阿拉伯数字的价值值，并，并积积极提极提倡使用它倡使用它们们。 。1202年他写了年他写了 算算盘书盘书 一一书书（ （ 注：注：“算算盘盘”指的是当指的是当时时欧欧洲人用来洲人用来计计算的沙算的沙盘盘，而非中国的算，而非中国的算盘盘），），这这是一本广博的工具是一本广博的工具书书，其，其中中说说明了怎明了怎样应样应用印度阿拉伯数字，以及如何用它用印度阿拉伯数字，以及如何用它们进们进行加、减、行加、减、乘、除乘、除计计算和解算和解题题。此外。此外还对还对代数和几何代数和几何进进行了行了进进一步的探一步的探讨讨。此外。此外他他还还出版了出版了 几何几何实习实习 等等书书， ，书书中首次引用了阿拉伯数字，中首次引用了阿拉伯数字，这对这对当当时时盛行的盛行的罗马罗马数字来数字来讲讲也是一种挑也是一种挑战战。后来人。后来人们们通通过对过对阿拉伯数字的不阿拉伯数字的不断接触，加上斐波那契和其他数学家的工作，断接触，加上斐波那契和其他数学家的工作，终终于使印度阿拉伯数于使印度阿拉伯数字系字系统统被慢慢地接受，并得以推广。被慢慢地接受，并得以推广。很有意思的是，斐波那契在今天的出名，是很有意思的是，斐波那契在今天的出名，是缘缘于一个数列，而于一个数列，而这这个数列个数列则则来自于他的来自于他的 算算盘书盘书 中一道并不出名的中一道并不出名的问题问题。他当。他当时时写写这这道道题题只是考只是考虑虑作作为为一个智力一个智力练习练习。然而，到了。然而，到了19世世纪纪，法国数学家，法国数学家E.卢卢卡斯出版了一部四卷本的有关卡斯出版了一部四卷本的有关娱乐娱乐数学方面的著作数学方面的著作时时，才把斐波那契，才把斐波那契的名字，加到的名字，加到该问题该问题的解答和所出的解答和所出现现的数列上去。的数列上去。 算算盘书盘书 中中“兔子兔子问题问题”， ，题题目假定一目假定一对对大兔子（一雌一雄）每一个大兔子（一雌一雄）每一个月可以生一月可以生一对对小兔子（一雌一雄），而小兔子出生后两个月就有生育能小兔子（一雌一雄），而小兔子出生后两个月就有生育能力，力，问问从一从一对对小兔子开始，小兔子开始， 一年后能繁殖成多少一年后能繁殖成多少对对兔子？兔子？”由此引出由此引出了一个重要的数列了一个重要的数列“斐波那契数列斐波那契数列”： ：1， ，1， ，2， ，3， ，5， ，8， ，13， ，21， ， ，其其规规律是每一律是每一项项（从第（从第3项项起）都是前两起）都是前两项项的和。的和。斐波那契用斐波那契用顺顺推的推的办办法解算如下：法解算如下：第一个月：只有一第一个月：只有一对对小兔。小兔。第二个月：小兔尚未成熟，仍然是一第二个月：小兔尚未成熟，仍然是一对对兔子。兔子。第三个月：第三个月：这对这对兔子生了一兔子生了一对对小兔，小兔，这时这时共有兔子两共有兔子两对对。 。第四个月第四个月:原来的兔子又生了一原来的兔子又生了一对对小兔，但上月出生的小兔仍未小兔，但上月出生的小兔仍未成熟，成熟，这样这样小兔共有三小兔共有三对对。 。如此分析下去，可以得到一年后的兔子数如此分析下去，可以得到一年后的兔子数为为144对对。 。上面上面顺顺推的推的办办法着法着实实有点笨，下面我有点笨，下面我们换们换一种思路推推看，我一种思路推推看，我们们容易容易发现发现： ：从第三个月起兔子可以分从第三个月起兔子可以分为为两两类类：一：一类类是上个月的兔子，一是上个月的兔子，一类类是是当月新生的兔子，而当月新生的兔子，而这这些兔子的些兔子的对对数恰好等于前两个月数恰好等于前两个月时时的兔子的兔子对对数，数，因因为为那个月份的的兔子在那个月份的的兔子在该该月均能生小兔，月均能生小兔，这这就是就是说说： ：从第三个月起每月兔子数均从第三个月起每月兔子数均为为前两个月（上月和上上月）的兔子前两个月（上月和上上月）的兔子对对数之和。数之和。这样这样一、二、三一、二、三诸诸月兔子数依次月兔子数依次为为： ：1， ，1， ，2（ （=1+1），），3（ （=1+2），），5（ （=2+3），），8（ （=3+5），），13（ （=5+8），），21（ （=8+13），），如此一来，我如此一来，我们们不不仅仅能算得一年后的兔子数，能算得一年后的兔子数，还还可以算出若干年可以算出若干年后的兔子数。后的兔子数。斐波那契数列斐波那契数列1,1， ，2,3， ，5， ，有有许许多有趣的性多有趣的性质质（ （详见详见： ： 斐波那斐波那契数列契数列 ，吴振奎，吴振奎编编著，著，辽辽宁教育出版社，宁教育出版社，1987）比如：）比如：（ （1）从第三）从第三项项开始，每一开始，每一项项都是它前面两都是它前面两项项的和：的和：1358,341321， ，（ （2）数列相）数列相邻邻两两项项的比越来越接近的比越来越接近0.6180.5， ，0.67， ， 0.6， ， 0.625， ，0.615， ，21 32 53 85 138（ （3）数列的通）数列的通项项公式公式为为f =n)251()251(51nn这这里是用无理数表示有理数的典例里是用无理数表示有理数的典例(意外的意外的结结果！果！)。 。斐波那契数列在斐波那契数列在许许多方面有着广泛的多方面有着广泛的应应用，用，这这数列不数列不仅仅与后来的与后来的“优选优选法法”有密切关系，而且有密切关系，而且还应还应用在生物、物理、化学上。用在生物、物理、化学上。为为了研究了研究这这种数列的性种数列的性质质， ，1960年起美国年起美国还还出版了出版了专门专门研究它的研究它的杂杂志志 斐波那契斐波那契季刊季刊 。比如它在金融分析中就有重要。比如它在金融分析中就有重要应应用。用。1934年美国年美国经济经济学家艾学家艾略特在通略特在通过过大量大量资资料分析研究料分析研究发现发现股票指数增减的微妙股票指数增减的微妙规规律，并提出律，并提出了了颇颇有影响的有影响的“波浪理波浪理论论”。 。该该理理论认为论认为：股指波：股指波动动的一个完整的一个完整过过程（周程（周期）是由波形期）是由波形图图（股指（股指变变化的化的图图象）上的象）上的5（或（或8）个波）个波组组成，其中成，其中3上上2下下（或（或5上上3 下）。下）。 （注意（注意这这里的里的2、 、3、 、5、 、8都是斐波那契数列中的都是斐波那契数列中的项项！）同！）同时时， ，每次股指的增每次股指的增长长幅度都幅度都应应循斐波那契数列中数字循斐波那契数列中数字规规律完成。比如：如律完成。比如：如果某日股指上升果某日股指上升8点，点，则则股指下一次攀升点数股指下一次攀升点数为为13；若股指回；若股指回调调，其幅，其幅度度应该应该在在5点左右（注意点左右（注意这这里的里的5、 、8、 、13是斐波那契数列中相是斐波那契数列中相邻邻三三项项！）。）。更有趣的是自然界也存在更有趣的是自然界也存在许许多与斐波那契数列有关的多与斐波那契数列有关的现现象。在象。在20世世纪纪80年代以前人年代以前人们们普遍普遍认为认为固固态态物物质仅质仅存在于两种形存在于两种形态态：晶体和玻：晶体和玻璃体璃体结结构形式。玻璃内的粒子构形式。玻璃内的粒子间间排布是排布是杂杂乱无序的，而晶体粒子乱无序的，而晶体粒子间间是是以格架形式以格架形式规则规则地排布着，而自然界不存在介于二者之地排布着，而自然界不存在介于二者之间间的形式的物的形式的物质质。直到。直到1984年美国科学家年美国科学家Shechman借助借助电电子子显显微微镜发现镜发现了介于晶了介于晶体与玻璃体之体与玻璃体之间间的物的物质质准晶体，准晶体，这这才打破了上面的才打破了上面的观观点，他点，他发现发现了了这这种准晶体粒子的排布与斐波那契数列有着密切的种准晶体粒子的排布与斐波那契数列有着密切的联联系。人系。人们还发们还发现现斐波那契数列出斐波那契数列出现现在在为为数众多的数众多的领领域域包括松果、菠包括松果、菠萝萝，叶子的，叶子的排列、某些花瓣数，与黄金均排列、某些花瓣数，与黄金均值值的的联联系、系、拟拟黄金矩形、等角螺黄金矩形、等角螺线线等等，等等，比如比如说说有很多花草的花瓣数都是斐波那契数列中的有很多花草的花瓣数都是斐波那契数列中的项项，如延，如延龄龄草叶子、草叶子、野玫瑰、大波斯菊的花瓣数就分野玫瑰、大波斯菊的花瓣数就分别别是是3、 、5、 、8。如果我。如果我们们广广为寻为寻找，那找，那么斐波那契数列么斐波那契数列还还会出会出现现在特殊的在特殊的对对象中，比如象中，比如说说一台一台钢钢琴，在一个琴，在一个音音阶阶中白色中白色键键数数为为8，黑色，黑色键键数数为为5。 。等等等等这这些是巧合呢，些是巧合呢，还还是斐波那契当是斐波那契当时时就早已心有灵犀呢？就早已心有灵犀呢？这这就就不得而知了。不得而知了。（作者（作者 E-mail：cxp_9721cn.com） ）