第八章 平面解析几何第一节 直线的斜率与直线的方程1.直线的斜率与倾斜角(1)直线的斜率计算公式若两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，如果x1x2，那么直线PQ的斜率为k= .(2)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的_.范围：直线的倾斜角的取值范围是_.(3)直线的斜率与倾斜角的等量关系当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间满足_.最小正角03,b2.从而故有当且仅当即a=6时,(SABO)min=12,此时此时直线l的方程为 即2x+3y-12=0.方法二：依题意知,直线l的斜率存在.设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0),则有=当且仅当 即 时,等号成立，SABO取最小值12.此时，直线l的方程为2x+3y-12=0.方法三：由题可设直线方程为代入P(3,2),得得ab24,从而当且仅当 时,等号成立,SABO取最小值12，此时此时直线l的方程为2x+3y-12=0.【互动探究】在本例题(2)的条件下，求l在两轴上的截距之和最小时直线l的方程.【解析】设l的斜率为k(k0)，则l的方程为y=k(x-3)+2,令x=0得B(0,2-3k),令y=0得l在两轴上的截距之和为(当且仅当 时，等号成立)， 时，l在两轴上截距之和最小，此时l的方程为【拓展提升】利用待定系数法求直线方程的三个步骤【提醒】选方程时一定要注意方程的适用条件.【变式备选】ABC的三个顶点为A(-3，0)，B(2，1)，C(-2，3)，求：(1)BC所在直线的方程.(2)BC边上中线AD所在直线的方程.(3)BC边的垂直平分线DE的方程.【解析】(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(-2，3)两点，由两点式得BC所在直线的方程：即x+2y-4=0.(2)设BC中点D的坐标为(x,y)，则BC边的中线AD过A(-3，0)，D(0，2)两点，由截距式得AD所在直线方程为即2x-3y+6=0.(3)直线BC的斜率则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2，由点斜式得直线DE的方程为2x-y+2=0.考向 3 直线方程的综合应用【典例3】如图，某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形土地(不改变方向)建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大(确定P点位置)？并求出最大面积.(精确到1 m2).【思路点拨】本题考查坐标法的应用和二次函数的最值，关键是确定点P的位置，可建立坐标系，运用直线的知识求解.【规范解答】建立如图所示坐标系,则B(30,0),A(0,20),由直线的截距式方程得到线段AB的方程为设点P的坐标为(x,y),则有公寓的占地面积为S=(100-x)(80-y)当x=5, 时，S取最大值,最大值为 +6 0006 017(m2).即当P点的坐标为 时，公寓占地面积最大，最大面积约为6 017 m2.【拓展提升】直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的某函数，借助函数的性质解决.(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.【变式训练】有一个既有进水管又有放水管的容器,每单位时间进放的水量是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水、不放水，在随后的30分钟内既进水又放水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y与x的函数关系.【解析】当0x10时,直线过点O(0,0),A(10,20),所以此时的直线方程为y=2x;当10x40时，直线过点A(10,20),B(40,30),此时所以此时的直线方程为即当x40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v1，放水的速度为v2,在OA段时是进水过程，所以v1=2,在AB段时是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为所以当x40时，又过点B(40,30),所以此时的方程为令y=0,x=58，即到第58分钟时放水完毕.综合上述:【易错误区】忽视截距为零致误【典例】(2013苏州模拟)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_.【误区警示】本题易出现的错误是只考虑截距不为零的情况，将方程设为截距式，而忽略了截距为零的情况(截距为0时不能利用截距式求方程).【规范解答】若截距为0，则直线方程过原点和P(2,3),故直线方程为 即3x-2y=0.若截距不为0，即a0时，设所求直线方程为由P(2,3)在直线上a=5则所求直线方程为x+y-5=0.因此满足条件的直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0.答案：3x-2y=0或x+y-5=0【思考点评】求直线方程的注意点(1)求直线方程时要根据已知条件恰当地选择直线方程形式，选择时应注意方程表示直线的局限性.(2)截距式中a0,b0，即截距式不表示垂直于坐标轴和过原点的直线,在应用时要明确.1.(2013连云港模拟)倾斜角为60,在y轴上的截距为2的直线方程为_.【解析】由于倾斜角为60，故斜率k=tan 60=又直线过点(0，2),所以方程为答案：2.(2013南京模拟)直线l与两直线y=1与x-y-3=0分别交于A,B两点,若线段AB的中点M为(2,2),则直线l的斜率为_.【解析】设A(x,1),M(2,2),B(4-x,3).又B点在x-y-3=0上,4-x-3-3=0,x=-2, 即直线l的斜率为答案:3.(2013扬州模拟)若直线l经过点A(2，1),B(1,m2),则直线l的倾斜角的取值范围是_.【解析】设直线l的倾斜角为,则=1-m2,tan 1,又0,),答案：4.(2013无锡模拟)直线l:ax+y-2-a=0，在x轴和y轴上的截距相等，则a的值为_.【解析】直线l在y轴上的截距为a+2,在x轴上的截距为解得a=-2或a=1.答案：-2或15.(2013苏州模拟)过点P(2，1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A，B两点，求使PAPB最小时l的方程.【解析】设直线的方程为则A(a,0),B(0,b).又P(2,1)，又=当且仅当 即a=b=3时，取得最小值.此时直线l的方程为x+y-3=0.1.若ab0,则过点 与 的直线PQ的倾斜角的取值范围是_.【解析】 又倾斜角的取值范围为0，)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为答案：2.如图所示，点A，B在函数 的图象上，则直线AB的方程为_.【解析】当 时，结合正切函数图象和性质得，得x=2,故A点坐标为(2,0).同理得B点坐标为(3,1)，直线AB的方程为y=x-2，即x-y-2=0.答案：x-y-2=0