第三节 平面向量的数量积1.平面向量的数量积(1)定义.条件两个非零向量a,b以及它们们的夹夹角表达形式ab= _|a|b|cos (2)向量的夹角.定义：已知如图，两个_a和b，a, =b，则向量a与b的夹角是_.范围：向量a与b的夹角的范围是_.当0时,a与b同向.当180时,a与b_.当=90时,a与b_.非零向量或AOB0180反向垂直(3)向量的投影.设为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是_；向量b在a方向上的投影是_.(4)向量数量积的几何意义.数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积.|a|cos|b|cos|b|cos 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，为向量a,b的夹角.结论结论几何表示坐标标表示模 |a|= |a|=_数量 积积ab=|a|b|cos ab=x1x2+y1y2夹夹角cos = cos =_3.数量积的运算律(1)交换律：ab=ba.(2)数乘结合律：(a)b= _= _=ab.(3)分配律：(a+b)c=ac+bc.结论结论几何表示坐标标表示 ab的充 要条件ab=0_|ab|与 |a|b|的 关系|ab|a|b| (当且仅仅当ab 时时等号成立)|x1x2+y1y2|x1x2+y1y2=0a(b)(ab)判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(3)由ab=0可得a=0或b=0.( )(4)由ab=ac及a0不能推出b=c.( )(5)在四边形ABCD中， 且 ，则四边形ABCD为矩形.( )【解析】(1)正确.由向量的投影的定义可知正确.(2)正确.由数量积及向量线性运算的定义易得正确.(3)错误.因为当ab时也有ab=0，而不必a=0或b=0.(4)正确.向量的数量积不满足消去律.(5)错误.由 可得四边形ABCD为平行四边形；由 得四边形ABCD的对角线垂直，故四边形ABCD一定是菱形，不能判定为矩形.答案：(1) (2) (3) (4) (5)1.若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是_(填序号).(ab)ca(bc)；(ab)cacbc；m(ab)mamb；(ab)ca(bc).【解析】(ab)c表示与c共线的向量，a(bc)表示与a共线的向量，而a,c不一定共线，因此不一定成立.答案：2.若非零向量a，b，c满足ab，且ac，则c(a2b)_.【解析】由ab及ac，得bc，则c(a2b)ca2cb0.答案：03.已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x=_.【解析】ab(1x,4).由a(ab)，得1x80.x9.答案：94.已知向量a，b满足|b|2，a与b的夹角为60，则b在a上的投影是_.【解析】b在a上的投影是|b|cosa，b2cos 601.答案：15.已知向量a=(1,2)，b=(2,-3),若向量c满足(c+a)b，c(a+b)，则c=_.【解析】设c=(m,n)，则a+c=(1+m,2+n)，a+b=(3,-1),对于(c+a)b，则有-3(1+m)=2(2+n)，又c(a+b)，则有3m-n=0，则有答案：( )6.已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则a与b的夹角为_.【解析】由|a|b|2，(a2b)(ab)2，得ab2，cosa，b又a，b0，所以a，b答案：考向 1 平面向量数量积的概念及运算 【典例1】(1)已知a(1，sin2x)，b(2，sin 2x)，其中x(0，).若|ab|a|b|，则tan x的值等于_.(2)(2012天津高考改编)已知ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足 ， (1-) ，R，若=- ，则=_.(3)(2012北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.则 的值为_， 的最大值为_.【思路点拨】【规范解答】(1)由|ab|a|b|知，ab.所以sin 2x2sin2x，即2sin xcos x2sin2x，而x(0，)，所以sin xcos x，即 故tan x1.答案：1(2)由题意得又 且 =60，即所以 解得= .答案：(3)方法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x,y轴建立直角坐标系，设E(t，0)，0t1，则D(0,1)，B(1，0)，C(1，1)， =(t,-1)， =(0,-1), =1.又 =(1,0)， =t1.方法二：选取 作为基底，设 0t1，则答案：1 1【拓展提升】向量数量积运算的两种方法(1)定义法：依据两向量的长度和夹角的余弦值计算，即ab=|a|b|cosa,b.(2)坐标法：依据向量的坐标来计算，即a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.【变式训练】(1)若向量a=(1,1)，b=(2，5)，c=(3，x)满足条件(8a-b)c=30，则x=_.【解析】8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)，所以(8a-b)c=(6,3)(3,x)=30，即18+3x=30，解得：x=4.答案：4(2)已知两个单位向量e1，e2的夹角为 ，若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2，则b1b2=_.【解析】b1b2=(e1-2e2)(3e1+4e2)=3|e1|2-2e1e2-8|e2|2，又e1,e2= ,|e1|=1,|e2|=1,b1b2=3-2cos -8=3-1-8=-6.答案：-6考向 2 平面向量的垂直与夹角【典例2】(1)(2013连云港模拟)若向量a=(1,2),b=(1，-1)，则2a+b与a-b的夹角为_.(2)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=_.(3)设两个向量a,b满足|a|2，|b|1，a与b的夹角为 ，若向量2ta7b与atb的夹角为钝角，求实数t的范围.【思路点拨】(1)先求2a+b与a-b的坐标，再利用数量积的坐标运算求夹角.(2)向量a+b与向量ka-b垂直等价于(a+b)(ka-b)=0，展开用数量积公式求得k的值.(3)利用向量的夹角为钝角与两向量的数量积小于0且两向量不共线反向解题.【规范解答】(1)2a+b=(3,3)，a-b=(0,3)，设2a+b与a-b的夹角为，cos =又0,，故= .答案： (2)(a+b)(ka-b)，(a+b)(ka-b)=0，即ka2+(k-1)ab-b2=0，(*)又a,b为两个不共线的单位向量，(*)式可化为k-1=(1-k)ab，若1-k0，则ab=-1，这与a，b不共线矛盾；若1-k=0，则k-1=(1-k)ab恒成立.综上可知，k=1时符合题意.答案：1(3)由向量2ta7b与atb的夹角为钝角，得即(2ta7b)(atb)0，化简即得2t215t70，解得当夹角为时，也有(2ta7b)(atb)0，但此时夹角不是钝角，设2ta7b(atb)，0，可求得 t-所求实数t的范围是(7， )( ， ).【互动探究】本例题(1)中若条件不变，问题改为“为何值时，a+b与a-b的夹角为90”，则如何求？【解析】由条件得a+b=(+1,2-1)，a-b=(0,3)，若a+b与a-b的夹角为90，则(a+b)(a-b)=3(2-1)=0，解得即当 时，向量a+b与a-b的夹角为90.【拓展提升】数量积运算的适用条件及应用(1)数量积的运算中，ab ab=0是对非零向量而言的，若a=0，虽然有ab=0，但不能说ab.(2)利用数量积可求向量中的参数，即通过数量积列出方程，通过解方程求出其中的参数值.【变式备选】已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角.(2)求|a+b|和|a-b|.(3)若 a， b，作ABC，求ABC的面积.【解析】(1)由(2a3b)(2ab)61，得4|a|24ab3|b|261.|a|4，|b|3，代入上式求得ab6，cos 又0，(2)可先平方转化为向量的数量积.|a+b|2(a+b)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|a+b|同理，|a-b|(3)由(1)知BAC| |a|4，| |b|3，SABC考向 3 平面向量的模及应用 【典例3】(1)(2013无锡模拟)已知向量a(cos，sin)，向量b( ，1)，则|2a-b|的最大值是_，最小值是_.(2)(2012新课标全国高考)已知向量a,b的夹角为45，且|a|=1,|2a-b|= 则|b|=_.(3)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,2)，B(2,3)，C(2,1).求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；设实数t满足 求t的值.【思路点拨】(1)运用三角函数的知识解决.(2)将|2a-b|的平方展开，代入|a|,ab的值，将所得看作关于|b|的方程，解方程即可.(3)将平行四边形两条对角线的长转化为向量的模长或两点间的距离问题解决；利用向量的坐标运算解决.【规范解答】(1)由于|2a-b|2=4a2+b2-4ab 易知故|2a-b|的最大值和最小值分别为4和0.答案：4 0(2)a,b的夹角为45，|a|=1，ab=|a|b|cos 45= |b|，|2a-b|2=4-4 |b|+|b|2=10，|b|=答案：(3)方法一：由题设知 =(3,5), =(-1,1)，则所以故所求的两条对角线的长分别为方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则E为B，C的中点，E(0，1).又E(0，1)为A，D的中点，所以D(1，4).故所求的两条对角线的长分别为由题设知： =(2,1)，=(3+2t,5+t).由 得：(3+2t,5+t)(-2,-1)=0，从而5t=-11,所以【拓展提升】解决向量长度问题的两种方法(1)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量的加减法的平行