用心 爱心 专心1盘点二项式定理中的盘点二项式定理中的“系数系数”题型题型 高考中二项式定理试题多以填空选择题形式出现，涉及的题型主要有：求二项展开式 中某一项（或常数项）或某一项的系数，求所有项系数的和或奇（偶）数项系数和，求展 开式的项数，以及二项式定理在求近似值，证明不等式等问题中的应用。本文重点探讨有 关二项式定理中的系数问题。 一直接利用二项展开式通项公式求某项系数。直接利用二项展开式通项公式求某项系数。例例 1 1 （2009 浙江卷理）在二项式251()xx的展开式中，含4x的项的系数是( ) . A10 B10 C5 D5 解析解析：本题属于二项式定理中最为基本的题目，直接考查考生对于二项展开式的通项公式的掌握。其通项 2 510 3 1551()()1rrrrrr rTCxC xx ，对于1034,2rr ，则4x的项的系数是22 5( 1)10C，答案选 B 。二二正确区分正确区分“两个系数两个系数”即二项式系数和项的系数即二项式系数和项的系数例例 2 2 (12 )nx的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项及系数最大的项。思路导析：二项式系数是指思路导析：二项式系数是指r nC，而项的系数由二项式系数，而项的系数由二项式系数r nC和数的乘积构成和数的乘积构成解析解析：二项展开式的通项12rrr rnTCx，由第 6 项与第 7 项的系数相等得，5566228nnCCn，所以，展开式中二项式系数最大的项为4444 5821120TCxx，设第1r 项系数最大，则11 8811 882222rrrrrrrrCCCC解之得56r即56r 或所以，系数最大的项为5555 6821792TCxx或6666 7821792TCxx点评：二项式系数不受底数内字母及数的影响，统一为点评：二项式系数不受底数内字母及数的影响，统一为r nC，而项的系数应是，而项的系数应是r nC与数的幂与数的幂的乘积组成，这一不同要仔细区分。的乘积组成，这一不同要仔细区分。 三三求多个二项式的积（和）展开式中指定项、指定项系数求多个二项式的积（和）展开式中指定项、指定项系数例例 3 3（1）27(1)(1)(1)xxx展开式中，3x项的系数为_（2）设432 123401234xaxaxaxaA xAxA xA xA则 2_A 3_A （3）9(2)xyz 展开式中 423x y z系数为_用心 爱心 专心2思路导析：思路导析：对于（1）中所求3x项的系数，应先研究清楚3x项的构成，2(1),(1)xx中均没有3x，从3(1)x开始出现3x，故应分别计算其后五项中3x的系数之和即得；对于（2） （3）其基本思路都是利用组合思想加以解决。解析解析：（1）3x项系数为 3334 347870CCCCL（2）2A即2x系数， 即从1234 ,a a a a中取两元的所有组合的和，即 2123423434()()Aa aaaa aaa a，同理 3123124134234Aa a aa a aa a aa a a.（3）由9(2)(2)(2)(2)xyzxyz xyzxyzL知 4 个括号取 x，余下 5 括号取 2y，再从余下 3 个括号取 z，于是得423x y z系数为42233 9532( 1)5040C CC .点评点评：二项式定理的推导原理是组合思想，在理解推导原理的基础上，应用组合思想解决二项式定理的推导原理是组合思想，在理解推导原理的基础上，应用组合思想解决 有关多项展开式中的项的系数问题，往往能收到很好的效果。在求展开式某项系数时，有关多项展开式中的项的系数问题，往往能收到很好的效果。在求展开式某项系数时， 要注意分步计数原理的运用以及符号的正确性。要注意分步计数原理的运用以及符号的正确性。 四四通过通项研究展开式系数特征通过通项研究展开式系数特征例例 4 4（2010 湖北理数 11）在（x+ 43y）20的展开式中，系数为有理数的项共有_项。 思路导析思路导析：通过求二项式展开式通项，进一步观察其系数特征，将其中系数是有理数的项 列出即可。解析：二项式展开式的通项公式为202044 12020( 3 )( 3)(020)rrrrrrr rTC xyCxyr 要使系数为有理数，则 r 必为 4 的倍数，所以 r 可为 0.、4、8、12、16、20 共 6 种，故系数为有 理数的项共有 6 项. 答案为 6 五五求多项式展开式中各项的系数和或某些项（各奇数项、偶数项等）的系数和求多项式展开式中各项的系数和或某些项（各奇数项、偶数项等）的系数和例例 5 5 已知25(321)xx109 10910a xa xa xaL， 求2 0246810()aaaaaa2 13579()aaaaa的值。思路导析：由平方差公式，所求思路导析：由平方差公式，所求2 0246810()aaaaaa2 13579()aaaaa01210()aaaaL024681013579()()aaaaaaaaaaa其中01210aaaaL为展开式各项系数之和，赋值法令 x=1 即得；024681013579()()aaaaaaaaaaa为奇数项和与偶数项和之差，赋值法令 x=-1 即得。解析解析：令 x=1, 得 5 012102aaaaL，用心 爱心 专心3令 x=-1, 得 024681013579()()aaaaaaaaaaa56, 2 0246810()aaaaaa135(aaa2555 79)2612aa。点评：求展开式系数和，充分利用赋值法。赋值时，一般地，对于多项式点评：求展开式系数和，充分利用赋值法。赋值时，一般地，对于多项式( )()ng xpxq2 012n naa xa xa xL，有以下结论：（，有以下结论：（1 1）g(x)g(x)的二项式系数和的二项式系数和为为2n；（；（2 2）g(x)g(x)的奇数项的二项式系数和的奇数项的二项式系数和= =偶数项的二项式系数和偶数项的二项式系数和= = 12n；（；（3 3）g(x)g(x)的的各项系数和为各项系数和为 g(1)g(1) ；（；（4 4）g(x)g(x)的奇数项的系数和为的奇数项的系数和为 1 (1)( 1)2gg；（；（5 5）g(x)g(x)的偶的偶数项系数和为数项系数和为1 (1)( 1)2gg 。这里常用到一种重要方法：赋值法。这里常用到一种重要方法：赋值法。六六赋值法在解决系数问题中的综合应用赋值法在解决系数问题中的综合应用例例 6 6（2009 陕西卷）若20092009 012009(1 2 )()xaa xaxxRL,则200912 22009222aaaL的值为 （A）2（B）0 （C）1 (D) 2 思路导析：如果从二项展开式中各系数思路导析：如果从二项展开式中各系数na表达式入手，将其写出为表达式入手，将其写出为2009( 2)nn naC ，可可以发现以发现20081 200820092009022aa ，同理可以得出20072 22007+=022aa,32006 32006+=022aa亦即前 2008 项和为 0,故只需求2009 20092a即可，此为思路一思路一；思路二思路二：如果整体研究200912 22009222aaaL，可将分母中 2 的指数与na的下标统一起来，采用赋值法只需令1 2x 即可使问题迎刃而解即可使问题迎刃而解。解法一:由题意11200820082008 1200920082009( 2)2 2009 , ( 2)( 2)2009aCaC ,则2008200811 200820082009,2009,+=02222aaaa 即, 同理可以得出20072 22007+=022aa,32006 32006+=022aa亦即前 2008 项和为 0, 则原式=200912 22009222aaaL=20092009 20092009 20092009( 2)122aC 故选 C.解法二：（赋值法）令1 2x 得，200912 0220090222aaaaL，又令0x 得01a ，所以得200912 220090 11222aaa L，故选 C.附变式训练附变式训练用心 爱心 专心41 1：已知(xx12)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为143，则展开式中常数项是(A)1 (B)1 (C)45 (D)452设二项式n xx)13(3的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若272 SP，则n （ ） ( )A4 ( )B5 ( )C6 ()D83若4 43 32 2104)32(xaxaxaxaax，则2 312 420)()(aaaaa的值为 （ ） ( )A1 ( )B-1 ( )C0 ()D24（2009 北京卷文）若4(12)2( ,aba b为有理数） ，则ab （ ）. A33B 29C23D195 5 求 100(32 )xyz 展开式的各项系数之和为_。6 6（20102010 江西理数）江西理数）82x展开式中不含4x项的系数的和为（ ）A.-1 B.0 C.1 D.2答案 1。D；2。A；3A；4 B；5 解：令 x=y=z=1 ， 得 100(1 32)0 ， 即展开式系数之和为 0。6 B【提示】采用赋值法，令 x=1 得：系数和为 1，减去4x项系数808 82 ( 1)1C即为所求，答案为 0.